Phương trình mặt cầu và các dạng bài tập – Toán Thầy Định

Phương trình mặt cầu là một trong các nội dung qua trọng của hình học giải tích. Trong bài viết dưới đây tôi sẽ hướng dẫn các bạn tất cả các dạng toán liên quan đến nội dung này. Bên cạnh đó mỗi dạng toán sẽ có 1 ví dụ cụ thể để các bạn tiện theo dõi. Hãy cùng học nội dung nay thông qua bài viết nhé!

I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Trước tiên ta cần nhắc lại khái niệm mặt cầu là gì ? Trong khoảng trống, mặt cầu là quỹ tích những điểm cách đều một điểm cho trước một khoảng chừng không đổi. Khoảng không đổi đó gọi là nửa đường kính. Điểm cho trước gọi là tâm mặt cầu .
Mặt cầu cũng hoàn toàn có thể được định nghĩa theo khái niệm mặt tròn xoay. Theo đó mặt cầu là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính .

Trong không gian Oxyz cho mặt cầu S tâm I(a;b;c) bán kính R. Phương trình chính tắc của (S) là:

( x-a ) ² + ( y-b ) ² + ( z-c ) ² = R²

Ngoài ra nếu a²+b²+c²-d>0 thì phương trình sau đây là phương trình tổng quát của (S):

x² + y² + z²-2ax-2by-2cz+d = 0 ( 1 )
Tọa độ tâm của ( S ) có phương trình ( 1 ) là I ( a ; b ; c ) và nửa đường kính của ( S ) được tính theo công thức :

II. DẠNG BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU THƯỜNG GẶP

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

1. NHẬN DẠNG PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU

Với dạng toán này, tất cả chúng ta có một số ít phương trình. Và được nhu yếu nhận dạng xem phương trình nào là phương trình của một mặt câ ` u .

Ví dụ minh họa:

Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt câ ` u ?

A. x²+y²+z²-4x+6y+2z+14=0.

B. x²+y²+z²-8x+2y+2z+62=0.

C. 3x²+y²+2z²-4x+6y+2z-6=0.

D. x²+y²+z²-4x+8y+2z-6=0.

Lời giải:

Đối với dạng toán này tất cả chúng ta cần chú ý quan tâm 1 số điểm như :

• Hệ số của x², y², z² phải giống nhau. Nếu hệ số của x², y², z² giống nhau mà chưa bằng 1 thì ta chia cả 2 vế phương trình để hệ số của x², y², z² bằng 1.

• Phương trình x²+y²+z²-2ax-2by-2cz+d=0 muốn là phương trình mặt câ`u thì a²+b²+c²-d>0 (điều kiện để có phương trình mặt cầu).

Trong ví dụ trên, giải pháp A không thỏa mãn nhu cầu vì a² + b² + c²-d = 2 ² + ( – 3 ) ² + ( – 1 ) ²-14 = 0 .
Phương án B không thỏa mãn nhu cầu vì a² + b² + c²-d = 4 ² + ( – 1 ) ² + ( – 1 ) ²-62 < 0 . Phương án C không thỏa mãn nhu cầu vì thông số của x², y², z² không bằng nhau . Phương án D là đáp án đúng vì a² + b² + c²-d = 2 ² + ( - 4 ) ² + ( - 1 ) ² + 6 = 27 > 0 .
Chọn đáp án D .

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

2. XÁC ĐỊNH TÂM VÀ BÁN KÍNH MẶT CẦU CÓ PHƯƠΝG TRÌNH TỔNG QUÁT

Ví dụ minh họa:

Trong khoảng trống Oxyz, mặt cầu ( S ) : 2 x² + 2 y² + 2 z² – 8 x + 8 y – 4 z = 0 có tâm và nửa đường kính lần lượt là

A. I(-2;2;-1), R=3.

B. I(2;-2;1), R=3.

C. I(-2;2;-1), R=9.

D. I(2;-2;1), R=9.

Lời giải+Hướng dẫn:

Trước hết, tất cả chúng ta cần kiểm tra thông số của x², y², z² nếu khác 1 thì cần chia cả 2 vế cho số tương thích. Ở bài này tất cả chúng ta chia cả 2 vế của phương trình cho 2 ta được ( S ) : x² + y² + z²-4x+4y-2z = 0 .

Tiếp theo để xác định tọa độ tâm mặt cầu chúng ta lấy hệ số của x, y, z chia cho -2 ta được: I(2;-2;1).

Để xác lập nửa đường kính mặt cầu ta lấy tổng bình phương những tọa độ của tâm trừ thông số tự do được tác dụng bao nhiêu thì lấy căn bậc 2 .
Bán kính mặt cầu là R² = 2 ² + ( – 2 ) ² + 1 ² – 0 = 9 ⇒ R = 3. Chọn đáp án B .

3. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU ĐƯỜNG KÍNH AB

Để làm dạng toán này ta xác lập tâm là trung điểm AB, nửa đường kính bằng nửa độ dài AB .

Ví dụ minh họa:

Trong khoảng trống Oxyz, cho điểm A ( 1 ; 2 ; 3 ) và điểm B ( 5 ; 2 ; – 1 ). Viết phương trình mặt cầu đường kính AB .

A. (x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=32.

B. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=8.

C. (x+3)²+(y+2)²+(z+1)²=32.

D.(x-3)²+(y-2)²+(z-1)²=8.

Lời giải:

Tâm mặt cầu là trung điểm AB và có tọa độ là : I ( 3 ; 2 ; 1 ) .
Gọi R là nửa đường kính mặt cầu, ta có : ( 2R ) ² = ( 5-1 ) ² + ( 2-2 ) ² + ( – 1-3 ) ² = 32 ⇒ R² = 8 .
Vậy công thức phương trình mặt cầu cần tìm là : ( x-3 ) ² + ( y-2 ) ² + ( z-1 ) ² = 8 .
Chọn đáp án D .

4. VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU ĐI QUA 4 ĐIỂM

Có nhiều cách để giải dạng toán này. Trong đó cách làm nhanh hơn là thay tọa độ 4 điểm vào dạng phương trình tổng quát. Sau đó dùng máy tính bỏ túi giải hệ 4 phương trình 4 ẩn .

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong khoảng trống Oxyz, cho 4 điểm A ( – 1 ; – 1 ; – 1 ), B ( 1 ; 0 ; 0 ), C ( 0 ; 2 ; 0 ), D ( 0 ; 0 ; 3 ). Mặt câ ` u ( S ) đi qua 4 điểm A, B, C, D có phương trình là gì ?

Lời giải:

Bộ đề thi Online các dạng có giải chi tiết: Mặt Nón – Mặt Trụ – Mặt Cầu

5. VIẾT PHƯƠNG TRÌΝH MẶT CẦU CÓ TÂM I VÀ TIẾP XÚC VỚI ĐƯỜNG THẲNG

Có duy nhất một mặt cầu tâm I tiếp xúc với đường thẳng d. Bán kính R của mặt cầu này chính là khoảng cách từ I đến d .

Ví dụ minh họa (Tự luận):

Trong khoảng trống Oxyz, cho điểm I ( 2 ; – 1 ; 3 ). Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với trục Oy là gì ?

Lời giải:

Bán kính mặt cầu là khoảng cách từ I tới trục Oy : R = | – 1 | = 1 .
( Mẹo : Chiếu lên trục nào thì lấy trị tuyệt đối cái đó, ví dụ ở đây chiếu lên trục Oy thì ta chỉ cần lấy trị tuyệt đối của tung độ ) .
Vậy phương trình mặt cầu tiếp xúc với trục Oy cần tìm là : ( x-2 ) ² + ( y + 1 ) ² + ( z-3 ) ² = 1 .
Trên đây là một số dạng toán về phương trình mặt câ ` u mà toanthaydinh.com ra mắt đến những bạn. Chúc những bạn học giỏi và thành công xuất sắc !

Xem thêm:

Vecto pháp tuyến của mặt phẳng

Phương pháp tọa độ trong không gian

Mặt Nón, Mặt Trụ, Mặt Cầu –

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp