Bài tập phép đếm – Toán rời rạc có lời giải chi tiết

Cập nhật lần cuối 12/09/2021 by TTnguyen
Tổng hợp bài tập phép đếm của những nguyên tắc cơ bản : nguyên tắc cộng, nguyên tắc nhân, nguyên tắc loại trừ, nguyên tắc bù trừ, nguyên tắc quy về đơn thuần, nguyên tắc truy hồi để giải bài tập phép đếm

Tóm tắt lý thuyết về bài tập phép đếm

1.Nguyên lý cộng

Bài 1: Giả sử cần chọn ra 1 đại diện học sinh tham gia dự thi Olympic Tin học. Biết thể lựa chọn học sinh khối 11 và khối 12. Hỏi có bao nhiêu lựa chọn khác nhau nêu có 300 học sinh khối 11 và 260 em học sinh khối 12.

Giải
Có 300 cách chọn 1 học sinh khối 11
Có 260 cách chọn 1 học sinh khối 12
Theo nguyên tắc cộng : 300 + 260 = 560 cách

Bài 2: Một sinh viên có thể lựa chọn đề tài từ 1 trong 3 danh sách. Mỗi danh sách lần lượt chứa 10, 20 và 30 đề tài khác nhau tương ứng. Mỗi đề tài chỉ xuất hiện trong 1 danh sách, Một sinh viên có bao nhiêu cách lựa chọn đề tài?

Giải
Sinh viên hoàn toàn có thể chọn đề tài từ 1 trong 3 list và không bị lặp lại .
Nên theo nguyên tắc cộng có 10 + 20 + 30 = 60 cách

Bài 3: Giá trị k là bao nhiêu sau khi thực hiện đoạn mã sau:

k : = 0 ;
for i : = 1 to 5 do
k : = k + 1 ;
Giải
Giá trị khởi tạo k = 0
Lệnh thực thi vòng lặp 5 lần, mỗi lần k tăng thêm 1 => theo nguyên tắc cộng k = 5

Bài 4: Một mật khẩu có độ dài từ 7 đến 8 kí tự. Trong đó có 1 chữ cái hoa tiếng anh hoặc 1 chữ số, Mỗi mật khẩu phải chứa ít nhất 1 chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu có thể có?

Giải
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là 367
Số lượng mật khẩu chỉ chứa vần âm hoa là 267
Số lượng mật khẩu chứa kí tự là 368
Số lượng mật khẩu chỉ chứa vần âm hoa là 268
Vậy số lượng mật khẩu chứa tối thiểu 1 chữ số là : 367 + 368 – 267 – 268

2.Nguyên lý nhân

Bài 1: Để tạo số báo danh cho học sinh bao gồm 1 chữ cái hoa tiếng anh và 1 chữ số không vượt quá 100. Hỏi số lượng lớn nhất số báo danh có thể có là bao nhiêu?

Giải
Số lượng số báo danh lớn nhất là : 26 * 100 = 2600

Bài 2: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài là 7?

Giải
Mỗi bít có 2 cách lựa chọn do đó : 27
Bài 3 : Có bao nhiêu ham từ tập m thành phần đến tập n thành phần ? nm

3.Nguyên lý loại trừ

Giả sử 1 việc làm hoàn toàn có thể triển khai 1 trong 2 cách nhưng có một số ít cách bị trùng
| A 1 ∪ A 2 | = | A 1 | + | A 2 | – | A 1 ∩ A 2 |

Bài 1: Có bao nhiêu chuỗi bit có độ dài 8 hoặc bắt đầu bằng 1 hoặc bắt đầu bằng 00

Giải
Chuỗi bit mở màn bằng 1 là : 27
Chuỗi bit khởi đầu bằng 00 là : 26
Chuỗi bit trùng nhau mở màn bằng 1 và 00 là : 25
Theo nguyên tắc trừ ta có : 27 + 26 – 25

4.Nguyên lý chia

Một việc làm A có n cách triển khai, đồng thời nó cũng được triển khai theo k giải pháp khác nhau, mỗi giải pháp có đúng d cách thực thi. Thì số phướng án khác nhau để thực thi A là k = n / d

5.Nguyên lý Dirichle

Bài 1: Cần bao nhiêu học sinh để đảm bảo có ít nhất 2 học sinh trùng điểm nhau, nếu điểm được cho từ 0 – 10?

Giải
Cần tối thiểu 12 học viên
Bài 2 : Cần tối thiểu bao nhiêu sinh viên để bảo vệ rằng tối thiểu 3 sinh viên cùng nhận tác dụng nhìn nhận, nếu có 5 điểm để nhìn nhận A, B, C, D, F
Giải
[ N / 5 ] = 3
Số sinh viên tối thiểu là :

6.Hoán vị

Hoán vị là cách sắp xếp có thứ tự tổng thể n thành phần

Bài 1: Người ta sắp xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5

a. Có bao nhiêu cách sắp xếp số chẵn ở cạnh nhau ?
Coi hai số chẵn là 1 => có 2 !. 4 ! = 48 cách
b. Có bao nhiêu cách sắp xếp hai thành 2 nhóm chẵn lẻ riêng không liên quan gì đến nhau ( 2 !. 3 !. 2 = 24 )

7.Tổ hợp và chỉnh hợp

Chỉnh hợp chập k của n thành phần

Tổ hợp chập k của n thành phần : lấy k thành phần trong n thành phần

Bài 1: Một lớp học có 10 môn, mỗi ngày học 2 môn.Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp thời khoá biểu trong 1 ngày?

Giải
Cách sắp xếp thời khoá biểu là \ ( A_2 ^ { 10 } = 90 \ )

Bài 2: Một tổ gồm 8 nam và 6 nữ. Có bao nhiêu cách chọn 1 nhóm 5 người mà trong đó có đúng 2 nữ?

Giải
Cách chọn 2 nữ trong 6 nữ là : \ ( C_6 ^ { 2 } = 15 \ )
Cách chọn 4 nam trong 8 nam là : \ ( C_8 ^ { 4 } = 56 \ )
Số cách chọn theo nhu yếu là : 15.56 = 840 cách

8.Chỉnh hợp lặp và tổ hợp lặp

Chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một nhóm gồm k phần tử lấy trong n phần tử đã cho và sắp xếp theo một thứ
tự nhất định; các phần tử có thể lấy lặp.

• Chỉnh hợp lặp: \( A_n^{k} = n^k \)

Tổ hợp lặp chập k của n thành phần là một nhóm gồm k thành phần lấy ( hoàn toàn có thể lặp ) trong n thành phần đã cho .

• Tổ hợp lặp: \( C_n^{k} = C_{n+k-1}^{k} \)

Bài 1: Tìm chuỗi nhị phân có độ dài 6 là (26)

Bài 2: Có 4 loại bút bi: xanh, đỏ, vàng, cam và mỗi loại có ít nhất 6 cây bút.Có bao nhiêu cách khác nhau để mua 6 cây?

Giải
Tổ hợp lặp chập 6 của 4 thành phần : \ ( C_ { 4 + 6-1 } ^ { 6 } = 84 \ )

Các bài tập phép đếm cơ bản

Bài 1: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần tương ứng với số quân là 10, 12, 14, 16

Giải

Vì số quân của những phần khác nhau nên :
\( C_{52}(10,12,14,16) = \frac{52!}{10!.12!.14!.16!} \)
\ ( C_ { 52 } ( 10,12,14,16 ) = \ frac { 52 ! } { 10 !. 12 !. 14 !. 16 ! } \ )

Bài 2: Có bao nhiêu cách chia bộ bài tú lơ khơ 52 quân thành 4 phần bằng nhau?

Giải
Vì số quân của những phần bằng nhau nên :
\( C_{52}(13,13,13,13) = \frac{52!}{13!.13!.13!.13!.4!} \)
\ ( C_ { 52 } ( 13,13,13,13 ) = \ frac { 52 ! } { 13 !. 13 !. 13 !. 13 !. 4 ! } \ )

Bài 3: Có bao nhiêu cách chia 10 chiếc kẹo cho 5 em bé trong các trường hợp sau:

a / Chia 1 cách tuỳ ý
\( R_{5}^{10}=C_{5+10-1}^{10} =1001 \)
\ ( R_ { 5 } ^ { 10 } = C_ { 5 + 10-1 } ^ { 10 } = 1001 \ )b / Em nào cũng được chia kẹo
Chia cho mỗi em 1 kẹo để bảo vệ ai cũng được kẹo rồi liên tục chia 1 cách tuỳ ý :
\( R_{5}^{5}=C_{5+5-1}^{5} = 126 \)
\ ( R_ { 5 } ^ { 5 } = C_ { 5 + 5-1 } ^ { 5 } = 126 \ )c / Có 1 em có số kẹo ít hơn 4
\( C_{10}^{0} + C_{10}^{1} + C_{10}^{2} + C_{10}^{3}\)
\ ( C_ { 10 } ^ { 0 } + C_ { 10 } ^ { 1 } + C_ { 10 } ^ { 2 } + C_ { 10 } ^ { 3 } \ )

Bài 4: Một phiếu trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời.
a) Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu câu hỏi nào cũng đều được trả lời? 410
b) Có bao nhiêu cách điền vào phiếu, nếu có thể có câu hỏi bỏ trống không trả lời? 510

Một số lưu ý khi làm bài tập phép đếm

 8.Hoán vị vòng quang: Qn =(n-1)!

Các bài tập phép đếm tổng hợp

Câu 1. Có 5 bộ quần áo có kích thước khác nhau. Chủ cửa hàng xếp ngẫu nhiên quần này với áo khác. Hỏi có bao nhiêu cách xếp để cho:
a) Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích thước với nhau?
b) Tất cả 5 bộ quần áo đều sai kích thước?
c) Ít nhất có 2 bộ có cùng kích thước.

Giải
a )
– Chọn ra 3 bộ có cùng kích cỡ với nhau : \ ( C_ { 5 } ^ { 3 } = 10 \ )
– 3 bộ có đúng 1 cách xếp
– Còn lại 2 bộ quần áo có kích cỡ khác nhau :
Dn = ( n – 1 ) ( Dn-1 + Dn-2 ) với D1 = 0, D2 = 1
=> Số cách sắp xếp 2 bộ quần áo có size khác nhau là D2 = 1
=> Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích cỡ với nhau : 10.1
b )
Số cách sắp xếp 5 bộ quần áo có kích cỡ khác nhau là D5
D1 = 0
D2 = 1
D3 = 2. ( 1 + 0 ) = 2
D4 = 3 ( 2 + 1 ) = 9
D5 = 4 ( 9 + 2 ) = 44
c )
Chỉ có 2 bộ quần áo là đúng size với nhau : \ ( C_ { 5 } ^ { 2 }. D3 \ )
Chỉ có 3 bộ quần áo là đúng kích cỡ với nhau : \ ( C_ { 5 } ^ { 3 }. D2 \ )
Chỉ có 4 bộ quần áo là đúng size với nhau : \ ( C_ { 5 } ^ { 4 }. D1 \ )
Ít nhất có 2 bộ có cùng kích cỡ :
\( C_{5}^{3}.D2 + C_{5}^{2}.D3 + C_{5}^{4}.D1 \)
\ ( C_ { 5 } ^ { 3 }. D + C_ { 5 } ^ { 2 }. D + C_ { 5 } ^ { 4 }. D \ )

Câu 2. Cho 31 đường thẳng trên cùng một mặt phẳng, hỏi chúng chia mặt phẳng thành bao nhiêu phần trong các trường hợp sau đây:
a) Có 7 đường thẳng song song với nhau và 6 đường thẳng đồng quy tại 1 điểm.
b) Nếu vẽ thêm 1 đường thẳng đi qua 2 giao điểm của các đường thẳng đã cho.
c) 31 đường thẳng ở vị trí tổng quát

Giải
c ) 31 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên

a ) – 7 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên T7 = 29 phần mặt phẳng .
Trong đó 7 đường thẳng song song với nhau chỉ tạo nên 8 phần mặt phẳng .
Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 29 – 8 = 21
Vậy đáp án là T31 – 21 phần mặt phẳng .
– 6 đường thẳng có vị trí tổng quát tạo nên T6 = 22 phần mặt phẳng
6 đường thẳng đồng quy chỉ tạo ra 12 phần mặt phẳng .
Vậy số phần mặt phẳng bớt đi là 22 – 12 = 10
Vậy đáp án là T31 – 10 phần mặt phẳng .
=> 2T31 – 10 – 21
b )

Câu 3: Phương trình x1 + x2 + x3 + x4 =9 bao nhiêu nghiệm nguyên trong các trường hợp sau:
a) xi ≥ 0 và nguyên (i= \( \overline{1,4} \))
b) xi nguyên và x1 ≥ 0, x2 ≥ 1, x3 ≥ 2, 0≤ x4 ≤ 3

Giải

a) Số nghiệm là tổ hợp lặp chập 9 của 4 phần tử

b ) Đặt x1 = t1 ≥ 0, x2 – 1 = t2 ≥ 1, x3 – 2 = t3 ≥ 2, x4 = t4 ≥ 0
Thay vào phương trình ta được
t1 + t2 + t3 + t4 = 12 ( 1 )
Với x4 = 0 số nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

Với x4 = 1 số nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

Với x4 = 2 số nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

Với x4 = 3 số nghiệm của phương trình ( 1 ) là :

Vậy số nghiệm là tổng của 4 trường hợp : 455 + 1820 + 6188 + 18564 = 27027

Câu 4. Có bao nhiêu cách chia 52 quân bài cho 5 người, trong đó:
a) Có 4 người mỗi người 7 quân và một người 12 quân?
b) Có 4 người mỗi người nhận 6 quân đỏ và 6 quân đen và 1 người nhận 2 quân đỏ và 2
quân đen

Giải

a )

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Tin Tức