Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc có lời giải

Các dạng bài tập Phương trình, Hệ phương trình chọn lọc có lời giải

Bài giảng: Bài 1: Đại cương về phương trình – Thầy Lê Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

Phần dưới là Chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán 10 Đại số Chương 3: Phương trình. Hệ phương trình có đáp án. Bạn vào tên bài hoặc Xem chi tiết để theo dõi các chuyên đề Toán lớp 10 Đại số tương ứng.

Cách tìm tập xác định của phương trình

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Khái niệm phương trình một ẩn
Cho hai hàm số y = f ( x ) và y = g ( x ) có tập xác lập lần lượt là Df và Dg .
Đặt D = Df ∩ Dg. Mệnh đề chứa biến ” f ( x ) = g ( x ) ” được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và D gọi tập xác lập của phương trình .
Số x0 ∈ D gọi là một nghiệm của phương trình f ( x ) = g ( x ) nếu ” f ( xo ) = g ( xo ) ” là một mệnh đề đúng .
2. Phương trình tương tự
Hai phương trình gọi là tương tự nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Nếu phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) tương tự với phương trình f2 ( x ) = g2 ( x ) thì viết
f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇔ f2 ( x ) = g2 ( x )
Định lý 1 : Cho phương trình f ( x ) = g ( x ) có tập xác lập D và y = h ( x ) là một hàm số xác lập trên D. Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương tự với mỗi phương trình sau :
( 1 ) : f ( x ) + h ( x ) = g ( x ) + h ( x )
( 2 ) : f ( x ). h ( x ) = g ( x ). h ( x ) với h ( x ) ≠ 0, ∀ x ∈ D .
3. Phương trình hệ quả
Phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) có tập nghiệm là S1 được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f2 ( x ) = g2 ( x ) có tập nghiệm S2 nếu S1 ⊂ S2 .
Khi đó viết :
f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇒ f2 ( x ) = g2 ( x )
Định lý 2 : Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của phương trình đã cho : f ( x ) = g ( x ) ⇒ [ f ( x ) ] 2 = [ g ( x ) ] 2 .
Lưu ý :
+ Nếu hai vế của 1 phương trình luôn cùng dấu thì khi bình phương 2 vế của nó, ta được một phương trình tương tự .
+ Nếu phép đổi khác tương tự dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại những nghiệm tìm được vào phương trình đã cho để phát hiện và vô hiệu nghiệm ngoại lai .
4. Phương pháp giải tìm tập xác lập của phương trình
– Điều kiện xác lập của phương trình gồm có những điều kiện kèm theo để giá trị của f ( x ), g ( x ) cùng được xác lập và những điều kiện kèm theo khác ( nếu có nhu yếu trong đề bài ) .
– Điều kiện để biểu thức
+ √ ( f ( x ) ) xác lập là f ( x ) ≥ 0
+ 1 / f ( x ) xác lập là f ( x ) ≠ 0
+ 1 / √ ( f ( x ) ) xác lập là f ( x ) > 0

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khi giải phương trình √(x2 – 5) = 2 – x  (1), một học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1 : Bình phương hai vế của phương trình ( 1 ) ta được :
x2 – 5 = ( 2 – x ) 2 ( 2 )
Bước 2 : Khai triển và rút gọn ( 2 ) ta được 4 x = 9
Bước 3 : ( 2 ) ⇔ x = 9/4
Vậy phương trình có một nghiệm là x = 9/4
Cách giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai ở bước nào ?

Hướng dẫn:

Vì phương trình ( 2 ) là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x = 9/4 vào phương trình ( 1 ) để thử lại. Nên sai ở bước thứ 3 .

Bài 2: Khi giải phương trìnhmột học sinh tiến hành theo các bước sau:

Bước 1:

Bước 2:

Bước 3 : ⇔ x = 3 ∪ x = 4
Bước 4 : Vậy phương trình có tập nghiệm là : T = { 3 ; 4 }
Cách giải trên sai từ bước nào ?

Hướng dẫn:

Vì biến hóa tương tự mà chưa đặt điều kiên nên sai ở bước 2 .

Bài 3: Tìm tập xác định của phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện xác lập : x2 + 1 ≠ 0 ( luôn đúng )
Vậy TXĐ : D = R .

Cách giải phương trình bằng phương pháp biến đổi tương đương

Lý thuyết & Phương pháp giải

– Phương trình tương tự : Hai phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) và f2 ( x ) = g2 ( x ) được gọi là tương tự nếu chúng có cùng tập nghiệm
– Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇔ f2 ( x ) = g2 ( x )
– Phép đổi khác không làm biến hóa tập nghiệm của phương trình gọi là phép đổi khác tương tự .
– Phương trình hệ quả : f2 ( x ) = g2 ( x ) gọi là phương trình hệ quả của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x ) nếu tập nghiệm của nó chứa tập nghiệm của phương trình f1 ( x ) = g1 ( x )
– Kí hiệu là f1 ( x ) = g1 ( x ) ⇒ f2 ( x ) = g2 ( x )
– Để giải phương trình ta triển khai những phép biến hóa để đưa về phương trình tương tự với phương trình đã cho đơn thuần hơn trong việc giải nó. Một số phép biến hóa thường sử dụng :
+ Cộng ( trừ ) cả hai vế của phương trình mà không làm biến hóa điều kiện kèm theo xác lập của phương trình ta thu được phương trình tương tự phương trình đã cho .
+ Nhân ( chia ) vào hai vế với một biểu thức khác không và không làm đổi khác điều kiện kèm theo xác lập của phương trình ta thu được phương trình tương tự với phương trình đã cho .
+ Bình phương hai vế của phương trình ta thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho .
Bình phương hai vế của phương trình ( hai vế luôn cùng dấu ) ta thu được phương trình tương tự với phương trình đã cho .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện:

Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn nhu cầu phương trình
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = { 0 ; 2 }

Bài 2: Giải phương trình

Hướng dẫn:

Điều kiện:

Ta thấy x = 3 thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ( * )
Nếu x ≠ 3. thì ( * )

Do đó điều kiện kèm theo xác lập của phương trình là x = 3 hoặc x = 5/3
Thay x = 3 và x = 5/3 vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn nhu cầu
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất S = { 3 }

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

a. Điều kiện : x ≥ – 1 .
Ta có x = – 1 là một nghiệm .
Nếu x > – 1 thì √ ( x + 1 ) > 0. Do đó phương trình tương tự
x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = – 1 hoặc x = 2 .
Đối chiếu điều kiện kèm theo ta được nghiệm của phương trình là x = – 1, x = 2 .
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm S = { – 1 ; 2 }
b. ĐKXĐ : x > 2
Với điều kiện kèm theo đó phương trình tương tự với phương trình
x2 = 1 – ( x – 2 ) ⇔ x2 + x – 3 = 0

Đối chiếu với điều kiện kèm theo ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn nhu cầu
Vậy phương trình vô nghiệm

Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Lý thuyết & Phương pháp giải

Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ( GTTĐ ) ta tìm cách để khử dấu giá trị tuyệt đối, bằng cách :
– Dùng định nghĩa hoặc đặc thù của GTTĐ .
– Bình phương hai vế .
– Đặt ẩn phụ .
Phương trình dạng | f ( x ) | = | g ( x ) | ta hoàn toàn có thể giải bằng cách biến hóa tương tự như sau :

hoặc | f ( x ) | = | g ( x ) | ⇔ f2 ( x ) = g2 ( x )
– Đối với phương trình dạng | f ( x ) | = g ( x ) ( * ) ta hoàn toàn có thể đổi khác tương tự như sau :

Hoặc

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải phương trình |3x – 2| = x2 + 2x + 3

Hướng dẫn:

Ta có:

* Nếu x ≥ 2/3 ⇒ PT ⇔ 3 x – 2 = x2 + 2 x + 3 ⇔ x2 – x + 5 = 0 pt vô nghiệm
* Nếu x < 2/3 ⇒ PT ⇔ - 3 x + 2 = x2 + 2 x + 3 ⇔ x2 + 5 x + 1 = 0 ⇔ x = ( - 5 ± √ 21 ) / 2 hai nghiệm này đều thỏa mãn nhu cầu x < 2/3 Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = ( - 5 ± √ 21 ) / 2

Bài 2: Giải phương trình |x3 – 1| = |x2 – 3x + 2|

Hướng dẫn:

Hai về không âm bình phương hai vế ta có

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = { 1 ; – 1 + √ 2 ; – 1 – √ 2 }

Bài 3: Giải phương trình

Hướng dẫn:

ĐKXĐ : x ≠ 1

Phương trình tương đương

Đặt t = | x – 1 – 3 / ( x-1 ) |
Suy ra

Phương trình trở thành t2 + 6 = 7t ⇔ t2 – 7t + 6 = 0 ⇔

Với t = 1 ta có

Với t = 6 ta có

Vậy phương trình có nghiệm là

Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 10 tinh lọc, có giải thuật hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp