Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳngToán học lớp 10 với khá đầy đủ triết lý, chiêu thức giải và bài tập có giải thuật cho tiết sẽ giúp học viên nắm được Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

Viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng

A. Phương pháp giải

Cho 2 đường thẳng cắt nhau : ( d1 ) A1x + b1y + C1 = 0 và ( d2 ) : A2x + B2y + C2 = 0 .

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng đó là:

Chú ý :
Cho đường thẳng ∆ : Ax + By + C = 0 và hai điểm A ( xA ; yA ) ; B ( xB ; yB ) .
Đặt f ( x ; y ) = Ax + By + C :
+ A và B nằm về cùng một phía so với ∆ ⇔ f ( xA ; yA ). f ( xB ; yB ) > 0
+ A và B nằm khác phía so với ∆ ⇔ f ( xA ; yA ). f ( xB ; yB ) < 0

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m). Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > –     C. m > 1    D. m = – 

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi :
( 3 + 12 – 5 ) ( 6 + 4 m – 5 ) < 0 hay m > –

Chọn B.

Ví dụ 2. Cặp đường thẳng nào dưới đây là phân giác của các góc hợp bởi 2 đường thẳng ∆1: x + 2y – 3 = 0 và ∆2: 2x – y + 3 = 0.

A. x + 3y – 2 = 0 và x = 3y.    B. 3x = – y và x – 3y – 6 = 0.

C. 3x + y = 0 và –x + 3y – 6 = 0.    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Gọi M ( x ; y ) là điểm thuộc đường phân giác tạo bởi 2 đường thẳng đã cho .

⇒ d(M,Δ1) = d(M,Δ2) ⇒ 

⇒ x + 2y – 3 = ± (2x – y + 3) ⇒ 

Chọn C.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có AB: 2x – y + 4 = 0; AC: x – 2y – 6 = 0 và hai điểm B; C thuộc Ox. Phương trình phân giác ngoài của góc BAC là

A. 3x – 3y – 2 = 0    B. x + y + 10 = 0    C. 3x + 3y + 2 = 0    D. x + y – 2 = 0

Hướng dẫn giải:

Do hai điểm B và C thuộc Ox nên tọa độ hai điểm đó là : B ( – 2 ; 0 ) và C ( 6 ; 0 ) .
Gọi M ( x ; y ) thuộc đường phân giác của góc BAC

Ta có: d(M, AB) = d(M, AC) ⇔  ⇔ |2x – y + 4| = |x – 2y – 6|

⇔ 

+ Xét vị trí của hai điểm B và C so với đường thẳng x + y + 10 = 0 .
Ta có : ( – 2 + 0 + 10 ). ( 6 + 0 + 10 ) > 0 nên hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng x + y + 10 = 0 .
Suy ra đường thẳng x + y + 10 = 0 là đường phân giác ngoài của góc BAC .

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B( 1; 2) và C(3; 6 ). Phương trình đường phân giác trong của góc A là:

A. 2x + y – 2 = 0    B. x – 2y + 4 = 0    C. 2x + y – 4 = 0    D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC :

Đường thẳng AB : 

⇒ ( AB ) : 0 ( x – 0 ) + 1 ( y – 2 ) = 0 hay y – 2 = 0

Đường thẳng AC : 

⇒ ( AC ) : 4 ( x – 0 ) – 3 ( y – 2 ) = 0 hay 4 x – 3 y + 6 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: 

⇔ |4x – 3y + 6| = 5|y – 2|

Đặt f ( x ; y ) = x – 2 y + 4
⇒ f ( B ). f ( C ) = ( 1 – 2.2 + 4 ) ( 3 – 2.6 + 4 ) = – 5 < 0 ⇒ B và C nằm khác phía so với đường thẳng : x - 2 y + 4 = 0 . suy ra đường phân giác trong góc A là x - 2 y + 4 = 0

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 5) ; B( -4; -5) và C( 4; -1). Phương trình đường phân giác ngoài của góc A là:

A. y + 5 = 0    B. y – 5 = 0    C. x + 1 = 0    D. x – 1 = 0

Lời giải

+ Ta viết phương trình đường thẳng AB và AC :

Đường thẳng AB : 

⇒ ( AB ) : 2 ( x – 1 ) – 1. ( y – 5 ) = 0 hay 2 x – y + 3 = 0

Đường thẳng AC : 

⇒ ( AC ) : 2 ( x – 1 ) + 1 ( y – 5 ) = 0 hay 2 x + y – 7 = 0

Suy ra các đường phân giác góc A là: 

⇔ | 2 x – y + 3 | = | 2 x + y – 7 |

⇔ 

Đặt f ( x ; y ) = y – 5
⇒ f ( B ). f ( C ) = ( – 5 – 5 ). ( – 1 – 5 ) = 60 > 0
⇒ B và C nằm cùng phía so với đường thẳng : y – 5 = 0 .
suy ra đường phân giác ngoài góc A là y – 5 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x – 4y – 3 = 0 và d2 : 12x + 5y – 12 = 0. Phương trình đường phân giác góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là:

A. 3x + 11y – 3 = 0    B. 11x – 3y – 11 = 0    C. 3x – 11y – 3 =0    D. 11x + 3y – 11 = 0

Lời giải

Các đường phân giác của những góc tạo bởi hai đường thẳng d1 và d2 là :

 ⇔ 13|3x – 4y – 3| = 5|12x + 5y – 12| .

Gọi I là giao điểm của d1 và d2 ; tọa độ I là nghiệm hệ

 ⇒ I( 1;0)

+ Gọi đường thẳng d : 3 x + 11 y – 3 = 0. Lấy điểm M ( – 10 ; 3 ) thuộc đường thẳng d .
Gọi H là hình chiếu của M lên d1 .

Ta có: IM =  và

MH = d(M;d1 ) =  = 9

Suy ra 

Suy ra d : 3 x + 11 y – 3 = 0 là đường phân giác góc tù nên đường phân giác góc nhọn là 11 x – 3 y – 11 = 0 .

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho hai đường thẳng d: x + 2y + 3 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d và d’ là:

A. x + y = 0 và x – y + 4 = 0.    B. x – y + 4 = 0 và x + y – 2 = 0 .

C. x + y + 2 = 0 và x – y = 0    D. x + y + 1 = 0 và x – y – 3 = 0 .

Hướng dẫn giải

Phương trình những đường phân giác của những góc tạo bởi d và d ’ là :

Vậy phương trình những đường phân giác tạo bởi d và d ’ là :
x – y = 0 và x + y + 2 = 0

Chọn C.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp