Bài 43 trang 125 SBT Hình 12 Nâng Cao: Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp…

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau :. Bài 43 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao – Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a ) Đi qua điểm M0 ( 2 ; 1 ; – 1 ) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng
x-y+z-4 = 0 và 3 x – y + z-1 = 0 .
b ) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y + 2 z – 4 = 0 và x + y-z+3 = 0, đồng thời song song với mặt phẳng x + y + z-2 = 0 .
c ) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3 x – y + z-2 = 0 và x + 4 y – 5 = 0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2 x – z + 7 = 0 .

a ) Gọi M ( x ; y ; z ) là điểm thuộc giao tuyến \ ( \ Delta \ ) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ :
\ ( \ left \ { \ matrix { x – y + z = 4 \ hfill \ cr 3 x – y + z = 1. \ hfill \ cr } \ right. \ )
Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ .
Cho z = 0, ta có \ ( \ left \ { \ matrix { x – y = 4 \ hfill \ cr 3 x – y = 1 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow \ left \ { \ matrix { x = – { 3 \ over 2 } \ hfill \ cr y = – { { 11 } \ over 2 }. \ hfill \ cr } \ right. \ )
Vậy \ ( { M_1 } ( – { 3 \ over 2 } ; – { { 11 } \ over 2 } ; 0 ) \ in \ Delta. \ )
Cho y = 0, ta có \ ( \ left \ { \ matrix { x + z = 4 \ hfill \ cr 3 x + z = 1 \ hfill \ cr } \ right. \ Rightarrow \ left \ { \ matrix { x = – { 3 \ over 2 } \ hfill \ cr y = { { 11 } \ over 2 }. \ hfill \ cr } \ right. \ )
Vậy \ ( { M_2 } \ left ( { – { 3 \ over 2 } ; 0 ; { { 11 } \ over 2 } } \ right ) \ in \ Delta. \ )
Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua \ ( { M_0 }, { M_1 }, { M_2 }. \ )
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được :
\ ( 15 x – 7 y + 7 z – 16 = 0. \ )
b ) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{  y + 2z – 4 = 0 \hfill \cr  x + y – z + 3 = 0 \hfill \cr  x + y + z – 2 = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Quảng cáo
Có một nghiệm duy nhất là \ ( \ left ( { { 1 \ over 2 } ; – 1 ; { 5 \ over 2 } } \ right ). \ )
Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng
\ ( y + 2 z – 4 = 0 \ ) và \ ( x + y-z+3 = 0 \ )
Cắt mặt phẳng \ ( x + y + z-2 = 0. \ )
Vậy không sống sót mặt phẳng thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng .
Cho z = 0, ta được \ ( { M_1 } ( – 7 ; 4 ; 0 ), \ ) Cho y = 0, ta được \ ( { M_2 } ( – 1 ; 0 ; 2 ). \ )
Gọi \ ( \ left ( \ alpha \ right ) \ ) là mặt phẳng song song với mặt phẳng \ ( x + y + z-2 = 0 \ ) thì \ ( \ left ( \ alpha \ right ) \ ) có dạng :
\ ( x + y + z + D = 0, D \ ne – 2. \ )
Ta xác lập D để \ ( { M_1 }, { M_2 } \ in \ left ( \ alpha \ right ). \ ) D là nghiệm của hệ :
\ ( \ left \ { \ matrix { – 7 + 4 + D = 0 \ hfill \ cr – 1 + 2 + D = 0. \ hfill \ cr } \ right. \ )
Hệ vô nghiệm. Vậy không sống sót mặt phẳng thỏa mãn nhu cầu nhu yếu bài toán .
c ) Ta tìm hai điểm \ ( { M_1 }, { M_2 } \ ) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng .

Gọi \(\overrightarrow {n’}  = (2;0; – 1)\) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x-z+7=0\).

Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M1 và có vec tơ pháp tuyến \ ( \ overrightarrow n = \ left [ { \ overrightarrow { { M_1 } { M_2 } }, \ overrightarrow { n ’ } } \ right ]. \ )
Sau những đo lường và thống kê, ta có hiệu quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :
\ ( x-22y+2z+21 = 0. \ )

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp