Một số phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên – Trường Quốc Học

Hướng dẫn, cách giải phương trình nghiệm nguyên qua một số ví dụ. Phương pháp: chẵn lẻ, phân tích, cực hạn, loại trừ, chia hết, lùi vô hạn,bất đẳng thức.

Tùy từng bài tập mà những em vận dụng một hay nhiều chiêu thức để giải bài toán phương trình nghiệm nguyên .

I. Phương pháp 1 : Sử dụng tính chẵn lẻ

Ví dụ 1: Tìm x, y nguyên tố thoả mãn

                         y2 – 2×2 = 1

Hướng dẫn:

Ta có y2 – 2×2 = 1 ⇒ y2 = 2×2 + 1 ⇒ y là số lẻĐặt y = 2 k + 1 ( với k nguyên ). Ta có ( 2 k + 1 ) 2 = 2×2 + 1⇔ x2 = 2 k2 + 2 k ⇒ x chẵn, mà x nguyên tố ⇒ x = 2, y = 3

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình

                             (2x + 5y + 1)(2|x|   + y + x2  + x) = 105

 Hướng dẫn:

Ta có: (2x + 5y + 1)(2|x|  + y + x2  + x) = 105

Ta thấy 105 lẻ ⇒ 2 x + 5 y + 1 lẻ ⇒ 5 y chẵn ⇒ y chẵn2 | x | + y + x2 + x = 2 | x | + y + x ( x + 1 ) lẻcó x ( x + 1 ) chẵn, y chẵn ⇒ 2 | x | lẻ ⇒ 2 | x | = 1 ⇒ x = 0Thay x = 0 vào phương trình ta được( 5 y + 1 ) ( y + 1 ) = 105 ⇔ 5 y2 + 6 y – 104 = 0⇒ y = 4 hoặc y = $ \ displaystyle – \ frac { 26 } { 5 } $ ( loại )Thử lại ta có x = 0 ; y = 4 là nghiệm của phương trình

II. Phương pháp 2 : Phương pháp nghiên cứu và phân tích

Thực chất là biến đổi phương trình về dạng:

                   g1 (x1, x2,…., xn­) h (x1, x2,…., xn­) = a

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                   x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2

Hướng dẫn: Ta có: x4 + 4×3+ 6×2+ 4x = y2  ⇔ x4 +4×3+6×2+4x +1- y2=1

⇔ ( x + 1 ) 4 – y2 = 1 ⇔ [ ( x + 1 ) 2 – y ] [ ( x + 1 ) 2 + y ] = 1⇔ $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } – y = 1 \ \ ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } + y = 1 \ end { array } \ right. $ hoặc $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } – y = – 1 \ \ ( x + 1 ) _ { { } } ^ { 2 } + y = – 1 \ end { array } \ right. $USD \ displaystyle \ left [ \ begin { array } { l } 1 + y = 1 – y \ \ – 1 + y = – 1 – y \ end { array } \ right. $⇒ y = 0 ⇒ ( x + 1 ) 2 = 1 ⇔ x + 1 = ± 1 ⇒ x = 0 hoặc x = – 2Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ) ; ( – 2, 0 )

III. Phương pháp 3 : Phương pháp cực hạn

          Sử dụng đối với 1 số bài toán vai trò của các ẩn bình đẳng như nhau:

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:

                   5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

          Hướng dẫn:

Ta giả sử x ≥ y ≥ z ≥ t ≥ 1Ta có : 5 ( x + y + z + t ) + 10 = 2 xyzt

Do x ≥ y ≥ z ≥ 2 nên 8 x – 5 ≥ 8 y – 5 ≥ 11⇒ ( 8 x – 5 ) ( 8 y – 5 ) = 265 vô nghiệmvậy nghiệm của phương trình là bộ ( x, y, z )= ( 35 ; 3 ; 1 ; 1 ) ; ( 9 ; 5 ; 1 ; 1 ) và những hoán vị

IV. Phương pháp 4 : Phương pháp loại trừ

Khẳng định nghiệm rồi loại trừ những giá trị còn lại của ẩnVí dụ 5 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình1 ! + 2 ! + … + x ! = y2

Hướng dẫn:

Với x ≥ 5 thì x ! có tận cùng là 0 và 1 ! + 2 ! + 3 ! + 4 ! Có tận cùng là 3Þ 1 ! + 2 ! + … + x ! có tận cùng là 3, không là số chính phương ( loại )Vậy x < 5 mà x nguyên dương nên : x = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 }Thử vào phương trình ta được ( x = 1, y = 2 ) ; ( x = 3, y = 3 ) là thoả mãn .

Ví dụ 6 : Tìm tổng thể những nghiệm nguyên của phương trình

y2 + y = x4 + x3 + x2 + x

          Hướng dẫn:

Ta có : y2 + y = x4 + x3 + x2 + x ⇔ 4 y2 + 4 y + 1 = 4 x4 + 4 x3 + 4×2 + 4 x + 1⇒ ( 2×2 + x ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = ( 3 x + 1 ) ( x + 1 )hay ( 2×2 + x + 1 ) 2 – ( 2 y + 1 ) 2 = x ( x-2 )Ta thấy :Nếu x > 0 hoặc x < – 1 thì ( 3 x + 1 ) ( x + 1 ) > 0Nếu x > 2 hoặc x < - 1 thì x ( x-2 ) > 0⇒ Nếu x > 2 hoặc x < 1 thì ( 2x2 + x ) < ( 2 y + 1 ) 2 < ( 2x2 + x + 1 ) 2 ( loại )⇒ - 1 ≤ x ≤ 2 ⇒ x = 0, 1, - 1, 2Xét x = 2 ⇒ y2 + y = 30 ⇒ y = 5 hoặc y = - 6Xét x = 1 ⇒ y2 + y = 4 ( loại )Xét x = 0 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y ( y + 1 ) = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Xét x = - 1 ⇒ y2 + y = 0 ⇒ y = 0 hoặc y = - 1Vậy nghệm nguyên của phương trình là 🙁 x, y ) = ( 2, 5 ) ; ( 2, - 6 ) ; ( 0, 0 ) ; ( 0, - 1 ) ; ( - 1 ; 0 ) ; ( - 1, - 1 )

V. Phương pháp 5 : Dùng chia hết và có dư

Ví dụ 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – 2 y2 = 5

Hướng dẫn:

và x2 chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4y2 chia cho 5 có những số dư 1 hoặc 4 ⇒ 2 y2 chia cho 5 dư 2 hoặc 3⇒ x2 – 2 y2 chia cho 5 dư ± 1 hoặc ± 2 ( loại )Vậy phương trình x2 – 2 y2 = 5 vô nghiệm .

Ví dụ 8: Tìm x, y là số tự nhiên thoả mãn

                     x2 + 3y = 3026

          Hướng dẫn:

Xét y = 0 ⇒ x2 + 30 = 3026 ⇒ x2 = 3025mà xº ∈ N ⇒ x = 55

Xét y > 0 ⇒ 3y chia hết cho 3, x2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1

⇒ x2 + 3 y chia cho 3 dư 0 hoặc 1mà 3026 chia cho 3 dư 2 ( loại )Vậy nghiệm ( x, y ) = ( 55,0 )

6. Phương pháp 6 : Sử dụng đặc thù của số nguyên tố

 Ví dụ 9: Tìm x, y, z nguyên tố thoả mãn   xy + 1 = z

          Hướng dẫn:

Ta có x, y nguyên tố và xy + 1 = z ⇒ z > 3Mà z nguyên tố ⇒ z lẻ ⇒ xy chẵn ⇒ x chẵn ⇒ x = 2Xét y = 2 ⇒ 22 + 1 = 5 là nguyên tố ⇒ z = 5 ( thoả mãn )Xét y > 2 ⇒ y = 2 k + 1 ( k ∈ N ) ⇒ 22 k + 1 + 1 = z ⇒ 2. 4 k + 1 = zCó 4 chia cho 3 dư 1 ⇒ ( 2.4 k + 1 ) chia hết cho 3 ⇒ z chia hết cho 3 không thỏa mãn nhu cầu ( loại )Vậy x = 2, y = 2, z = 5 thoả mãn

VII. Phương pháp 7 : Đưa về dạng tổng

Ví dụ 10: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                             x2 + y2 – x – y = 8

          Hướng dẫn:

Ta có x2 + y2 – x – y = 8 ⇒ 4 x2 + 4 y2 – 4 x – 4 y = 32⇔ ( 4×2 – 4 x + 1 ) + ( 4 y2 – 4 y + 1 ) = 34 ⇔ ( 2 x – 1 ) 2 + ( 2 y – 1 ) 2 = 34Bằng chiêu thức thử chọn ta thấy 34 chỉ có duy nhất 1 dạng nghiên cứu và phân tích thành tổng của 2 số chính phương 32 và 52Do đó ta có $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } | 2 x – 1 | = 3 \ \ | 2 y – 1 | = 5 \ end { array } \ right. $ hoặc $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } | 2 x – 1 | = 5 \ \ | 2 y – 1 | = 3 \ end { array } \ right. $Giải ra ta được ( x, y ) = ( 2,3 ) ; ( 2, – 2 ) ; ( – 1, – 2 ) ; ( – 1, 3 ) và những hoán vị của nó .

Ví dụ 11 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                                  x2 – 4xy + 5y2  = 169

          Hướng dẫn:   Ta có x2 – 4xy + 5y2  = 169 ⇔ (x – 2y)2 + y2 = 169

Ta thấy 169 = 02 + 132 = 52 + 122

Giải ra ta được ( x, y ) = ( 29, 12 ) ; ( 19, 12 ) ; ( – 19, – 12 ) ; ( 22, 5 ) ; ( – 2, 5 ) ; ( 2, – 5 ) ; ( – 22, – 5 ) ; ( 26, 13 ) ; ( – 26, – 13 ) ; ( – 13. 0 ) ; ( 13, 0 )

VIII. Phương pháp 8 : Lùi vô hạn

Ví dụ 12: Tìm nghiệm nguyêm của phương trình

                        x2 – 5y2 = 0

          Hướng dẫn:

Giả sử x0, y0 là nghiệm của phương trình x2 – 5 y2 = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = y = 0

Ví dụ 13: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

                    x2 + y2 + z2 = x2 y2

Hướng dẫn:

Nếu x, y đều là số lẻ ⇒ x2, y2 chia cho 4 đều dư 1

Đặt x = 2×1, y = 2 y1, z = 2 z1Ta có x + y + z = xylập luận tương tự như ta có x + y + z = 16 xyQuá trình này cứ liên tục ta thấy ( x1, y1, z1 ) là nghiệm của phương trình thìUSD \ displaystyle \ left ( \ frac { { { x } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } }, \ frac { { { y } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } }, \ frac { { { z } _ { 1 } } } { 2 _ { { } } ^ { k } } \ right ) USD là nghiệm của phương trình với k nguyên dương⇒ x1 = y1 = z1 = 0Vậy phương trình có nghiệm là ( 0, 0, 0 )

IX. Phương pháp 9 : Sử dụng đặc thù nghiệm của phương trình bậc 2

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi những ẩn khác là tham số, sử dụng những đặc thù về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác lập giá trị của tham số .

Ví dụ 14: Giải phương trình nghiệm nguyên

3×2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + 5 = 0

          Hướng dẫn:

Ta có PT : 3×2 + y2 + 4 xy + 4 x + 2 y + 5 = 0⇒ y2 + ( 4 x + 2 ) y + 3 x2 + 4 x + 5 = ) ( * ) coi x là tham số giải phương trình bậc 2 pt ( * ) ẩn y ta có

⇒ ( x – n ) ( x + n ) = 4 ⇒ x – n = x + n = ± 2 ⇒ x = ± 2Vậy phương trình có nghiệm nguyên( x, y ) = ( 2 ; – 5 ) ; ( – 2, 3 )

Ví dụ 15: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 – (y+5)x + 5y + 2 = 0

Hướng dẫn:

Ta có x2 – ( y + 5 ) x + 5 y + 2 = 0 coi y là tham số ta có phương trình bậc 2 ẩn x. Giả sử phương trình bậc 2 có 2 nghiệm x1, x2Ta có : $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } { { x } _ { 1 } } + { { x } _ { 2 } } = y + 5 \ \ { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = 5 y + 2 \ end { array } \ right. $⇒ $ \ displaystyle \ left \ { \ begin { array } { l } 5 { { x } _ { 1 } } + 5 { { x } _ { 2 } } = 5 y + 25 \ \ { { x } _ { 1 } } { { x } _ { 2 } } = 5 y + 2 \ end { array } \ right. $⇒ 5 x1 + 5×2 – x1x2 = 23⇔ ( x1 – 5 ) ( x2 – 5 ) = 2 Mà 2 = 1.2 = ( – 1 ) ( – 2 )⇒ x1 + x2 = 13 hoặc x1 + x2 = 7 ⇒ y = 8 hoặc y = 2thay vào phương trình ta tìm được những cặp số( x, y ) = ( 7, 8 ) ; ( 6, 8 ) ; ( 4, 2 ) ; ( 3, 2 ) ; là nghiệm của phương trình

X. Phương pháp 10 : Dùng bất đẳng thức

Ví dụ 16: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x2 –xy + y2 = 3

          Hướng dẫn:

Ta có x2 – xy + y2 = 3 ⇔ ( x – $ \ displaystyle \ frac { y } { 2 } $ ) 2 = 3 – $ \ displaystyle \ frac { 3 y_ { { } } ^ { 2 } } { 4 } $Ta thấy ( x – $ \ displaystyle \ frac { y } { 2 } $ ) 2 = 3 – $ \ displaystyle \ frac { 3 y_ { { } } ^ { 2 } } { 4 } $ ≥ 0⇒ – 2 ≤ y ≤ 2⇒ y = ± 2 ; ± 1 ; 0 thay vào phương trình tìm xTa được những nghiệm nguyên của phương trình là :

(x, y) = (-1,-2), (1, 2); (-2, -1); (2,1) ;(-1,1) ;(1, -1)

Bài tập phương trình nghiệm nguyên:

Tin tức – Tags: nghiệm nguyên, phương trình

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp