Tích phân kép là gì? Xem xong hiểu luôn.

Tích phân képđa phần được sử dụng để tìm diện tích quy hoạnh mặt phẳng của hình 2 d. Nó được bộc lộ bằng ‘ ∫ ∫ ’. Chúng ta hoàn toàn có thể thuận tiện tìm thấy diện tích quy hoạnh của một vùng hình chữ nhật bằng tích phân kép. Nếu tất cả chúng ta biết tích phân đơn thuần thì sẽ thuận tiện giải được những bài toán tích phân kép. Vì vậy, trước hết, tất cả chúng ta sẽ tranh luận về một số ít quy tắc cơ bản của tích hợp .
Tích phân là một phần rất quan trọng của giải tích. Có nhiều kiểu tích hợp như tích hợp đơn thuần, tích hợp kép, tích hợp ba. Chúng ta thường sử dụng phép tính tích phân để tìm diện tích quy hoạnh và thể tích trên một tỷ suất rất lớn, hoàn toàn có thể được xác lập bằng những công thức hoặc phép tính đơn thuần .

Quy tắc tích hợp kép

Trong giải tích, chúng ta thường tuân theo các quy tắc và công thức để thực hiện bất kỳ phương pháp tích phân nào. Để giải các bài toán tích phân, bạn phải nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau như tích phân theo bộ phận , tích phân thay thế hoặc sử dụng công thức. Trong trường hợp tích hợp kép cũng vậy, chúng ta sẽ thảo luận ở đây quy tắc tích hợp kép theo các bộ phận, được đưa ra bởi;

∫ ∫ u dv / dx dx.dy = ∫ [ uv – ∫ v du / dx dx ] dy

Các thuộc tính của Tích phân kép

Các đặc thù của tích phân kép như sau :

• ∫x = ab∫y = cdf ( x, y ) dy.dx = ∫y = cd∫x = abf ( x, y ) dx.dy
• ∫ ∫ ( f ( x, y ) ± g ( x, y ) ) dA = ∫ ∫ f ( x, y ) dA ± ∫ ∫ g ( x, y ) dA

• Nếu f (x, y)

• k ∫ ∫ f ( x, y ). dA = ∫ ∫ kf ( x, y ). dA
• ∫ ∫R ∪ Sf ( x, y ). dA = ∫ ∫Rf ( x, y ). dA + ∫ ∫sf ( x, y ). dA

Ngoài ra, hãy đọc:

• Hội nhập
• Tích phân xác lập
• Tích hợp bằng cách sửa chữa thay thế
• Quy tắc tích hợp
• Tích phân cho lớp 12

Diện tích tích phân đôi

Cho z = f ( x, y ) xác lập trên miền D trong mặt phẳng xy và tất cả chúng ta cần tìm tích phân kép của z. Nếu tất cả chúng ta chia vùng thiết yếu thành những sọc dọc và cẩn trọng tìm những điểm cuối cho x và y tức là những số lượng giới hạn của vùng, thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng công thức ;

Và, nếu tất cả chúng ta chia vùng được nhu yếu thành những sọc ngang và cẩn trọng tìm những điểm cuối cho x và y, tức là những số lượng giới hạn của vùng, thì tất cả chúng ta hoàn toàn có thể sử dụng công thức :

Nếu hàm z là hàm liên tục thì ;

Tích phân kép trong tọa độ cực

Trong tọa độ cực, tích phân kép có dạng :

Trong loại tích phân kép này, đầu tiên, chúng ta phải tích phân f (r, θ) đối với r giữa các giới hạn r = r 1 và r = r 2 coi θ là hằng số và biểu thức kết quả được tích phân đối với θ từ θ 1 đến θ 2 . Ở đây r 1 và r 2 có thể là hằng số hoặc hàm của θ.

Trong trường hợp này, thứ nhất, tất cả chúng ta phải tích phân f ( r, θ ) so với θ giữa những số lượng giới hạn θ = θ 1 và θ = θ 2 và coi r như một hằng số và biểu thức tác dụng được tích hợp so với r và điều đó thời gian hàm của θ sẽ không đổi .

Ví dụ về Tích phân kép

Câu 1: Đánh giá ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy

Giải: Giả sử, I = ∬ (x 2 + y 2 ) dxdy

I = ∫ [ ∫ ( x 2 + y 2 ) dx ] dy
I = ∫ [ x 3 / 3 + y 2 x ] dy
I = x 3 y / 3 + xy 3 / 3
I = [ xy ( x 2 + y 2 ) ] / 3

Câu 2: Giải hàm ∫∫x.logx.dx.dy

Giải pháp: Giả sử I = ∫∫x.logx.dx.dy

Đầu tiên, tất cả chúng ta hãy lấy tích phân bên trong của những hàm ∫ x.logx dx .
Bằng quy tắc tích phân theo bộ phận, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải được tích phân trên ;
∫ x.logx dx = ∫ ( logx ) x dx
Hàm logarit trên hàm x với hàm x khác không được tích phân trực tiếp. Vì vậy, tất cả chúng ta hoàn toàn có thể coi nó là ;
u = log x và dv = x dx
Vì vậy, du = ( 1 / x ) dx. v = x 2 / 2
Do đó, ∫ x.logx.dx = ( logx ) x 2 / 2 – ∫ ( x 2 / 2 ) ( 1 / x ) dx
= x 2/2 ( logx ) − 50% ∫ x.dx
Do đó, ∫ x.logx.dx = x 2 / 2 ( logx ) – 1 / 4 x 2
Đây là tác dụng thu được dưới phép tích phân từng phần so với tích phân bên trong. Bây giờ, hãy quản lý và vận hành nó với những hàm tích phân bên ngoài bằng cách :
∫ ∫ x.logx.dxdy = ∫ [ x 2/2 ( logx ) – 1 / 4 x 2 ] dy
I = ∫ [ x 2/2 ( logx ) ] dy – ∫ [ 1 / 4 x 2 ] dy
I = ( x 2 y / 2 ) ( log x ) – 1 / 4 x 2 y.dy + c

Câu 3: Giải ∬ (x + y) dxdy

Lời giải: Giả sử, I = ∬ (x + y) dxdy

I = ∫ [ ∫ ( x + y ) dx ] dy
I = ∫ [ x 2 / 2 + yx ] dy
I = x 2 y / 2 + xy 2 / 2
I = ( xy / 2 ) ( x + y )

Câu 4: Giải ∬ (2x − 3y) dydx

Giải: Giả sử, I = ∬ (2x − 3y) dxdy

I = ∫ [ ∫ ( 2 x − 3 y ) dx ] dy
I = ∫ [ 2 x 2 / 2 − 3 yx ] I = x 2 y-3xy 2 / 2

Vấn đề thực hành thực tế

Thực hành thêm những câu hỏi dựa trên khái niệm này. Dưới đây là một số ít yếu tố mà bạn hoàn toàn có thể xử lý để hiểu khái niệm này một cách tốt hơn .

1. Đánh giá ∫ ∫ x2y3dx.dy .

2. Tích phân ∫∫xe 

   Xem thêm: TOP 5 ứng dụng đo diện tích đất tốt nhất hiện nay

   xdx.dy .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Tin Tức