Phương trình Lượng giác chứa tham số Phần 1

Ngày đăng: 22/12/2016, 18:46

số lưu ý  Tài liệu không nhắc lại công thức lượng giác  Tài liệu không nhắc lại cách giải phương trình lượng giác  sin x / cos x / tan x / cot x  m phương trình lượng giác thường gặp (bậc sin x cos x ; bậc hai/ bậc cao với ẩn lượng giác; đối xứng sin x cos x ; đẳng cấp bậc hai bậc ba)  Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai f  x   ax  bx  c dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…)  Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12)  Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa email [email protected] Câu Cho phương trình cos x  m sin x  1) Giải phương trình m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn 1) Với m  pt  cos x  sin x   12   3 cos x  12   3 2 sin x  12   3   cos x  sin x   sin cos x  cos sin x  2 6          sin   x    sin   x   sin   x   k 2  x   k 2, k  Z 6  6   Vậy phương trình có nghiệm x    k 2, k  Z m   2) Phương trình có nghiệm 12  m2  22  m2     m  3 sin x  sin x  m Câu Cho phương trình 1) Giải phương trình m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn 1) Với m  pt  sin x  sin x  3 1  cos x  sin x    cos x  sin x  2 3  sin x  cos x   sin x  cos x  2      x    k 2 x   k      3  sin  x      ,k  Z 3   x    2  k 2  x    k   3  2) pt   1  cos x   sin x m   cos x  sin x  2m  sin x  cos x  2m  Phương trình có nghiệm 12   2   2m        2m   2 2  2 m 2 Câu Cho phương trình 2sin x  6cos x   2k 1) Tìm k nguyên dương để phương trình có nghiệm 2) Tìm nghiệm phương trình k  Đáp án: 1) k  1; k  ; 2) x   2  l 2, l  Z Câu Cho phương trình sin x   2m   sin x cos x   m  1 cos x  m 1) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình m  2 Hướng dẫn 1) pt   cos x  cos x   m  1 sin x   m  1 m 2   cos x   m  1 sin x   m  1   m  1 cos x  2m   m  1 sin x   m   cos x  3m Phương trình có nghiệm 2  m  1   m     3m  2  4m2  8m   m2  4m   9m2 m   5m2  4m   9m2  4m2  4m      m  2 2) Với m  2 pt   m  1 sin x   m   cos x  3m  6sin x  6  sin x   x    k 2  x    k, k  Z Câu Tìm m để phương trình  m  1 sin x  sin x  cos x  có nghiệm Đáp án: m  Câu Cho phương trình 2sin x  cos x   a sin x  2cos x  1) Giải phương trình a  2) Tìm a để phương trình có nghiệm Hướng dẫn 1) Với a  2sin x  cos x  1  pt  sin x  2cos x  3  6sin x  3cos x   sin x  cos x   5sin x  5cos x   sin x  cos x   x     k, k  Z 2) Nhận xét thấy   sin x  2cos x 5 sin x 2cos x 3 0  x (Mẫu số khác với x – Điều quan trọng biện luận phương trình dạng T a sin x  b cos x  c ) m sin x  n cos x  p Do đó, pt  2sin x  cos x   a sin x  2a cos x  3a   a  2 sin x   2a  1 cos x   3a Phương trình có nghiệm  a     2a  1  1  3a  2  a  4a   4a  4a   9a  6a   5a   9a  6a  1  4a  6a    2a  3a      a  2 Câu Cho phương trình 2a sin x   a  1 cos x  a cos x 1) Giải phương trình a  2) Tìm a để phương trình có nghiệm Hướng dẫn pt  2a sin x cos x   a  1 cos x  a, cos x    a  1 cos x  1 a a sin x  2a sin x   a  1 cos x  a  1   cos x  cos x   1) Với a    x    k  2sin x  cos x     pt     x   k, kZ cos x   x    k  2) Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn cos x   a  1 2 Trước hết, (1) có nghiệm  2a    a  1   a  1   a  sin x  2sin x cos x  Xét cos x  , 1  a   a   a  cos x  2cos x   1 Thử lại, với a  1  cos x  1  2cos x   cos x , hay phương trình có nghiệm cos x  bị loại Do giá trị a  không thỏa mãn yêu cầu đề  a  1  a  1 Như vậy, phương trình có nghiệm  a    a0   a  Câu Cho phương trình sin x   cos x  sin x   m 1) Giải phương trình m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn pt  2sin x cos x   cos x  sin x   m ; Đặt t  cos x  sin x, t   sin x cosx  1 t2 pt   t  4t  m  m  t  4t  1) Với m  pt   t  4t   t  4t   t   loai    x  k 2  t  1 tm   cos x  sin x    ,k  Z  x     k 2    2) Ta có m  f  t   t  4t  với   t  Dễ thấy f  t   t  4t  hàm liên tục   2;  nên phương trình m  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  f  t   t  4t   t  4t      t   Mà   t      t      2    t  2   2     t  2   2  1     t    1   1   f  t   1  2 Như phương trình có nghiệm 1   m  1  Lưu ý: Bạn sử dụng phương pháp hàm số: Lập bảng biến thiên cho hàm số bậc hai f  t   t  4t  với   t  để tìm f  t , max f  t  Câu Tìm m để phương trình sin x  cos x  2sin x  m có nghiệm Hướng dẫn Đặt t  sin x  cos x, t  sin x cos x  1 t2  2t  t  2,  t  pt  t  1  t   m  m  f  t   2t  t     2t  t  2,   t  Hàm số f  t  liên tục nên phương trình m  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với   t    Lập bảng biến thiên cho hàm lắp ghép trên, ta f  t   f   f  2  2  1   17 max f  t   f     f     4 4 2 m Như phương trình có nghiệm 17 Câu 10 Cho phương trình sin x  cos4 x  m 1) Tìm m để phương trình có nghiệm 2) Giải phương trình m  Hướng dẫn  1) pt  m  sin x   sin x   2sin x  2sin x  Đặt t  sin2 x,  t  pt  m  f  t   2t  2t  Dễ thấy hàm f  t   2t  2t  liên tục D  R nên phương trình m  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với  t  Xét hàm f  t   2t  2t  0;1 lập bảng biến thiên, ta 1 f  t   f    max f  t   f    f 1  2 Do phương trình có nghiệm 2) Khi m   m  3  2t  2t   8t  8t   4  1  cos x  42 2 2   t  sin x   4      1  cos x  42 2 2   t  sin x   4    cos x    1   cos x    cos 2 x   cos x    cos x      cos x   x   k, k  Z 2 Câu 11 Cho phương trình sin x  1  sin x   m 1) Giải phương trình m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn Phương trình cho có dạng t  x  x  a   x  b   m với cách phương pháp ẩn phụ ab đưa phương trình trùng phương pt  sin x   sin x  1  m ; Đặt t  sin x , với 1  sin x     t  2 4  1  1 pt   t     t    m  m  f  t   2t  3t   2  2 1) Với m  1 pt  2t  3t    t  8   x   k 2  1  sin x    sin x    ,k  Z 2  x  5  k 2  2) Đặt u  t với  t  0u 2 pt  m  2t  3t  f  u   2u  3u  1  f  u   2u  3u , với  u  8 hàm liên tục D  R nên phương trình m  f  u  có nghiệm f  u   m  max f  u , với  u  Xét hàm số f  u   2u  3u  1 lập bảng biến thiên, f  u   f    8 9 max f  u   f    17 4 Do đó, phương trình có nghiệm  m  17 Câu 12 Tìm m để phương trình sau có nghiệm     sin x  cos4 x  sin x  cos6 x  sin x  m Hướng dẫn     pt  m  1  sin 2 x   1  sin 2 x   sin x     2  m   2sin x   3sin x  sin x  sin 2 x  sin x  cos x m   cos x  2m  cos x  cos x  Đặt cos 4x  t    1;1 pt  2m  f  t   2t  t  Dễ thấy f  t   2t  t  hàm liên tục hàm bậc hai, dễ dàng tìm 1 f  t   f     max f  t   f  1  4 9 Do đó, để phương trình có nghiệm   2m     m  16 Câu 13 Cho phương trình cos x   m  1 sin x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn pt   2sin x   m  1 sin x  m   2sin x   m  1 sin x   m  1  Đặt t  sin x,   t  pt  f  t   2t   m  1 t   m  1  Do f  t   2t   m  1 t   m  1 hàm liên tục R nên phương trình f  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t  m 1  Hàm số f  t   2t   m  1 t   m  1 nghịch biến  ;  nghịch biến    m 1   m   m  10m  ;  , với f  1  ; f 1  2m f        1) TH 1: Với m 1  1  m  5 Từ bảng biến thiên nhận thấy f t   f  1   max f  t   f 1  2m m  5 Do phương trình có nghiệm  VN  2   2m 2) TH 2: Với 1  m 1     m Từ bảng biến thiên, ta lại có TH:  TH 2a Với f  1  f 1   2 m  m    m 1 Khi đó, f  t   f   max f  t   f 1 nên phương trình có    5  m  5  m  1    m  10m    m  1 nghiệm m  1  m  10m  m      2m   TH 2b Với f  1  f 1   2 m  m    m 1 Khi đó, f  t   f   max f  t   f  1 nên phương trình có    5  m   1  m    1  m  nghiệm m  1  m  10 m     m  10m   02  3) TH 3: Với m 1 1 m  Từ bảng biến thiên nhận thấy f t   f 1  max f  t   f  1 m  1 Do phương trình có nghiệm   m  2m    m  1 Từ tất TH trên, ta phương trình có nghiệm  1  m   m  1  m  Câu 14 Cho phương trình cos6 x  sin x  2m tan x Tìm m để phương trình có nghiệm cos x  sin x Hướng dẫn  sin 2 x pt   2m tan x   sin 2 x  2m sin x, cos x  cos x  3sin x  8m sin x   Đặt sin 2x  t với cos2 x  sin2 x  1  1  t  sin2 x 1 pt  f  t   3t  8mt   Hàm f  t  liên tục nên phương trình f  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t  4m   Hàm f  t  nghịch biến  ;   ; đồng biến    4m  ;   với f  1  1  m ;    16m  4m  4 f 1  1  8m f      1) TH 1: Với  4m  1  m , ta có bảng biến thiên: 10 Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m  m  Do đó, phương trình có nghiệm  m 4 1  8m   1  8m 2) TH 2: Với 1   4m 3     m , ta có bảng biến thiên: 4 Ta có trường hợp nhỏ  2a: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  thì: 16m  4m  f    f  t   1  8m   f  t   f 1     Do đó, phương trình có nghiệm khi:  3    m  0  m     m m   16m2 m        1  8m   2b: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  thì: 16m  4m  f    f  t   1  8m   f  t   f  1     Do đó, phương trình có nghiệm khi: 11  3    m   m0     m m   16m m        1  8m  3) TH 3: Với  4m  1  m  , ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên nhận thấy f 1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m  m   Do đó, phương trình có nghiệm  m 4 1  8m   1  8m Từ tất trường hợp trên, suy phương trình có nghiệm khi:  m      m  m   8   m   m     m    8    m    Câu 15 Cho phương trình sin x  cos6 x  m sin x 1) Giải phương trình m  2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn pt   sin 2 x  m sin x  3sin 2 x  4m sin x   1) Với m  sin x   pt  3sin x  sin x      x   k, k  Z sin x   VN   12 2) Đặt t  sin 2x,   t  pt  f  t   3t  4mt   Hàm số f  t   3t  4mt  liên tục nên phương trình f  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t  2m   Hàm nghịch biến  ;  , đồng biến    2m  ;   với f  1  1  m    4m  2m   ; f 1  1  m f      a) TH 1: Với  2m  1  m , ta có bảng biến thiên Nhận thấy TH này, f  t   f  1  1  4m max f  t   1  4m  m  Do phương trình có nghiệm  m 2 1  4m   1  4m b) TH 2: Với 1   2m 3     m , ta có bảng biến thiên: 2 Ta có TH nhỏ:  TH 2a: Với f  1  f 1  1 m   1 m  m 4m  2m  f  t   f    max f  t   f 1  1  4m    Khi phương trình có nghiệm 13  3    m  0  m     m m   4m m       1  4m   TH 2b: Với f  1  f 1  1 m   1 m  m 4m  2m  f  t   f    max f  t   f  1  1  4m    Khi phương trình có nghiệm  3    m    m   m    m    4m m        1  4m  c) TH 3: Với  2m   m  , ta có bảng biến thiên: Nhận thấy TH f  t   f 1  1  4m max f  t   f  1  1  4m  m   m      m Do đó, phương trình có nghiệm  2 1  4m   1  4m m    Tổng hợp tất TH trên, ta phương trình có nghiệm khi:  m    1  m  m  4   m   m     m    4   m    Câu 16 Tìm m để phương trình  m2  3m   cos2 x  m  m  1 có nghiệm 14 Hướng dẫn pt   m  1 m   cos2 x  m  m  1  Với m , pt   với x  Với m , phương trình pt   vô nghiệm  Với m  1; m  pt  cos x  Để có nghiệm x  m  m  1  m  1 m    m m2 m 1 m  m2 Như vậy, phương trình có nghiệm m  0; m  Câu 17 Tìm m để phương trình m cos x   2m  3 cos2 x  2m   có nghiệm Hướng dẫn pt  2m cos x  m   4m   cos x  2m    2  m  3 cos x  m     m  3 cos x  m   Với m  3, pt   1 vô nghiệm  Với m  3, pt  cos2 x  Phương trình có nghiệm  m2 m3  m  4 m2 2 m3  m  2 Vậy phương trình có nghiệm m  4; m  2 Câu 18 Cho hàm số f  x   3cos6 x  sin x  cos x  m 1) Giải phương trình f  x   m  2) Cho hàm số g  x   2cos2 x 3cos 2 x  Tìm m để phương trình f  x   g  x  có nghiệm Hướng dẫn f  x   3cos6 x  sin x  cos x  m  3cos x  1  cos 2 x   2cos 2 x   m  3cos6 x   2cos 2 x  cos x  2cos 2 x   m  3cos x  cos x  m 1) Khi m  f  x    3cos6 x  cos4 x   cos x  3cos 2 x  1  cos x       x   k  x   k, k  Z 2 3cos x   VN  2) f  x   g  x   3cos6 x  cos4 x  m  2cos2 x 3cos 2 x  15  m  3cos6 x  cos x  2cos 2 x 3cos 2 x   m  cos x  3cos 2 x  1  2cos 2 x 3cos 2 x  cos 2 x   t  Đặt t  cos2 x 3cos2 x , với  pt  m  t  2t cos x 1  t  f t  Dễ thấy f t   t  2t hàm liên tục R nên phương trình m  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với  t  Ta có f  t   t  2t   t  1  Do  t   1  t      t  1   1  f  t   Như vậy, phương trình có nghiệm 1  m  16 […]… thấy f 1  f t   f  1   1 8m  f t   1 8m 3  3 m   Do đó, phương trình có nghiệm khi  m 4 4  1  8m  0  1  8m Từ tất cả các trường hợp trên, suy ra phương trình có nghiệm khi: 3  m  4  1   1  m  3 m   8 1 4 8   m   8 m   1  3  m   1  8 8  4   3 m    4 Câu 15 Cho phương trình sin 6 x  cos6 x  m sin 2 x 1) Giải phương trình khi m  1 4…  m  4  1 3   m m  0 8 4  16 m2 m  1   8   4  0  1  8m  3  2b: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì: 16 m  4m  f   4  f  t   1  8m   f  t   f  1   3  3  2 Do đó, phương trình có nghiệm khi: 11  3 3  3  4  m  4  m0  3 1  4   m m  0 4 8  16 m 2 m   1  8   4  0  1  8m  3 3) TH 3: Với  4m 3  1  m   ,… Do đó, phương trình có nghiệm khi  2 2  1  4m  0  1  4m m   1  4 Tổng hợp tất cả các TH trên, ta được phương trình có nghiệm khi: 3  m  2  1  1  m  3 m  4 1 2 4   m   3 4 m   1   m   1  4 4  2  3 m    2 Câu 16 Tìm m để phương trình  m2  3m  2  cos2 x  m  m  1 có nghiệm 14 Hướng dẫn pt   m  1  m  2  cos2 x  m  m  1  Với m  1 , pt … nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m 3  3 m  Do đó, 1  8m  0  1  8m 2) TH 2: Với 1   4m 3 3  1    m , ta có bảng biến thiên: 3 4 4 Ta có 2 trường hợp nhỏ  2a: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  0 thì: 16 m  4m  f   4  f  t   1  8m   f  t   f 1   3  3  2 Do đó, 1   2m 3 3  1    m , ta có bảng biến thiên: 3 2 2 Ta có 2 TH nhỏ:  TH 2a: Với f  1  f 1  1 4 m   1 4 m  m 0 thì 4m  2m  min f  t   f    4 và max f  t   f 1  1  4m  3  3  2 Khi đó 13  3 3 3   2  m  2 0  m  2  1 3   m m  0 4 2  4m 2 m  1   4  4  0  1  4m  3  TH 2b: Với f  1  f 1  1 4…  t  với 1  t  1 2m   Hàm nghịch biến trên  ;  , đồng biến trên 3    2m  ;   với f  1  1  4 m   3  4m  2m   4 ; f 1  1  4 m và f    3  3  2 a) TH 1: Với  2m 3  1  m , ta có bảng biến thiên 3 2 Nhận thấy TH này, min f  t   f  1  1  4m và max f  t   1  4m 3  3 m  Do đó 1  4m  0  1  4m b)…  m  2  Với m  3, pt  0  1 vô nghiệm  Với m  3, pt  2 cos2 x  Phương trình có nghiệm khi 0  m2 m3  m  4 m2 2 m3  m  2 Vậy phương trình có nghiệm khi m  4; m  2 Câu 18 Cho hàm số f  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m 1) Giải phương trình f  x   0 khi m  0 2) Cho hàm số g  x   2cos2 2 x 3cos 2 2 x  1 Tìm m để phương trình f  x   g  x  có nghiệm…   1 4 m  m 0 thì 4m  2m  min f  t   f    4 và max f  t   f  1  1  4m  3  3  2 Khi đó phương trình có nghiệm khi  3 3  3  2  m  2  2  m  0  3 1 m  0   m   2 4  4m 2 m   1   4  4  0  1  4m  3 c) TH 3: Với  2m 3  1  m  , ta có bảng biến thiên: 3 2 Nhận thấy TH này thì min f  t   f 1  1  4m và max f  t   f  1  1  4m… m  2  cos2 x  m  m  1  Với m  1 , pt  0  0 luôn đúng với mọi x  Với m  2, phương trình pt  0  2 vô nghiệm  Với m  1; m  2 thì pt  cos 2 x  Để có nghiệm x thì 0  m  m  1  m  1  m  2   m m2 m 1 m  0 m2 Như vậy, phương trình có nghiệm khi m  0; m  1 Câu 17 Tìm m để phương trình m cos 2 x  2  2m  3 cos2 x  2m  2  0 có nghiệm Hướng dẫn pt  2m cos 2 x  m… trình khi m  1 4 2) Tìm m để phương trình có nghiệm Hướng dẫn 3 pt  1  sin 2 2 x  m sin 2 x  3sin 2 2 x  4m sin 2 x  4  0 4 1) Với m  1 thì 4 sin 2 x  1  pt  3sin 2 x  sin 2 x  4  0    x   k, k  Z sin 2 x   4 VN  4 3  2 12 2) Đặt t  sin 2x,  1  t  1 thì pt  f  t   3t 2  4mt  4  0 Hàm số f  t   3t 2  4mt  4 liên tục nên phương trình f  t   0 có nghiệm … f  1  1  m ;    16 m  4m  4 f 1  1  8m f      1) TH 1: Với  4m  1  m , ta có bảng biến thiên: 10 Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m… với 1  t  m 1  Hàm số f  t   2t   m  1 t   m  1 nghịch biến  ;  nghịch biến    m 1   m   m  10 m  ;  , với f  1  ; f 1  2m f        1) TH 1: …  1  m ; Đặt t  sin x , với 1  sin x     t  2 4  1  1 pt   t     t    m  m  f  t   2t  3t   2  2 1) Với m  1 pt  2t  3t    t  8   x   k 2  1 

•Tài liệu không nhắc lại các công thức lượng giác.•Tài liệu không nhắc lại cách giải các phương trình lượng giác cơ bản và các phương trình lượng giác thường gặp (bậc nhất đối với và ; bậc hai bậc cao với một ẩn lượng giác; đối xứng và ; đẳng cấp bậc hai và bậc ba).•Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm và Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai và các dạng hàm liên quan (hàm số chứa căn, chứa trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…).•Tài liệu không sử dụng phương pháp hàm số có sử dụng đạo hàm (Toán 12). Phương trình lượng giác chứa tham số Phần Mộtlưu ý  Tài liệu không nhắc lại công thức Tài liệu không nhắc lại cách giải sin x / cos x / tan x / cot x  mthường gặp (bậc sin x cos x ; bậc hai/ bậc cao với ẩngiác; đối xứng sin x cos x ; đẳng cấp bậc hai bậc ba)  Các kiến thức khác cần nắm vững: Nhẩm nghiệm Lược đồ Horner; Khảo sát hàm bậc hai f  x   ax  bx  c dạng hàm liên quan (hàmcăn,trị tuyệt đối, hàm lắp ghép, hàm trùng phương, hàm bậc hai có điều kiện,…)  Tài liệu không sử dụngpháp hàmcó sử dụng đạo hàm (Toán 12)  Mọi góp ý, thắc mắc vui lòng liên hệ địa email [email protected] Câu Chocos x  m sin x 1) Giảim 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn 1) Với m  pt  cos x  sin x   12   3 cos x  12   3 2 sin x  12   3   cos x  sin x   sin cos x  cos sin x  2 6          sin   x    sin   x   sin   x   k 2  x   k 2, k  Z 6  6   Vậycó nghiệm x    k 2, k  Zm   2)có nghiệm 12  m2  22  m2    m  3 sin x  sin x  mCâu Cho1) Giảim 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn 1) Với m  pt  sin x  sin x  3 1  cos x  sin x    cos x  sin x  2 3  sin x  cos x   sin x  cos x  2      x    k 2 x   k      3  sin  x      ,k  Z 3   x    2  k 2  x    k   3  2) pt   1  cos x   sin x m   cos x  sin x  2m  sin x  cos x  2m có nghiệm 12   2   2m        2m   2 2  2 m2 Câu Cho2sin x  6cos x   2k1) Tìm k nguyên dương đểcó nghiệm 2) Tìm nghiệmk Đáp án: 1) k  1; k  ; 2) x   2  l 2, l  ZCâu Chosin x   2m   sin x cos x   m  1 cos x  m1) Tìm m đểcó nghiệm 2) Giảim  2Hướng dẫn 1) pt   cos x  cos x   m  1 sin x   m  1 m 2   cos x   m  1 sin x   m  1   m  1 cos x  2m   m  1 sin x   m   cos x  3mcó nghiệm 2  m  1   m     3m  2  4m2  8m   m2  4m   9m2 m   5m2  4m   9m2  4m2  4m      m  2 2) Với m  2 pt   m  1 sin x   m   cos x  3m  6sin x  6  sin x   x    k 2  x    k, k  ZCâu Tìm m để m  1 sin x  sin x  cos x  có nghiệm Đáp án: m Câu Cho2sin x  cos x   a sin x  2cos x  1) Giảia 2) Tìm a đểcó nghiệm Hướng dẫn 1) Với a  2sin x  cos x  pt  sin x  2cos x  3  6sin x  3cos x   sin x  cos x   5sin x  5cos x   sin x  cos x   x     k, k  Z 2) Nhận xét thấy   sin x  2cos x 5 sin x 2cos x 3 0  x(Mẫukhác với x – Điều quan trọng biện luậndạng T a sin x  b cos x  c ) m sin x  n cos x  p Do đó, pt  2sin x  cos x   a sin x  2a cos x  3a   a  2 sin x   2a  1 cos x   3acó nghiệm  a     2a  1  1  3a  2  a  4a   4a  4a   9a  6a   5a   9a  6a  4a  6a    2a  3a      a  2 Câu Cho2a sin x   a  1 cos x  acos x 1) Giảia 2) Tìm a đểcó nghiệm Hướng dẫn pt  2a sin x cos x   a  1 cos x  a, cos x    a  1 cos x  1 a a sin x  2a sin x   a  1 cos x  a  1   cos x  cos x   1) Với a    x    k  2sin x  cos x     pt     x   k, kZ cos x   x    k  2)cho có nghiệm(1) có nghiệm thỏa mãn cos x  a  1 2 Trước hết, (1) có nghiệm  2a    a  1   a  1  a  sin x  2sin x cos x  Xét cos x  , 1  a   a   a cos x  2cos x   1 Thử lại, với a  1  cos x  1  2cos x   cos x , haycó nghiệm cos x  bị loại Do giá trị a  không thỏa mãn yêu cầu đề  a  1  a  1 Như vậy,có nghiệm  a   a0   a  Câu Chosin x   cos x  sin x   m1) Giảim 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn pt  2sin x cos x   cos x  sin x   m ; Đặt t  cos x  sin x, t   sin x cosx  1 t2pt   t  4t  m  m  t  4t 1) Với m  pt   t  4t   t  4t   t   loai    x  k 2  t  1 tm   cos x  sin x    ,k  Z  x     k 2    2) Ta có m  f  t   t  4t  với   t Dễ thấy f  t   t  4t  hàm liên tục   2;  nênm  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t f  t   t  4t   t  4t      t   Mà   t      t      2    t  2   2     t  2   2  1     t    1   1   f  t   1  2 Nhưcó nghiệm 1   m  1 Lưu ý: Bạn sử dụngpháp hàm số: Lập bảng biến thiên cho hàmbậc hai f  t   t  4t  với   t  để tìm f  t , max f  t Câu Tìm m đểsin x  cos x  2sin x  m có nghiệm Hướng dẫn Đặt t  sin x  cos x, t  sin x cos x  1 t2 2t  t  2,  t  pt  t  1  t   m  m  f  t   2t  t     2t  t  2,   t  Hàmf  t  liên tục nênm  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với   t   Lập bảng biến thiên cho hàm lắp ghép trên, ta f  t   f   f  2  2  1   17 max f  t   f     f    4 4 2 m Nhưcó nghiệm 17Câu 10 Chosin x  cos4 x  m1) Tìm m đểcó nghiệm 2) Giảim Hướng dẫn  1) pt  m  sin x   sin x   2sin x  2sin x  Đặt t  sin2 x,  t  pt  m  f  t   2t  2t  Dễ thấy hàm f  t   2t  2t  liên tục D  R nênm  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với  t Xét hàm f  t   2t  2t  0;1 lập bảng biến thiên, ta 1 f  t   f    max f  t   f    f 1 2 Docó nghiệm 2) Khi m   m  3  2t  2t   8t  8t  4  1  cos x  42 2 2   t  sin x   4      1  cos x  42 2 2   t  sin x   4    cos x     cos x    cos 2 x   cos x    cos x      cos x   x   k, k  Z 2 Câu 11 Chosin x  1  sin x   m1) Giảim 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫncho có dạng t  x  x  a   x  b   m với cáchpháp ẩn phụ ab đưatrùngpt  sin x   sin x  1  m ; Đặt t  sin x , với 1  sin x     t  2 4  1  1 pt   t     t    m  m  f  t   2t  3t   2  2 1) Với m pt  2t  3t    t  8   x   k 2  sin x    sin x    ,k  Z 2  x  5  k 2  2) Đặt u  t với  t  0u2 pt  m  2t  3t  f  u   2u  3u  f  u   2u  3u , với  u 8 hàm liên tục D  R nênm  f  u  có nghiệm f  u   m  max f  u , với  u Xét hàmf  u   2u  3u lập bảng biến thiên, f  u   f    8 9 max f  u   f    174 Do đó,có nghiệm  m  17Câu 12 Tìm m đểsau có nghiệm     sin x  cos4 x  sin x  cos6 x  sin x  mHướng dẫn     pt  m  1  sin 2 x   1  sin 2 x   sin x     2  m   2sin x   3sin x  sin x  sin 2 x  sin x  cos x m   cos x  2m  cos x  cos x  Đặt cos 4x  t    1;1 pt  2m  f  t   2t  t  Dễ thấy f  t   2t  t  hàm liên tục hàm bậc hai, dễ dàng tìm 1 f  t   f     max f  t   f  1 4 9 Do đó, đểcó nghiệm   2m     m 16 Câu 13 Chocos x   m  1 sin x  m Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn pt   2sin x   m  1 sin x  m   2sin x   m  1 sin x   m  1  Đặt t  sin x,   t  pt  f  t   2t   m  1 t   m  1 Do f  t   2t   m  1 t   m  1 hàm liên tục R nênf  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t m 1  Hàmf  t   2t   m  1 t   m  1 nghịch biến  ;  nghịch biến    m 1   m   m  10m  ;  , với f  1  ; f 1  2m f       1) TH 1: Với m 1  1  m  5 Từ bảng biến thiên nhận thấy f t   f  1   max f  t   f 1  2mm  5 Docó nghiệm  VN 2   2m 2) TH 2: Với 1  m 1     m Từ bảng biến thiên, ta lại có TH:  TH 2a Với f  1  f 1   2 m  m   m 1 Khi đó, f  t   f   max f  t   f 1 nêncó    5  m  5  m  1    m  10m    m  1nghiệm m  1  m  10m  m      2m   TH 2b Với f  1  f 1   2 m  m   m 1 Khi đó, f  t   f   max f  t   f  1 nêncó    5  m   1  m    1  m nghiệm m  1  m  10 m     m  10m   02  3) TH 3: Với m 1 1 m  Từ bảng biến thiên nhận thấy f t   f 1  max f  t   f  1m  1 Docó nghiệm   m  2m    m  1 Từ tất TH trên, tacó nghiệm  1  m   m  1 m  Câu 14 Chocos6 x  sin x  2m tan xTìm m đểcó nghiệm cos x  sin x Hướng dẫn  sin 2 x pt   2m tan x   sin 2 x  2m sin x, cos x  cos x  3sin x  8m sin x   Đặt sin 2x  t với cos2 x  sin2 x  1  1  t  sin2 x 1pt  f  t   3t  8mt  Hàm f  t  liên tục nênf  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t 4m   Hàm f  t  nghịch biến  ;   ; đồng biến    4m  ;   với f  1  1  m ;    16m  4m  4 f 1  1  8m f      1) TH 1: Với  4m  1  m , ta có bảng biến thiên: 10 Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m m  Do đó,có nghiệm  m4 1  8m   1  8m 2) TH 2: Với 1   4m 3     m , ta có bảng biến thiên: 4 Ta có trường hợp nhỏ  2a: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  thì: 16m  4m  f    f  t   1  8m   f  t   f 1     Do đó,có nghiệm khi:  3    m  0  m     m m   16m2 m        1  8m   2b: Nếu f  1  f 1  1  8m  1  8m  m  thì: 16m  4m  f    f  t   1  8m   f  t   f  1     Do đó,có nghiệm khi: 11  3    m   m0     m m   16m m        1  8m  3) TH 3: Với  4m  1  m  , ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên nhận thấy f 1  f t   f 1   1 8m  f t   1 8m m   Do đó,có nghiệm  m4 1  8m   1  8m Từ tất trường hợp trên, suycó nghiệm khi:  m      m  m   8   m  m     m    8    m    Câu 15 Chosin x  cos6 x  m sin x1) Giảim 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn pt   sin 2 x  m sin x  3sin 2 x  4m sin x  1) Với m  sin x   pt  3sin x  sin x      x   k, k  Zsin x   VN   12 2) Đặt t  sin 2x,   t  pt  f  t   3t  4mt  Hàmf  t   3t  4mt  liên tục nênf  t   có nghiệm f  t    max f  t  với 1  t 2m   Hàm nghịch biến  ;  , đồng biến    2m  ;   với f  1  1  m    4m  2m   ; f 1  1  m f      a) TH 1: Với  2m  1  m , ta có bảng biến thiên Nhận thấy TH này, f  t   f  1  1  4m max f  t   1  4m m  Docó nghiệm  m2 1  4m   1  4m b) TH 2: Với 1   2m 3     m , ta có bảng biến thiên: 2 Ta có TH nhỏ:  TH 2a: Với f  1  f 1  1 m   1 m  m 4m  2m  f  t   f    max f  t   f 1  1  4m   Khicó nghiệm 13  3    m  0  m     mm   4m m       1  4m   TH 2b: Với f  1  f 1  1 m   1 m  m 4m  2m  f  t   f    max f  t   f  1  1  4m   Khicó nghiệm  3    m    m   m    m   4m m        1  4m  c) TH 3: Với  2m   m  , ta có bảng biến thiên: Nhận thấy TH f  t   f 1  1  4m max f  t   f  1  1  4m m   m      mDo đó,có nghiệm  2 1  4m   1  4m m    Tổng hợp tất TH trên, tacó nghiệm khi:  m    1  m  m  4   m  m     m    4   m    Câu 16 Tìm m để m2  3m   cos2 x  m  m  1 có nghiệm 14 Hướng dẫn pt   m  1 m   cos2 x  m  m  1 Với m , pt   với x Với m  ,pt   vô nghiệm  Với m  1; m  pt  cos x  Để có nghiệm x  m  m  1  m  1 m    mm2 m 1 m  m2 Như vậy,có nghiệm m  0; m Câu 17 Tìm m đểm cos x   2m  3 cos2 x  2m   có nghiệm Hướng dẫn pt  2m cos x  m   4m   cos x  2m    2  m  3 cos x  m     m  3 cos x  m   Với m  3, pt   1 vô nghiệm  Với m  3, pt  cos2 x có nghiệm  m2m3  m  4 m22 m3  m  2 Vậycó nghiệm m  4; m  2Câu 18 Cho hàmf  x   3cos6 x  sin x  cos x  m1) Giảif  x   m 2) Cho hàmg  x   2cos2 x 3cos 2 x Tìm m đểf  x   g  x  có nghiệm Hướng dẫn f  x   3cos6 x  sin x  cos x  m  3cos x  1  cos 2 x   2cos 2 x   m  3cos6 x   2cos 2 x  cos x  2cos 2 x   m  3cos x  cos x  m 1) Khi m  f  x    3cos6 x  cos4 x   cos x  3cos 2 x  1  cos x       x   k  x   k, k  Z 2 3cos x   VN  2) f  x   g  x   3cos6 x  cos4 x  m  2cos2 x 3cos 2 x  15  m  3cos6 x  cos x  2cos 2 x 3cos 2 x   m  cos x  3cos 2 x  1  2cos 2 x 3cos 2 x  cos 2 x   t  Đặt t  cos2 x 3cos2 x , với  pt  m  t  2tcos x 1  t  f t  Dễ thấy f t   t  2t hàm liên tục R nênm  f  t  có nghiệm f  t   m  max f  t  với  t Ta có f  t   t  2t   t  1  Do  t   1  t      t  1   1  f  t   Như vậy,có nghiệm 1  m 16 […]… thấy f f t   f  8m  f t  8m 3  3 m   Do đó,có nghiệm khi  m 4 4  8m  0  8m Từ tất cả các trường hợp trên, suy racó nghiệm khi: 3  m  4   m  3 m   84 8   m   8 m   3  m   8 8  4   3 m    4 Câu15 Chosin 6 x  cos6 x  m sin 2 x1) Giảikhi m 4…  m  4 3   m m  0 8 4 16 m2 m   8   4  0  8m  3  2b: Nếu f  f 8m  8m  m  0 thì:16 m  4m  f   4  f  t   8m   f  t   f   3  3  2 Do đó,có nghiệm khi:11  3 3  3  4  m  4  m0  3 4   m m  0 4 8 16 m 2 m   8   4  0  8m  3 3) TH 3: Với  4m 3  m   ,… Do đó,có nghiệm khi  2 2  4m  0  4m m   4 Tổng hợp tất cả các TH trên, ta đượccó nghiệm khi: 3  m  2  m  3 m  42 4   m   3 4 m    m   4 4  2  3 m    2 Câu16 Tìm m để m2  3m  2  cos2 x  m  m có nghiệm14 Hướng dẫn pt   m  m  2  cos2 x  m  m  Với m , pt … nhận thấy f  f t   f 8m  f t  8m 3  3 m  Do đó, phương trình có nghiệm khi  m 4 4  8m  0  8m 2) TH 2: Với  4m 3 3    m , ta có bảng biến thiên: 3 4 4 Ta có 2 trường hợp nhỏ  2a: Nếu f  f 8m  8m  m  0 thì:16 m  4m  f   4  f  t   8m   f  t   f  3  3  2 Do đó, phương trình có nghiệm… Với  2m 3 3    m , ta có bảng biến thiên: 3 2 2 Ta có 2 TH nhỏ:  TH 2a: Với f  f4 m  4 m  m 0 thì 4m  2m  min f  t   f    4 và max f  t   f 4m  3  3  2 Khi đó phương trình có nghiệm khi13  3 3 3   2  m  2 0  m  2 3   m m  0 4 2  4m 2 m   4  4  0  4m  3  TH 2b: Với f  f4…  t  với t 2m   Hàm nghịch biến trên  ;  , đồng biến trên 3    2m  ;   với f  4 m   3  4m  2m   4 ; f 4 m và f    3  3  2 a) TH1: Với  2m 3  m , ta có bảng biến thiên 3 2 Nhận thấy TH này, min f  t   f  4m và max f  t   4m 3  3 m  Do đó phương trình có nghiệm khi  m 2 2  4m  0  4m b)…  m  2  Với m  3, pt  0 vô nghiệm  Với m  3, pt  2 cos2 x có nghiệm khi 0  m2 m3  m  4 m2 2 m3  m  2 Vậycó nghiệm khi m  4; m  2 Câu18 Cho hàmf  x   3cos6 2 x  sin 4 2 x  cos 4 x  m1) Giảif  x   0 khi m  0 2) Cho hàmg  x   2cos2 2 x 3cos 2 2 x Tìm m đểf  x   g  x  có nghiệm…  4 m  m 0 thì 4m  2m  min f  t   f    4 và max f  t   f  4m  3  3  2 Khi đócó nghiệm khi  3 3  3  2  m  2  2  m  0  3m  0   m   2 4  4m 2 m    4  4  0  4m  3 c) TH 3: Với  2m 3  m  , ta có bảng biến thiên: 3 2 Nhận thấy TH này thì min f  t   f 4m và max f  t   f  4m… m  2  cos2 x  m  m  Với m , pt  0  0 luôn đúng với mọi x  Với m  2 ,pt  0  2 vô nghiệm  Với m 1; m  2 thì pt  cos 2 x  Để có nghiệm x thì 0  m  m  m  m  2   m m2 mm  0 m2 Như vậy,có nghiệm khi m  0; m Câu17 Tìm m đểm cos 2 x  2  2m  3 cos2 x  2m  2  0 có nghiệm Hướng dẫn pt  2m cos 2 x  m…khi m 4 2) Tìm m đểcó nghiệm Hướng dẫn 3 pt  sin 2 2 x  m sin 2 x  3sin 2 2 x  4m sin 2 x  4  0 41) Với m thì 4 sin 2 x  pt  3sin 2 x  sin 2 x  4  0    x   k, k  Z sin 2 x   4 VN  4 3  212 2) Đặt t  sin 2x,  t thì pt  f  t   3t 2  4mt  4  0 Hàmf  t   3t 2  4mt  4 liên tục nênf  t   0 có nghiệm … f  1  1  m ;    16 m  4m  4 f 1  1  8m f      1) TH 1: Với  4m  1  m , ta có bảng biến thiên: 10 Từ bảng biến thiên nhận thấy f  1  f t   f 1   1 8m… với 1  t  m 1  Hàm số f  t   2t   m  1 t   m  1 nghịch biến  ;  nghịch biến    m 1   m   m  10 m  ;  , với f  1  ; f 1  2m f        1) TH 1: …  1  m ; Đặt t  sin x , với 1  sin x     t  2 4  1  1 pt   t     t    m  m  f  t   2t  3t   2  2 1) Với m  1 pt  2t  3t    t  8   x   k 2  1 

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp