Chuyên đề về Phương trình lượng giác

pdf

39

1 MB

4

131

4.4 (
7 lượt)

391 MB

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 39 trang, để tải xuống xem rất đầy đủ hãy nhấn vào bên trên

Chủ đề tương quan

Tài liệu tương tự

Nội dung

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM

Chuyên đề phương trình lượng giác
Phần 1. Ôn tập công thức lượng giác
A. Lý Thuyết
I. Các công thức cơ bản
b) tan x 

a) sin 2 x  cos 2 x  1
d) 1  tan 2 x 

1
cos 2 x

sin x
cos x

e) 1  cot 2 x 

c) cot x 

1
sin 2 x

cos x
sin x

f) tan x. cot x  1

II. Giá trị lượng giác cung liên quan đặc biệt
1) Hai cung đối nhau
cos( x)  cos x

2) Hai cung bù nhau
sin(  x)  sin x

3) Hai cung khác nhau 2 
sin( x  2 )  sin x

sin( x)   sin x

cos(  x)   cos x

cos( x  2 )  cos x

tan( x)   tan x

tan(  x)   tan x

tan( x  2 )  tan x

cot( x)   cot x

cot(  x)   cot x

cot( x  2 )  cot x

4) Hai cung khác nhau 
sin(  x)   sin x

5) Hai cung phụ nhau


sin  x   cos x ;
2


cos(  x)   cos x
tan(  x)  tan x



cos  x   sin x
2






tan  x   cot x ; cot   x   tan x
2

2


cot(  x)  cot x

III. Công thức cộng
1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a

3) tan(a  b) 

2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

tan a  tan b
1  tan a tan b

IV. Công thức nhân đôi.
2 tanx
2
1  tan x
2
2
2
2
2) cos 2x  cos x  sin x  1  2 sin x  2 cos x  1

1) sin 2x  2 sinx cosx 3) tan 2x 

V.Công thức nhân ba
3
1) sin 3x  3sinx  4 sin x

3
2) cos 3x  4 cos x  3cosx .

VI. Công thức hạ bậc. Công thức viết các hàm lượng giác theo t  tan

x
2

2
1  cos 2x  2 cos x
2
1  cos 2x  2 sin x

sin x 

2t
1 t

2

cos x 

1 t

2

1 t

2

tanx 

2t
1 t

2

VI. Công thức biến đổi tổng và tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

1

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM

1
sin(a  b)  sin(a  b)
2
1
cos a cos b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
1
sin a sin b  cos(a  b)  cos(a  b)
2
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
ab
a b
sin a  sin b  2 sin
. cos
2
2
ab
a b
sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2 cos
. cos
2
2
ab
a b
cos a  cos b  2 sin
.sin
2
2
sin a cos b 

VII. Một số nhóm công thức thường gặp khi giải phương trình lượng giác.
sin(a  b)

1) tan a  tan b 

4) cot a  cot b  

cos a cos b
4
4
5) sin x  cos x
6
6
6) sin x  cos x

sin(a  b)

2) tan a  tan b 

cos a cos b

sin(a  b)

sin a sin b
2
2
 1  2 sin x.cos x
2
2
 1  3sin x.cos x

sin(a  b)

3) cot a  cot b 

sin a sin b

B. Bài tập
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) cos4 x
b) cos4 x

sin4 x

cos2x .

sin4 x

6

6

sin 5x
cos 5x

sin 3x
cos 3x

d)

1 2
sin 2x .
2

1

2

2

b) cos x
c) 1

sin x

sin 2x

d) cot x

sin 4x
co s 4x

2

f) 4 sin x cos x

cosx
sin x

4 sin3 x cos x
5

4 sin x cos x

2 tan 2x .
sin 4x .
sin 4x .

tan 4x .

2

cos x .

2 cot2x .

3
,x
5

Bài 3. Cho sin x
Bài 4. Cho x

5

cosx
cosx

sin 2x .

1

sin x

tan x

cos x
sin x

e) 4 sin x cos3 x

c) sin x cos x 1 3 sin x.cos x .
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)

sin x
cosx

2

;

0;

2

và tan x

. Tính giá trị của biểu thức P

4

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

cos x

1 Tính giá trị của biểu thức A

cos 2x .

cos x

2

sin x .

2

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
2 Tính giá trị của biểu thức sau:

Bài 5. Cho tan x
a) A

2 sin x
cos x

b) B

2 sin2 x
3 cos2 x

cos x
.
sin x

sin x cos x
.
2 sin x cos x

c) C

2 sin3 x sin2 x cos x cos3 x
.
3 cos x 2 sin x cos2 x

d) D

2 sin x sin2 x cos x cos x
.
3 cos x 2 sin x cos2 x
x
2
x
sin
2

2 sin

x
2
x
2 cos
2
3 cos

Bài 6. Cho tan x

1
,x
2

0;

Bài 7. Cho sin x

2
,x
3

2

;

. Tính giá trị của biểu thức P

cos x

2
.
3

Bài 8. Cho sin x

1
,x
3

2

;

. Tính giá trị của biểu thức P

sin2x

cos2x .

2

. Tính giá trị của biểu thức P

1
5

.

…………………………………………………………………………………………………………..
Phần 2. Phương trình lượng giác
I. Phương trình lượng giác cơ bản
A. Lý thuyết cần nhớ

x    k2
x      k2, k  Z

x    k2
2. Phương trình: cos x  cos  
x    k2, k  Z

1. Phương trình: sin x  sin  

3. Phương trình: tan x  tan     k, k  Z
4. Phương trình: cot x  cot     k, k  Z

B. Bài tập rèn luyện
Bài 9. Giải các phương trình sau:


3

a) sin 3x   
6 2


b) sin(3x – 2) = 1,5

d) cos(3x – 15o) = cos150o

e) tan(2x + 3) = tan

g) sin3x – cos2x = 0

2 

h) sin x 
  cos 3x
3 


5 



i) sin 3x 
  cos 3x    0
6 
4



k) cos2x = cosx





l) sin  x   sin 2 x  
4
4



 

m) sin x    1
 12 

 1

n) sin12 x   
6 2



3

o) cos 6 x   
2 2


p) cos(  5x)  1

q) tan(3  6 x)  1

r) tanx  6   3


 1
s) tan  2 x  
3
4


 5

t) cot 
 12 x   3
 6


3
 12

 5x  
u) cot 
 7
 3

j) cos

x
  cos(2 x  30 o )
2

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

c)


3



2 cos 2 x    1
5


f) cot(45o – x) =

3
3

3

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
2
w) cos2 x  a   sin 3x
2


 5

y) tan  x   cot 
 x
4

 6

Bài 10. Giải các phương trình sau trên khoảng đã cho :

v) sin 12  3x  

a) sin 2x
c) sin x

1
với 0
2

x

2

 7

z) cot 3  x   tan
 7x 
 12

1

b) cot 3x

.

1
với 0
2

x) sin(3x  b)  cos 5x

x

2 .

với

3

d) 2 cos x

1

3

x

2

0 với

0.

2

x

.

Bài 11. Giải các phương trình sau :
a) 2 sin2 x

1

b) 2 cos 2x
e) cot x

3 2 cos x
1 tan x

1

3

0

0

Bài 12. Giải các phương trình sau :
a) sin x sin 3x cos x 0
b) sin 5x

2 cos2 x

sin x

e) 4 cos2x sin x cos x

d) tan x

1 tan x

f) cos 5x

2 sin2 x

d) 2 cos4 x

1

1

d) 1

3

0

1

2 sin4 x

1

1
sin 4x

cos4 x

cos2x cos 3x
2

cos 2x sin x

f) sin4 x

sin 8x

0

sin 4x sin x

c) sin 3x.sin2x

2 cos x

1

2 cos2 2x

f) sin x

2

sin x cos 5x

1 2 cos x

c) sin 3x.sin2x

e) cos2x sin x cos x
Bài 13. Giải các phương trình sau :
a) 4 sin x cos x cos2x 1
b) sin 5x cos x

c) sin x

cos x

5
8

Bài 14. Giải các phương trình sau :
a) 4 sin3 x cos2x 3 sin x
b) 2 sin2x cos x sin 3x 1

c) sin2x 3 cos x 4 cos3 x
d) 2 sin 3x sin x 1 cos 4x

II. Phương trình bậc 2 đối với một hàm số lượng giác
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng 1: a sin2 x

b sin x

c

0( ), đặt: t

sin x, t

1. Pt ( ) trở thành: a t 2

bt

c

0.

Dạng 2: acos2 x

bco s x

c

0( ), đặt: t

cos x, t

1. Pt ( ) trở thành: a t 2

bt

c

0.

Dạng 3: atan2 x

b tan x

c

0( ), đặt: t

tanx. Pt ( ) trở thành: a t 2

bt

Dạng 4: acot2 x b cot x c 0( ), đặt: t cotx. Pt ( ) trở thành: a t 2 bt
Phương trình bậc cao hơn theo một hàm số lượng giác ta làm tương tự.
 Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1) sin 2 x  cos 2 x  1

cos 2x

cos 2x

2) cos 2x

2

cos 2x

sin2 x

2cos x
1

1
2

2 sin x

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

c

c

0.

0.

3) cos4 x

sin4 x

1

1 2
sin 2x
4

4) sin6 x

cos6 x

1

3 sin2 x.cos2 x .
4

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
co s 2x
2

1

5) cos2 x

4cos3x

7) cos3x

3cosx

co s 2x
2

1

6) sin2 x
8) sin 3x

4 sin3 x

3 sin x

B. Bài tập mẫu:
3 sin2 x

Ví dụ 1. Giải phương trình: cos 2x

2

0

(1)

Phân tích: Thấy có 2x và góc x nên nghĩ đến công thức nhân đôi cos2x
trình bậc hai theo sin.
Giải
(3)

2 sin2 x

1

3 sin2 x
x

sin x

1

sin x

1
2

x
x

2

2 sin2 x

0

3 sin x

1

1

2 sin2 x đưa về phương

0

k2

2

k2

6
5
6

, k

Z .

k2

12 sin2 x

Ví dụ 2. Giải phương trình: cos 4x

1

0

(2) (CĐ Khối A,B,D – 2011)

Phân tích:Trong bài toán có chứa góc x và 4x nên ta nghĩ đến việc đưa về cùng góc bằng công thức hạ

cos 2x
. Vì khi sử dụng công thức hạ bậc nâng cung ta đã đưa về cos2x
2

1

bậc nâng cung của sin2 x

2cos 2 2x

nên ta chọn công nhân đôi của cos 4x
cos2x.

1. Khi đó phương trình sẽ đưa về bậc hai theo

Giải
(2)

2cos 2 2x

1

12.

Đặt t

cos 2x, t

Với t

1, ta có : cos 2x

cos 2x
2

1

1

trở thành: t 2

1. Pt

cos 2 2x

0

3t

2

x

k, k

Z .

Ví dụ 3. Giải phương trình: cos4 x

sin4 x

cos 4x

1

Phân tích:Ta thấy cos4 x

sin4 x

3cos2x

0

0

2

t

1(n )

t

2(l )

0

.

(3)

cos2x, chỉ cần sử dụng công thức nhân đôi của

2

cos 4x 2 cos 2x 1. Khi đó phương trình (2) sẽ trở thành phương bậc hai theo cos2x.Khi đã quen
rồi thì các Em có thể xem như phương trình bậc 2 theo ẩn là một hàm số lượng giác, không cần đặt t
cho nhanh.
Giải

(3)

cos 2x

cos 2x
cos 2x

1
1
2

sin2 x cos 2x
x
x

sin2 x

k

2
6

, k

2cos 2 2x

1

0

2cos 2 2x

cos 2x

1

0

Z .

k2

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

5

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Ví dụ 4. Giải phương trình: 2cos 2 x  1  cos3x

 4 .

Phân tích:Khi gặp bài lượng giác đầu tiên ta đánh giá về hàm số lượng giác,các góc trong đó. Thử
đưa về cùng hàm cùng góc nếu có thể. Bài bày ta thấy phương trình chỉ có chứa một hàm cos nên ta
nghĩ đến việc đưa về cùng góc. Ta nhớ cos3x
được phương trình bậc 3 theo cos.

4cos3x

3cosx và cos2x

2 cos2 x

1. Khi đó sẽ

Giải

(4)  2  2cos x 1  1  4cos x  3cos x  4cos 3 x  4cos 2 x  3cos x  3  0
2

3

1
3
 cos x   (loai)  cos x  1 .
2
2
1

 cos x  1  x  k 2,  k  Z .  cos x   x    k 2,  k  Z  .
2
3
3x
Ví dụ 5. Giải phương trình: cos x  cos 2
 5 .
4
3x 1 
3x 
Phân tích:Trước tiên ta thử hạ bậc nâng cung cos 2
 1  cos  ,tới đây ta sẽ thấy mối liên hệ
4 2
2 
 cos x 

giữa x và 3x/2. Không quen nhìn thì ta đặt t=x/2, khi đó phương trình sẽ có dạng cos 2 t 

1
1  cos3t  .
2

Khi đó giải như Ví dụ 4.
Giải
3t
1
x
Đặt t , phương trình (5) trở thành: cos 2 t  cos 2  2cos 2t  1  1  cos3t 
2
2
2
2
3
3
2
 4cos t  2  1  4cost  3cos t  3cos t  4cos t  4cost  3  0. Các em tự giaỉ tiếp nhé!!
Ví dụ 6. Giải phương trình: 2  3tan x  sin 2 x  0  6  .
Phân tích: Khi gặp bài toán có chứa tan và cot ta nhớ đặt điều kiện và xem mối liên hệ giữa các góc
2t
trong bài toán. Bài này chưa tanx và sin2x nên ta nghĩ đến công thức t  tan x  sin 2 x 
. Khi
1 t2
đó bài toán trở thành phương trình đa thức.
Giải
Điều kiện: cos x  0. Đặt: t  tan x .Phương trình (6) trở thành:
2t
2  3t 
 0  3t 3  2t 2  t  2  0  t  tan x  x… !
2
1 t
Các Em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 7. Giải phương trình: 2sin 2 x  tan 2 x  2  7  .
x
đưa về phương trình đa thức theo t cũng được nhưng bậc khá
2
1
1
cao. Ta thử nhớ công thức 1  tan 2 x 
 tan 2 x 
 1 và sin 2 x  1  cos2 x. Khi đó bài
2
2
cos x
cos x
toán đưa về phương trình trùng phương theo cos.
Giải
Điều kiện: cos x  0 .

Phân tích: Bài này nếu đặt t  tan

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

6

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
cos 2 x  1(l )
1
Cách 1:  7   2 1  cos 2 x  
 1  2  2cos 4 x  cos 2 x  1  0   2
cos x  1
cos 2 x

2
 k
 2cos2 x  1  0  cos 2 x  0  x  
,  k  Z . .
4 2
 k
So với điều kiện ta có nghiệm của phương trình (7) là x  
,k Z .
4 2
sin 2 x
1
Cách 2:  7   2
.cos 2 x  tan 2 x  2  2 tan 2 x.
 tan 2 x  2  tan 4 x  tan 2 x  2  0
2
2
cos x
1  tan x
2
2
 tan x  1  tan x  2(l )….! .
17
Ví dụ 8. Giải phương trình: sin8 x  cos8 x  cos 2 2 x 8 .
16
Giải
Ta có:
2

1
 1
 1
sin x  cos x   sin x  cos x   2sin x.cos x  1  sin 2 2 x   sin 4 2 x  1  sin 2 2 x  sin 4 2 x .
8
 2
 8
1


Pt (8)  16 1  sin 2 2 x  sin 4 2 x   17 1  sin 2 2 x   2sin 4 2 x  sin 2 2 x  1  0
8


2
sin 2 x  1(loai)
 k
 2
 1  2sin 2 2 x  0  cos 4 x  0  x  
,  k  Z .
1
sin 2 x 
8 4

2
5
Ví dụ 9. Giải phương trình: sin8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos 2 x  9  .
4
Phân tích: Bài này ta để ý tí sẽ thấy bậc 8 và bậc 10 khi chuyển sang vế trái đặt ra làm nhân tử chung
sẽ xuất hiện cos2x. Cụ thể:
5
5
 9  sin8 x  2sin10 x  cos8 x  2cos10 x  cos 2 x  sin8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2cos 2 x   cos 2 x
4
4
8

8

4

4

2

4

4

Giải
5
5
cos 2 x  sin 8 x 1  2sin 2 x   cos8 x 1  2cos 2 x   cos 2 x
4
4
5
5
 9   sin 8 x cos 2 x  cos8 x cos 2 x  cos 2 x   cos 2 x  cos8 x  sin 8 x   cos 2 x
4
4
5
 cos 2 x  cos 4 x  sin 4 x  cos 4 x  sin 4 x   cos 2 x  0
4
 1

 4.cos 2 x.cos 2 x 1  sin 2 2 x   5cos 2 x  0
 2


 9  sin8 x  2sin10 x  cos8 x  2cos10 x 


 1
 
 cos 2 x.  4 cos 2 x. 1  1  cos 2 2 x    5   0
 2
 

cos 2 x  0



 x   k.,  k  Z  .
3
4
2
 2 cos 2 x  2 cos 2 x  5  0(VN )
2
Ví dụ 10. Giải phương trình: cos 2 x  cos x  sin x  2  0 10  .
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

7

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
Phân tích: Bài này khá dễ rồi nhỉ.! Ta chỉ cần đưa về phương trình bậc 2 theo sin như sau:
cos 2 x  1  2sin 2 x;cos 2 x  1  sin 2 x .
Giải

sin x  1
10   2sin x  1  sin x  sin x  2  0  3sin x  sin x  4  0  
4
sin x  (loai )
3

2

x


2

2

2

 k 2,  k  Z  .

C. Bài tập rèn luyện:
Bài 15.Giải các phương trình sau:
a) cos2 x  5cos x  2  0

b) 2cos2 x  cos x 1  0

c) cot 2 x  4cot x  3  0

d) tan 2 x  1  3 tan x  3  0

e) cos 2x  9cos x  5  0

f) cos 2 x  sin x  3  0

Bài 16.Giải các phương trình sau:
a) 3 sin 2 2 x  7 cos 2 x  3  0

b) 6 cos 2 x  5 sin x  7  0

c) cos 2x  5 sin x  3  0

e) 6 sin 3x  cos 12 x  14

f) 4 sin 4 x  12 cos 2 x  7





d) cos 2x  cos x  1  0
g) 8 sin 2 x  cos x  5
Bài 17.Giải các phương trình sau:

2

3
 0 c) 5sin 3x  cos 6 x  2  0
4
e) 4sin 4 3x  12cos2 3x  7  0 f) 5sin 2 x  3sin x  2  0

b) sin 2 2 x  2cos 2 x 

a) sin3 x  3sin 2 x  2sin x  0
d) 2cos 2 x  cos x  1
Bài 18.Giải các phương trình sau:
a) 3  tan x  cot x   2.  2  sin x  .

sin x sin 5 x
.

3
5
sin 5 x
f)
 1.
5sin x

e)

1
1
2
.


cos x sin 2 x sin 4 x
6x
8x
c) 2cos2
 1  3cos  0 .
5
5
5x
x
d) sin
 5cos3 x.sin .
2
2
5 
7 




g) sin  2 x 
  3cos  x 
  1  sin x; x   ; 2  .
2 
2 


2

Bài 19.Giải các phương trình sau:

b)

2


a) sin 2 x  3 cos 2 x  5  cos  2 x   .
6

1
1
b) 2sin 3x 
.
 2cos3x 
sin x
cos x









2
.
sin 2 x
f) sin 2 x.  cot x  tan 2 x   4cos 2 x .

e) cot x  tan x  sin 2 x 



g) tan 3  x    tan x  1 .
4


cos x 2sin x  3 2  2cos x  1
2

 1.
1  sin 2 x
x
3x
x
3x 1
 .
d) cos x.cos .cos  sin x sin sin
2
2
2
2 2

c)

i) sin 2 x  cos x  3  2 3 cos3 x  3 3 cos 2 x  8
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

h) 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x .





3 cos x  sin x  3 3 .

8

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM
1  
1 

j) 4  sin 2 x  2   4  sin x 
7.
sin x  
sin x 


l) 4  sin 3x  cos 2 x   5  sin x  1

k) tan 2 x  tan x.tan 3x  2 (ĐHQG Hà Nội 1996).

III. Phương trình bậc nhất theo sin và cos.
A. Lý thuyết cần nhớ
Dạng cơ bản : a sin x

b cos x

c

( ).

Cách giải 1:
 Điều kiện để phương trình có nghiệm: a 2
 Chia hai vế pt ( ) cho a 2

a

b

sin x

b2

b2

c.

0 ta được:

c

cos x

.
a 2 b2
a 2 b2
a 2 b2
 Bấm máy( nếu góc có giá trị đẹp), trong trường hợp không đẹp cứ đặt:

a

cos


a2

b2

b

; sin

a2

b2

Phương trình trở thành: sin x .cos

.

c

sin .cos x

a2

b2

c

sin x

a2

b2

.

Tới đây là dạng cơ bản !!!
Cách giải 2:
 Kiểm tra xem cos

x
2

0

x

k2

k2

, đặt: t

có phải là nghiệm không?? Nếu phải thì ta được một

họ nghiệm này.


cos

x
2

0

x

trình ( ) trở thành : b

c t2

2at

tan

x
2

cos x

c

b

0

Mở rộng 1 : a sin x

b cos x

c siny hoặc a sin x

Mở rộng 2 : a sin x

b cos x

c siny d cos y .

b cos x

t

1
1

t2
; sin x
t2

tan x

2t
1

t2

. Khi đó phương

x …!

c cosy .

Sử dụng cách giải 1 của dạng cơ bản đối với hai dạng mở rộng này.
Chú ý: Các công thức lượng giác thường sử dụng trong dạng này là:
1) sin(a  b)  sin a cos b  sin b cos a
2) cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b

B. Bài tập mẫu:
Ví dụ 11. Giải phương trình:

3 cos 2 x  sin 2 x  2

11 .

Phân tích: Nếu thuộc kỉ công thức cộng em đưa vế trái về sin hay cos đều như nhau. Nếu quen sin
đướng trước thì ta sắp xếp phương trình lại một tí…!
Giải
1
3


3 cos 2 x  2  sin 2 x 
cos 2 x  1  sin 2 x.cos  sin cos 2 x  1
2
2
3
3


11  sin  2 x    1  x   k 2,  k  Z  .
3
12


11  sin 2 x 

Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

9

Trung tâm SEG. 154-Huỳnh Mẫn Đạt-p3-q5-TP.HCM

Ví dụ 12. Giải phương trình: 8sin x 

3
1

cos x sin x

12  .

Phân tích: Các em để ý không phải là luôn luôn nhưng khi thấy xuất hiện 3 thì thường là rơi vào
dạng bậc nhất theo sin và cos hoặc mở rộng của nó.!!
Giải
sin x  0
Điều kiện: 
.
cos x  0

12  8sin 2 x.cos x 

3 sin x  cos x  4cos x 1  cos 2 x   3 sin x  cos x

 3cos x  4cos 2 x.cos x  3 sin x  cos x  3 sin x  2cos3x
1
3


 cos x 
sin x  cos3x  cos cos x  sin sin x  cos3x
2
2
3
3


x   k 2



6
cos   x   cos 3x  
,  k  Z .
3

 x     k 2

12

Ví dụ 13. Giải phương trình: sin 3x  3 cos9 x  1  4sin 3 3x
Phân tích: Thấy

13 .

3 là ta thử nghĩ đên dạng bậc nhất theo sin và cos, nhưng bài khác góc và lệch

bậc?? Để ý tý Em sẽ thấy công thức nhân 3 (sin thì 3-4). Ta thấy sin 9 x  3sin 3x  4sin3 3x .
Giải

13   3sin 3x  4sin 3 x  

3 cos 9 x  1  sin 9 x  3 cos 9 x  1

 k 2

x



1
3
1



18
9
 sin 9 x 
cos 9 x   sin  9 x    sin  
,  k  Z .
2
2
2
3
6

 x  7  k 2

54
9
Ví dụ 14. Giải phương trình: cos x  3 sin x  2cos3x 14  .
Phân tích: Đây là dạng mở rộng 1, em cứ giải tương tự như dạng cơ bản. Chia hai vế của phương
trình cho 2 được:
1
3
cos x 
sin x  cos3x vì vế phải là hàm cos nên để cho tiện thì các em cũng đưa vế trái về hàm
2
2

cos. Tức là:

1
3




cos x 
sin x  cos .cos x  sin .sin x  cos  x   .
2
2
3
3
3

Giải

1
3




cos x 
sin x  cos3x  cos .cos x  sin .sin x  cos3 x  cos  x    cos3 x….!!
2
2
3
3
3

Các em tự giải tiếp nhé…!
Ví dụ 15. Giải phương trình: cos 3x  sin 5x  3  cos 5x  sin 3x  15 .

14  

Phân tích: Đây là dạng mở rộng 2. Đưa các giá trị lượng giác cùng góc đưa về một vế. là chuyển góc
3x về một vế và 5x về một vế. Tiếp theo Em cứ giải tương tự như dạng cơ bản .
Giải
Ths. Trần Duy Thúc. Sđt:0979.60.70.89

10

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp