Bài giảngGiải tích 1G iải tích 2 Đại số tuyến tính ( LinearAlgebra ) Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý ( PT Đạo hàm riêng và PBĐLaplace ) Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths EbooksShortlink : http://wp.me/P8gtr-T
1. Tích phân suy rộng loại 1 (infinite limits of integration): New Update
1.1 Định nghĩa:
Giả sử f(x) xác định trên Nếu sống sót số lượng giới hạn ( hữu hạn hoặc vô cùng ) :
Thì giới hạn này gọi là tích phân suy rộng của f(x) trên
You watching: Tìm hiểu về tích phân suy rộng và điều kiện hội tụ của tích phân suy rộng
Nếu số lượng giới hạn này là hữu hạn ta nói tích phân suy rộng
là hội tụ ( integral is convergent )Nếu số lượng giới hạn này là vô cùng hoặc không sống sót ta nói tích phân suy rộnglà phân kỳ ( integral is divergent ) .
Ví dụ:
là hội tụ ; là phân kỳ .Thật vậy ta có :1 .
2 .
Ví dụ 2: Tính tích phân suy rộng:
Ta có :
( * )– Trước tiên, Tính tích phân :
Sử dụng công tức tính phân từng phần ta có :
Thế vào ( * ) ta có :
( do
Vậy : I hội tụ và
1.2 Định nghĩa:
1.3 Tích phân quan trọng:
Bài toán xét sự hội tụ của tích phân :
0 ; } } { \ rm { s > 0 } } ” class = ” latex ” / >Nếu
1 } ” class = ” latex ” / > thì tích phân hội tụ .Nếu
thì tích phân phân kỳ .
Chứng minh:
Ta có :
_ { x = a } ^ c ” class = ” latex ” / >Với s > 1. Khi đó :
Vậy chuỗi hội tụ .Với s = 1 : theo ví dụ trên ta có chuỗi phân kỳ .Với s
= + \ infty ” class = ” latex ” / > ( 1 – s > 0 ) .Vậy chuỗi phân kỳ .
1.4 Tiêu chuẩn hội tụ, trường hợp f(x) ≥ 0
1.4.1 Định lý so sánh 1:
Giả sử f ( x ) và g ( x ) không âm và khả tích trên, và f ( x ) ≤ g ( x ) ở lân cận + ∞ ( tức là x đủ lớn ). Khi đó :Nếu 
See more:
Nếuhội tụ thì tích phânhội tụNếuphân kỳ thì tích phânphân kỳ.See more: Tiền Thân Đức Phật A Di Đà Và Công Đức Thành Tựu Trang Nghiêm Cõi Cực Lạc
1.4.2 Định lý so sánh 2:
Giả sử f(x) và g(x) không âm và cùng khả tích trên, và f(x) ≤ g(x) ở lân cận +∞ ( tức là x đủ lớn).
Nếu
Nhận xét:
– Để xét sự hội tụ của tích phân
, ta cần thiết kế xây dựng hàm g ( x ) sao cho. Nghĩa là, f ( x ) và g ( x ) là hai lượng tương tự .
Muốn vậy, ta cần nhận diện và thay thế các VCB, VCL (khi x → +∞ ) có trong f(x) bằng các VCB, VCL tương đương. Tuy nhiên, cần chú ý cả hai hàm f(x) và g(x) phải cùng khả tích trên
1.5 Các ví dụ: Xét sự hội tụ của các tích phân:
Ví dụ 1
Rõ ràng : hàm
là hàm số dương, xác lập và liên tục với mọi x thuộcKhi
: lnx là VCL nhưng không tìm được VCL tương tự tương ứng. Vì vậy, ta không dùng tín hiệu so sánh 2 .Ta hoàn toàn có thể dùng tín hiệu so sánh 1. Muốn vậy, cần chặn hàm lnx. Ta thuận tiện có bất đẳng thức sau :
Vậy tích phân đã cho phân kỳ. ( do tích phân
phân kỳ ) .
Ví dụ 3
{ 1 + x ^ 2 } } } } dx ” class = ” latex ” / >. USD latex USDXem xét hàm lấy tích phân, ta thấy :Khi
{ 1 + x ^ 2 } } \ sim x ^ { \ frac { 2 } { 3 } } ” class = ” latex ” / >Vậy :
{ 1 + x ^ 2 } } } \ sim \ dfrac { 1 } { x ^ { \ frac { 7 } { 6 } } } = g ( x ) ” class = ” latex ” / >Mà f ( x ) và g ( x ) cùng khả tích trên < 1 ; + ∞ ) nên
vàcùng hội tụ hoặc cùng phân kỳ .Mặt khác :
hội tụ. ( do s = 7/6 > 1 )Vậy tích phân I3 hội tụ .
Ví dụ 4.
{ x } } { 1 + x ^ 2 } } dx ” class = ” latex ” / >. USD latex USDKhi
ta có :
{ x } } { 1 + x ^ 2 } \ sim \ dfrac { x ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } { x ^ 2 } = \ dfrac { 1 } { x ^ { \ frac { 5 } { 3 } } } = g ( x ) ” class = ” latex ” / >Tuy nhiên, f ( x ) xác lập và liên tục với mọi
, còn g ( x ) không xác lập tại x = 0 nên ta chưa thể dùng tín hiệu so sánh 2 được .Khi đó, tách I4 thành 2 tích phân ta có :
{ x } } { 1 + x ^ 2 } dx + \ int \ limits_1 ^ { \ infty } \ dfrac { \ sqrt <3 > { x } } { 1 + x ^ 2 } dx ” class = ” latex ” / >
– Do
Xem thêm: Làm Thế Nào Để Hết Nhiệt Miệng
See more:
{ x } } { 1 + x ^ 2 } ” class = ” latex ” / > xác lập và liên tục trên < 0 ; 1 > nên { x } } { 1 + x ^ 2 } dx ” class = ” latex ” / > là tích phân xác lập nên hội tụ. See more : Tình Hình Nhật Bản Sau Chiến Tranh Thế Giới Thứ 2, Nhật Bản Trong Chiến Tranh Thế Giới Thứ 2–
Chuyên mục: { x } } { 1 + x ^ 2 } dx \ sim \ int \ limits_1 ^ { + \ infty } \ dfrac { dx } { x ^ { 5/3 } } ” class = ” latex ” / > nên hội tụ. Chuyên mục : Tổng Hợp
Để lại một bình luận