Cách tìm li độ của vật tại thời điểm t hay, chi tiết

A. Phương pháp & Ví dụ

Quảng cáo

a) Tìm li độ và hướng chuyển động.

Vật hoạt động về vị trí cân đối là nhanh dần ( không đều ) và hoạt động ra xa vị trí cân đối là chậm dần ( không đều ) .
Cách 1 :

+ v ( t0 ) > 0 : Vật đi theo chiều dương ( x đang tăng ) .
+ v ( t0 ) < 0 : Vật đi theo chiều âm ( x đang giảm ) . Cách 2 : Xác định vị trí trên vòng lượng giác ở thời gian t0 : ϕ = ωt0 + φ .
Hạ M xuống trục Ox ta được vị trí của vật ở thời gian t0 .
Nếu véctơ quay thuộc nửa trên vòng tròn lượng giác thì hình chiếu hoạt động theo chiều âm ( li độ đang giảm ) .
Nếu véctơ quay thuộc nửa dưới vòng tròn lượng giác thì hình chiếu hoạt động theo chiều dương ( li độ đang tăng ) .
Vậy li độ giao động điều hòa : x = A.cos ϕ ( t0 ) = A.cos ( ωt0 + φ )
Vận tốc giao động điều hòa : v = x ’ = – ωAsin ϕ ( t0 ) = – ωAsin ( ωt0 + φ ) .

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hoà với phương trình x = 5cos(5πt + π/3)(cm). Biết ở thời điểm t có li độ là 3cm. Li độ dao động ở thời điểm sau đó 1/10(s) là:

A. 4 cm. B. 3 cm. C. – 3 cm. D. 2 cm

Hướng dẫn:

+ Ở thời gian t : x = 5 cos ( 5 πt + π / 3 ) = 3 cm

⇒ cos(5πt + π/3) =
⇒ sin(5πt + π/3) =

+ Ở thời điểm (t +
): x = 5cos[5π(t +
) + π/3] = 5cos(5πt + π/3 + π/2) = -5sin(5πt + π/3) = 4cm.

Chọn A

Quảng cáo

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ 13cm, t = 0 tại biên dương. Sau khoảng thời gian t (kể từ lúc ban đầu chuyển động) thì vật cách vị trí cân bằng O một đoạn 12cm. Sau khoảng thời gian 2t (kể từ t = 0) vật cách O một đoạn bằng x. Giá trị x gần giá trị nào nhất sau đây?

A. 9,35 cm B. 8,75 cm
C. 6,15 cm D. 7,75 cm

Hướng dẫn:

+ Phương trình giao động của vật là x = 13 cosωt ( cm ) .

+ Tại thời điểm t ta có: 12 = 13cosωt ⇒ cosωt =

+ Tại thời điểm 2t ta có: x = 13cos2ωt = 13.[2cos2ωt –1] = 13.[2.(
)2-1] = 9,15cm.

Chọn A

Ví dụ 3: Một vật doa động điều hòa có phương trình
cm, trong đó t được tính bằng đơn vị giây (s). Lúc t = 5s vật chuyển động

A. nhanh dần theo chiều dương của trục Ox .
B. nhanh dần theo chiều âm của trục Ox .
C. chậm dần theo chiều dương của trục Ox .
D. chậm dần theo chiều âm của trục Ox .

Hướng dẫn:

Quan sát đường tròn lượng giác ta thấy vật đang hoạt động theo chiều âm về vị trí cân đối ( nhanh dần ) .
Chọn B

b) Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán chưa cho biết phương trình của x, v, a, F…

Phương pháp chung :
Cách 1 :

+ Dựa vào trạng thái ở thời gian t0 để xác lập vị trí tương ứng trên vòng tròn lượng giác .

+ Để tìm trạng thái ở thời điểm quá khứ (t0 – ∆t) ta quét
theo theo chiều âm của vòng tròn một góc ∆φ = ω.∆t.

+ Để tìm trạng thái ở thời điểm tương lai (t0 + ∆t) ta quét
theo theo chiều dương của vòng tròn một góc ∆φ = ω.∆t.

Cách 2 : Dùng phương trình lượng giác :
+ Chọn gốc thời hạn t = t0 = 0 và dùng vòng tròn lượng giác để viết pha xê dịch : ϕ = ωt + φ
+ Lần lượt thay t = – ∆ t và t = + ∆ t để tìm trạng thái quá khứ và tương lai :

Nếu v > 0 : Vật đi theo chiều dương ( x đang tăng ) .
Nếu v < 0 : Vật đi theo chiều âm ( x đang giảm ) .

Ví dụ 1: Một vật thực hiện dao động điều hòa với biên độ A, tại thời điểm t1 = 1,2s vật đang ở vị trí x = A/2 theo chiều âm, tại thời điểm t2 = 9,2s vật đang ở biên âm và đã đi qua vị trí cân bằng 3 lần tính từ thời điểm t1. Hỏi tai thời điểm ban đầu thì vật đang ở đâu và đi theo chiều nào.

A. 0,98 hoạt động theo chiều âm .
B. 0,98 A hoạt động theo chiều dương .
C. 0,588 A hoạt động theo chiều âm .
D. 0,55 A hoạt động theo chiều dương .

Quảng cáo

Hướng dẫn:

Cách 1 :

Chọn lại gốc thời hạn t = t1 = 1,2 s thì pha xê dịch có dạng : ϕ = ωt + π / 3
Từ M1 quay một vòng ( ứng với thời hạn T ) thì vật qua vị trí cân đối 2 lần, rồi lại quay trở lại vị trí cũ, sau đó vật quay tiếp 1 góc 2 π / 3 ( ứng với khoảng chừng thời hạn T / 3 ) vật đến biên âm và tổng số đã đi qua VTCB 3 lần .
Do vậy : t2 – t1 = T + T / 3 = 9,2 – 1,2 → T = 6 s → ω = 2 π / T = π / 3 .
Để tìm trạng thái bắt đầu ta cho t = – 1,2 s thì ϕ = ωt + π / 3

Chọn B
Cách 2 : Ta xác lập được vị trí của vật tại thời gian t1 = 1,2 s trên vòng tròn lượng giác là ứng với điểm M1 .
Từ M1 quay một vòng ( ứng với thời hạn T ) thì vật qua vị trí cân đối 2 lần, rồi lại trở lại vị trí cũ, sau đó vật quay tiếp 1 góc 2 π / 3 ( ứng với khoảng chừng thời hạn T / 3 ) vật đến biên âm và tổng số đã đi qua VTCB 3 lần .
Do vậy : t2 – t1 = T + T / 3 = 9,2 – 1,2 → T = 6 s → ω = 2 π / T = π / 3 .
Để tìm trạng thái khởi đầu ta cho M1 quay theo chiều âm 1 góc :
∆ φ = ω. ∆ t = π / 3.1,2 = 0,4 π ( rad ) = 72 º
Khi đó, ta được vị trí bắt đầu của vật có x = A.cos ( 0,4 π – π / 3 ) = 0,98 A, và v > 0 ( vecto quay khi đó nằm ở nữa dưới vòng tròn ). Chọn B

Ví dụ 2: Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 0,75 m/s trên đường tròn bán kính 0,25m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa. Biết tại thời điểm ban đầu, M’ đi qua vị trí x = A/2 theo chiều âm. Tại thời điểm t = 8s, M’ có tọa độ:

A. 24,9 cm đi theo chiều dương .
B. 24,9 cm đi theo chiều âm .
C. 22,6 cm đi theo chiều dương .
D. 22,6 cm đi theo chiều âm .

Hướng dẫn:

Biên độ và tần số góc : A = 25 cm, ω = vT / A = 3 ( rad / s )
→ Pha xê dịch : ϕ = 3 t + π / 3

Thay t = 8s thì ϕ = 3.8 + π/3

Chọn A

Ví dụ 3: Một chất điểm chuyển động tròn đều với tốc độ 1 m/s trên đường tròn đường kính 0,5m. Hình chiếu M’ của điểm M lên đường kính của đường tròn dao động điều hòa. Biết tại thời điểm t – t0, M’ đi qua vị trí qua vị trí cân bằng theo chiều âm. Hỏi trước thời điểm và sau thời điểm t0 là 8,5s hình chiếu M’ ở ví trí nào và đi theo chiều nào?

Hướng dẫn:

Biên độ và tần số góc lần lượt là : A = 50/2 = 25 cm ; ω = vd / A = 100 / 25 = 4 ( rad / s )
Góc cần quét : ∆ φ = ω. ∆ t = 4.8,5 = 34 rad = 5.2 π + 0,08225 π .

+ Để tìm trạng thái ở thời gian t = t0 – 8,5 s ta chỉ cần quét theo chiều âm 1 góc 0,8225 π ( rad ) :
x = 25.cos ( 0,8225 π – π / 2 ) = 13,2 > 0. Đồng thời ta thấy chất điểm nằm ở nữa dưới nên hình chiếu đi chiều dương .
+ Để tìm trạng thái ở thời gian t = t0 + 8,5 s ta chỉ cần quét theo chiều dương 1 góc 0,8225 π ( rad ) :
x = 25.cos ( 0,8225 π + π / 2 ) = – 13,2 < 0. Đồng thời ta thấy chất điểm nằm ở nữa dưới nên hình chiếu đi chiều dương .

c) Tìm trạng thái quá khứ và tương lai đối với bài toán cho biết phương trình của x, v, a, F…

Phương pháp chung : Biết tại thời gian t vật có li độ x = x1 .
Cách 1 : Giải bằng phương trình lượng giác ( PTLG )
Từ phương trình xê dịch điều hòa x = Acos ( ωt + φ ) cho x = x1 .
Lấy nghiệm ωt + φ = α ứng với x đang giảm ( vật hoạt động theo chiều âm vì v < 0 ) hoặc lấy nghiệm ωt + φ = - α ứng với x đang tăng ( vật hoạt động theo chiều dương vì v > 0 ) .
* Li độ và tốc độ giao động sau ( trước ) thời gian đó ∆ t giây là :

Dùng máy tính Casio 570ES, 570ES phus … ta có tiến trình giải nhanh như sau :
* Li độ và tốc độ xê dịch sau thời gian đó ∆ t giây là :

* Li độ và tốc độ xê dịch trước thời gian đó ∆ t giây là :

Lưu ý : Lấy dấu cộng trước shiftcos ( x1 + A ) nếu ở thời gian t li độ đang giảm ( theo chiều âm ) và lấy dấu trừ ( – ) nếu ở thời gian t li độ đang tăng ( theo chiều dương ) .
Cách 2 : Dùng vòng tròn lượng giác ( VTLG )
+ Dánh dấu vị trí x0 trên trục Ox. Kẻ đoạn thẳng vuông góc Ox, cắt đường tròn tại hai điểm. địa thế căn cứ vào chiều hoạt động để chọn vị trí M duy nhất trên đường tròn .
+ Vẽ nửa đường kính OM. Trong khoảng chừng thời hạn ∆ t, góc ở tâm mà OM quét được là α = ω. ∆ t > 0 .

+ Vẽ OM’ lệch với OM một góc α, từ M’ hạ đường vuông góc với Ox cắt ở đâu thì đó là li độ cần xác định.

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình x = 4cos(πt/6) cm (t tính bằng giây). Tại thời điểm t1 li độ của vật là 2√3 cm và đang giảm. Tính li độ sau thời điểm t1 là 3s

A. – 2,5 cm. B. – 2 cm. C. 2 cm. D. 3 cm .

Hướng dẫn:

Cách 1 : Dùng phương trình lượng giác .

Bấm máy tính : Chọn đơn vị chức năng góc trong máy tính là rad .

Bấm nhẩm:
rồi bấm = sẽ được -2. Chọn B.

Cách 2. Dùng VTLG

Tại thời gian t1 có li độ là 2 √ 3 cm và đnag giảm nên chất điểm hoạt động tròn đều trên vòng tròn nằm tai M1 .
+ Để tìm trạng thái ở thời gian t = t1 + 3 s ta quét theo chiều dương góc : ∆ ϕ = ω ∆ t + π / 2 và lúc này hoạt động tròn đều tại M2. Điểm M2 nằm ở nửa trên vòng tròn nên hình chiếu của nó đi theo chiều âm ( x đang giảm ) .

Li độ của dao động lúc này là:
. Chọn B

Ví dụ 2: Một chất điểm dao động theo trục Ox có phương trình dao động là
. Tại thời điểm t vật có li độ x = 2,5 cm và đang có xu hướng tăng, thì tại thời điểm t’ = t + 0,1 s vật có li độ là:

A. 5 cm B. 2,5 cm C. – 5 cm D. – 2,5 cm

Hướng dẫn:

Tại thời gian t do vật đang ở vị trí x = 2,5 cm và đang có khuynh hướng tăng nên vật sẽ đi cùng với chiều dương của trục tọa độ. Khi đó, vật quét 1 góc ở tâm là α1 :

Sau thời hạn t ’ = t + 0,1 vật sẽ quét thêm 1 góc α như hình vẽ .

Khi đó : α = ω ∆ t = 10 π. 0,1 = π

Suy ra:

Xét tam giác vuông OIM1 ta có :

Chọn D

d) Li độ, vận tốc, gia tốc, … tại 3 thời điểm t1, t2, t3

Các đại lượng li độ, tốc độ, tần suất, động lượng và lực kéo về biến thiên điều hòa cùng tần số
Một đại lượng x biến thiên điều hòa với biên độ A thì phân bổ thời hạn trên trục và trên vòng tròn lượng giác như sau :


Đối với dạng bài toán cho hệ thức liên hệ giữa t1, t2, t3 với nhau và thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo về li độ x, tần suất a và tốc độ v ta thường làm theo những bước sau :
+ Xác định li độ ( vận, tốc, tần suất ) và chiều hoạt động của chất điểm tại những thời gian t1, t2, t3. Lưu ý bước này rất quan trọng trong quy trình giải dạng bài toán này .
+ Dựa vào giả thuyết bài toán vẽ thật đúng chuẩn sơ đồ thời hạn .
+ Dựa vào những hệ thức liên hệ và sơ đồ thời hạn để xác lập những đại lượng mà bài toán nhu yếu .

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t3 – t1 = 3(t3 –t2), li độ thỏa mãn x1 = x2 = – x3 = 6 cm. Biên độ dao động của vật là

A. 12 cm. B. 8 cm. C. 16 cm. D. 10 cm .

Hướng dẫn:

Không làm mất tính tổng quát hoàn toàn có thể xem ở thời gian t1 vật có li độ x0 và đang tăng, đến thời gian t2 vật có li độ x0 và đang giảm, đến thời gian t3 vật có li độ – x0 và đang giảm .


Chọn đáp án A

Ví dụ 2: Một dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t3 – t1 = 2(t3 –t2), vận tốc có cùng độ lớn là
cm/s. Vật có vận tốc cực đại là

A. 28,28 cm / s. B. 40 cm / s .
C. 32,66 cm / s. D. 56,57 cm / s .

Hướng dẫn:

Không làm mất tính tổng quát hoàn toàn có thể xem ở thời gian t1 vật có tốc độ v0 và đang tăng, đến thời gian t2 vật có tốc độ v0 và đang giảm, đến thời gian t3 vật có tốc độ – v0 và đang giảm .

Chọn đáp án B

Ví dụ 3: Một chất điểm dao động điều hòa, ba thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 có gia tốc lần lượt là a1, a2, a3. Biết t3 – t1 = 2(t3 – t2) = 0,1π s; a1 = – a2 = – a3 = 1 m/s2. Tính tốc độ cực đại của dao động điều hòa.

Hướng dẫn:

Cách 1 : Không làm mất tính tổng quát hoàn toàn có thể xem ở thời gian t1 vật có tần suất a0 và đang giảm, đến thời gian t2 vật có tần suất – a0 và đang giảm, đến thời gian t3 vật có tần suất – a0 và đang tăng .


a0 = ω2Asinω ∆ t

Chọn đáp án A
Cách 2 : Dựa vào đồ thị tần suất theo thời hạn :

Chọn đáp án A

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 10 (cm) và tần số góc 10 (rad/s). Khoảng thời gian ngắn nhất để nó đi từ vị trí có li độ +3,5 cm đến vị trí cân bằng là:

A. 0,036 s B. 0,121 s C. 2,049 s D. 6,951 s
Hiển thị lời giải
Đáp án A
Thời gian ngắn nhất xê dịch điều hòa đi từ x = 3,5 cm đến x = 0 bằng thời hạn hoạt động tròn đều đi từ M đến N :

Câu 2. Vật dao động điều hoà, thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí x = +A đến vị trí A/3 là 0,1 s. Chu kì dao động của vật là

A. 1,85 s B. 1,2 s C. 0,51 s D. 0,4 s
Hiển thị lời giải
Hướng dẫn : Đáp án C .

Chú ý : Đối với những điểm đặc biệt quan trọng ta thuận tiện tìm được phân bổ thời hạn như sau

Câu 3. Vật dao động điều hoà với biên độ A. Thời gian ngắn nhất vật đi từ vị trí có li độ A/2 đến vị trí có li độ A là 0,2 s. Chu kì dao động của vật là:

A. 0,12 s B. 0,4 s C. 0,8 s D. 1,2 s
Hiển thị lời giải
Đáp án D
Dựa vào trục phân bổ thời hạn ta tính được thời hạn ngắn nhất đi từ x = A / 2 đến x = A là T / 6. Do đó T / 6 = 0.2 ⇒ T = 1.2 ( s ) .

Câu 4. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì 1 s với biên độ 4,5 cm. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật cách vị trí cân bằng một khoảng nhỏ hơn 2 cm là:

A. 0,29 s B. 16,80 s C. 0,71 s D. 0,15 s
Hiển thị lời giải
Đáp án A .

Câu 5. Một chất điểm dao động điều hòa với chu kì T. Khoảng thời gian trong một chu kỳ để vật cách vị trí cân bằng một khoảng lớn hơn nửa biên độ là

A. T / 3 B. 2T / 3 C. T / 6 D. T / 2
Hiển thị lời giải
Đáp án B .
Dựa vào trục phân bổ thời hạn ta tính được :

Câu 6. Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x1 > 0. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí cân bằng gấp ba thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí ban đầu về vị trí biên x = +A. Chọn phương án đúng.

Hiển thị lời giải
Đáp án A.

Ta có hệ

Câu 7. Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Tại thời điểm ban đầu vật có li độ x1 (mà x1 ≠ 0, +-A), bất kể vật đi theo hướng nào thì cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất Δt nhất định vật lại cách vị trí cân bằng một khoảng như cũ. Chọn phương án đúng.

Hiển thị lời giải
Đáp án C
Theo nhu yếu của bài toán suy ra :

Câu 8. Một vật dao động điều hoà có phương trình li độ

Khoảng thời hạn tối thiểu để vật đi từ li độ 4 √ 2 cm đến vị trí có li độ 4 √ 3 cm là
A. 1/24 ( s ) B. 5/12 ( s ) C. 1/6 ( s ) D. 1/12 ( s )
Hiển thị lời giải
Đáp án D .
Dựa vào trục phân bổ thời hạn, ta tính được :

Câu 9. Một dao động điều hoà có chu kì dao động là T và biên độ là A. Thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ cực đại về điểm có li độ bằng một nửa biên độ cực đại mà véctơ vận tốc có hướng cùng với hướng của trục toạ độ là:

A. T / 3 B. 5T / 6 C. 2T / 3 D. T / 6
Hiển thị lời giải
Đáp án B .
Dựa vào trục phân bổ thời hạn, ta tính được :

Câu 10. Một con lắc lò xo đang dao động điều hòa với biên độ A, thời gian ngắn nhất để con lắc di chuyển từ vị trí có li độ x1 = -A đến vị trí có li độ x2 = A/2 là 1 s. Chu kì dao động của con lắc là:

A. 6 s B. 1/3 s C. 2 s D. 3 s
Hiển thị lời giải
Đáp án D .
Dựa vào trục phân bổ thời hạn, ta tính được :

Câu 11. Một chất điểm đang dao động điều hoà trên một đoạn thẳng. Trên đoạn thẳng đó có bảy điểm theo đúng thứ tự M1, M2 ,M3, M4, M5, M6 và M7 với M4 là vị trí cân bằng. Biết cứ 0,05 s thì chất điểm lại đi qua các điểm M1, M2 ,M3, M4, M5, M6 và M7. Tốc độ của nó lúc đi qua điểm M3 là 20π cm/s. Biên độ A bằng

A. 4 cm B. 6 cm C. 12 cm D. 4 √ 3 cm
Hiển thị lời giải
Đáp án D .
Dựa vào trục phân bổ thời hạn .

Câu 12. Vật đang dao động điều hòa dọc theo đường thẳng. Một điểm M nằm cố định trên đường thẳng đó, phía ngoài khoảng chuyển động của vật, tại thời điểm t thì vật xa điểm M nhất, sau đó một khoảng thời gian ngắn nhất là Δt thì vật gần điểm M nhất. Độ lớn vận tốc của vật sẽ bằng nửa vận tốc cực đại vào thời điểm gần nhất là

Hiển thị lời giải
Đáp án B .

Thời điểm gần nhất vật có vận tốc bằng nửa giá trị cực lớn là

Câu 13. Một vật dao động điều hòa mà 3 thời điểm liên tiếp t1, t2, t3 với t3 – t1 = 3(t3 – t2) = 0,1π s, li độ thỏa mãn x1 = x2 = – x3 = 6 cm. Tốc độ cực đại của vật là

A. 120 cm / s. B. 180 cm / s .
C. 156,79 cm / s. D. 492,56 cm / s .
Hiển thị lời giải
Không làm mất tính tổng quát hoàn toàn có thể xem ở thời gian t1 vật có li độ x0 và đang tăng, đến thời gian t2 vật có li độ x0 và đang giảm, đến thời gian t3 vật có li độ – x0 và đang giảm .

Chọn đáp án A

Câu 14. Một chất điểm dao động điều hòa có chu kì T = 1s. Tại thời điểm t = t1 vật có li độ x = – 4cm và sau đó 2,75s vật có vận tốc là:

Hiển thị lời giải

Ta có:

Nhận thấy
(hai thời điểm vuông pha và với n là số lẻ) nên

Chọn A .

Câu 15. Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình x = 20cos2πt (cm) (t đo bằng s). Vào một thời điểm nào đó vật có li độ 10√3 cm thì li độ của vật vào thời điểm ngay sau đó là 1/12s là:

A. 10 cm hoặc 5 cm B. 20 cm hoặc 15 cm .
C. 10 cm hoặc 15 cm D. 10 cm hoặc 20 cm .
Hiển thị lời giải
Bài này ta nên dùng giải pháp giải phương trình lượng giác vì bài không nói rõ qua li độ 10 √ 3 cm theo chiều dương hay chiều âm .

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

dao-dong-dieu-hoa.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp