4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay

4 cách giải phương trình vô tỉ cực hay

Phương pháp giải

– Cách 1 : Nâng lên cùng một lũy thừa ở cả hai vế .

+ Phương trình

+ Phương trình √A = √B ⇔ A = B.

+ Phương trình A2 = B2 ⇔ | A | = | B | ⇔ A = ± B
– Cách 2 : Đặt ẩn phụ .
– Cách 3 : Sử dụng biểu thức phối hợp, nhìn nhận .
– Một số phương trình đặc biệt quan trọng có cách giải riêng không liên quan gì đến nhau khác .

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp bình phương để giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a ) √ x = 3 ( đkxđ : x ≥ 0 )
⇔ x = 32 = 9 ( t / m )
Vậy phương trình có nghiệm x = 9 .

b) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 4
⇔ x = 3 ( t / m )
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 .

c) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇒ 2 x + 3 = x2
⇔ x2 – 2 x – 3 = 0
⇔ ( x + 1 ) ( x – 3 ) = 0
⇔ x = – 1 hoặc x = 3
Thử lại chỉ có giá trị x = 3 thỏa mãn nhu cầu phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 .

d) (đkxđ: x ≥ 1).

⇒ x – 1 = ( x-3 ) 2
⇔ x – 1 = x2 – 6 x + 9
⇔ x2 – 7 x + 10 = 0
⇔ ( x – 2 ) ( x – 5 ) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 5
Thử lại chỉ có giá trị x = 5 thỏa mãn nhu cầu .

Ví dụ 2: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

a) Đặt

⇒ x2 + 5 x + 3 = t2
⇒ 2×2 + 10 x = 2 ( x2 + 5 x ) = 2. ( t2 – 3 ) = 2 t2 – 6
Khi đó phương trình trở thành :
t + 2 t2 – 6 – 15 = 0 ⇔ 2 t2 + t – 21 = 0
⇔ ( t-3 ) ( 2 t + 7/2 ) = 0 ⇔ t = 3 ( T / M ) hoặc t = – 7/2 ( L ) .

Với t = 3 thì

⇔ x2 + 5 x + 3 = 9
⇔ x2 + 5 x – 6 = 0
⇔ ( x-1 ) ( x + 6 ) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = – 6
Vậy phương trình có hai nghiệm : x = 1 và x = – 6 .

b) Đặt ⇒ x = t3.

Khi đó phương trình trở thành : t3 + t – 2 = 0 ⇔ ( t – 1 ) ( t2 + t + 2 ) = 0 ⇔ t = 1 ( Vì t2 + t + 2 > 0 với mọi t ) .
Với t = 1 ⇒ x = 1 .
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .

c) (Đkxđ: x ≠ 0 và x – 1/x ≥ 0 ).

Chia cả hai vế cho x ta được :

Phương trình trở thành : t2 + 2 t – 3 = 0
⇔ ( t-1 ) ( t + 3 ) = 0 ⇔ t = 1 ( t / m ) hoặc t = – 3 ( l )

Với t = 1 ⇒

⇔ x2 – 1 = x
⇔ x2 – x – 1 = 0
⇔ ( x-1 / 2 ) 2 = 5/4

Vậy phương trình có hai nghiệm

d) Đặt

Ta thu được hệ phương trình :

⇔ 5 x = 5 ⇔ x = 1 .
Vậy phương trình có nghiệm x = 1 .

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau đây:

Hướng dẫn giải:

a ) Phương pháp giải : Phân tích thành nhân tử

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 .
b )

Điều kiện xác định : ⇔ x = 7.

Thay x = 7 vào thấy không thỏa mãn nhu cầu phương trình .
Vậy phương trình vô nghiệm .
c ) Phương pháp giải : Đánh giá

VT = VP ⇔

Vậy phương trình vô nghiệm .

+ TH1: Xét ⇔ x-1 ≥ 9 ⇔ x ≥ 10 .

Phương trình trở thành :

⇔ x – 1 = 81/4 ⇔ x = 85/4 ( t. m )

+ TH2: Xét (không tồn tại)

+ TH3: Xét ⇔ 5 ≤ x ≤ 10 .

Phương trình trở thành :

⇔ 1 = 4 ( vô nghiệm )

+ TH4: Xét ⇔ x ≤ 5.

Phương trình trở thành :

⇔ x – 1 = 1/4 ⇔ x = 5/4 ( thỏa mãn nhu cầu ) .
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 5/4 và x = 85/4

Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Bài 1: Nghiệm của phương trình là :

A. x = 6 B. x = 3 C. x = 9 D. Vô nghiệm .
Hiển thị đáp án
Đáp án : A

Bài 2: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 .
Hiển thị đáp án
Đáp án : C
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
( đkxđ : x ≤ – 3 hoặc x ≥ – 1 )⇔ ( x + 1 ) ( x + 3 ) = 8
⇔ x2 + 4 x + 3 = 8
⇔ x2 + 4 x – 5 = 0
⇔ x2 + 5 x – x – 5 = 0
⇔ ( x + 5 ) ( x – 1 ) = 0
⇔ x = – 5 hoặc x = 1 ( t / m )
Vậy phương trình có hai nghiệm

Bài 3: Tổng các nghiệm của phương trình x – 5√x + 6 = 0 là:

A. 5 B. 9 C. 4 D. 13 .
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
Đkxđ : x ≥ 0 .
x – 5 √ x + 6 = 0
⇔ x – 3 √ x – 2 √ x + 6 = 0
⇔ ( √ x – 3 ) ( √ x – 2 ) = 0
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

( đkxđ : x ≤ – 3 hoặc x ≥ – 1 )Vậy tổng những nghiệm của phương trình là 13 .

Bài 4: Phương trình có nghiệm là:

A. x = 4 B. x = – 3 C. x = – 3 và x = 4 D. Vô nghiệm .
Hiển thị đáp án
Đáp án : A

(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)

⇒ 25 – x2 = ( x – 1 ) 2
⇔ 25 – x2 = x2 – 2 x + 1
⇔ 2×2 – 2 x – 24 = 0

⇔ x2 – x – 12 = 0

⇔ x2 – 4 x + 3 x – 12 = 0
⇔ ( x – 4 ) ( x + 3 ) = 0
⇔ x = 4 hoặc x = – 3 .
Thử lại chỉ có x = 4 là nghiệm của phương trình .

Bài 5: Phương trình có số nghiệm là:

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số .
Hiển thị đáp án
Đáp án : D
(đkxđ: x ≤ -3 hoặc x ≥ -1)
( đkxđ : x ≤ – 3 hoặc x ≥ – 1 )⇔ | x-3 | = x-3 ⇔ x ≥ 3
Vậy phương trình có nghiệm đúng với mọi x ≥ 3 hay phương trình có vô số nghiệm .

Bài 6: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a) (đkxđ: x ≥ -3/2 )

⇔

⇔ 2 x + 3 = 1/4
⇔ 2 x = – 11/4
⇔ x = – 11/8
Vậy phương trình có nghiệm x = – 11/8 .

b) (đkxđ: x ≥ 0)

⇔ 3 x = 144
⇔ x = 48

c) (đkxđ: x ≥ -1)

⇔ x + 1 = 25
⇔ x = 24 .
Vậy phương trình có nghiệm x = 24 .

Bài 7: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

⇔ x2 + x + 1 = 2×2 – 5 x + 9
⇔ x2 – 6 x + 8 = 0
⇔ x2 – 2 x – 4 x + 8 = 0
⇔ ( x – 2 ) ( x – 4 ) = 0
⇔ x = 2 hoặc x = 4 .
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 hoặc x = 4 .
b )

⇒ 3×2 + 4 x + 1 = ( x – 1 ) 2
⇔ 3×2 + 4 x + 1 = x2 – 2 x + 1
⇔ 2×2 – 6 x = 0
⇔ 2 x ( x – 3 ) = 0
⇔ x = 0 hoặc x = 3 .
Thử lại chỉ có x = 3 là nghiệm của phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm x = 3 .

⇔ x2 + 5 x – 2 = 4
⇔ x2 + 5 x – 6 = 0
⇔ ( x + 6 ) ( x – 1 ) = 0
⇔ x = 1 hoặc x = – 6
Thử lại cả hai nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu phương trình .
Vậy phương trình có hai nghiệm x = – 6 hoặc x = 1 .

⇒ 4 ( x + 1 ) ( 2 x + 3 ) = ( 21-3 x ) 2
⇔ 4 ( 2×2 + 2 x + 3 x + 3 ) = 441 – 126 x + 9×2
⇔ 8×2 + 20 x + 12 = 441 – 126 x + 9×2
⇔ x2 – 146 x + 429 = 0 .
⇔ x2 – 3 x – 143 x + 429 = 0
⇔ ( x – 3 ) ( x – 143 ) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 143 .
Thử lại cả hai đều thỏa mãn nhu cầu phương trình
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 3 và x = 143 .

Bài 8: Giải các phương trình:

Hướng dẫn giải:

a)

Đặt

+ Th1: ⇔ x = 1.

+ Th2: ⇔ x = -7.

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = – 7 .

b) (đkxđ: x ≥ -1)

Đặt

⇒ a2 – b2 = ( 2 x + 3 ) – ( x + 1 ) = x + 2
⇒ a – b = a2 – b2
⇔ ( a – b ) ( a + b ) – ( a – b ) = 0
⇔ ( a – b ) ( a + b – 1 ) = 0
⇔ a = b hoặ a + b = 1

+ Th1: a = b ⇒

⇔ 2 x + 3 = x + 1 ⇔ x = – 2 < - 1 ( Loại ) + Th2 : a + b – 1 = 0 . Mà a ≥ 1 ; b ≥ 0 nên a + b ≥ 1 hay a + b – 1 ≥ 0 .

Phương trình chỉ xảy ra ⇔ ⇔ x = -1 .

Vậy phương trình có nghiệm x = – 1 .

c) (đkxđ: x2 – 2x – 3 ≥ 0)

Phương trình trở thành : t2 + 3 t – 4 = 0
⇔ t2 + 4 t – t – 4 = 0
⇔ ( t + 4 ) ( t – 1 ) = 0
⇔ t = – 4 ( L ) hoặc t = 1 ( T / M )

⇔

⇔ x2 – 2 x – 3 = 1
⇔ x2 – 2 x – 4 = 0
⇔ ( x – 1 ) 2 = 5

Bài 9: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(1)
( 1 )Ta có :

⇒ VT (1) = ≥ 2 + 3 = 5.

VP ( 1 ) = 4 – 2 x – x2 = 5 – ( 1 + 2 x + x2 ) = 5 – ( x + 1 ) 2 ≤ 5 .
VT = VP ⇔ ⇔ x = – 1 .
Thử lại x = – 1 là nghiệm của phương trình .
Vậy phương trình có nghiệm x = – 1 .

Bài 10: Giải phương trình:

Hướng dẫn giải:

(Đkxđ: x ≥ -1 )

+ TH1:

Khi đó phương trình trở thành :

⇔ x = 3 ( t. m )

+ TH2: ⇔ x < 3.

Khi đó phương trình trở thành :

⇔ 4 = 4 ( đúng với mọi x )
Vậy phương trình nghiệm đúng với mọi x thỏa mãn nhu cầu – 1 ≤ x ≤ 3 .
Xem thêm những dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và giải thuật cụ thể khác :

Mục lục các Chuyên đề Toán lớp 9:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp