BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN – TOÁN HỌC

BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

I – BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bất phương trình bậc nhất hai ẩn USD x, \, \, y $ có dạng tổng quát là
USD ax + by \ le c \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \, \ left ( 1 \ right ) USD

         $\left( ax+byc \right)$

trong
đó $a,\,\,b,\,\,c$ là những số thực đã cho, $a$ và $b$ không đồng thời bằng $0,\,\,x$
và $y$ là các ẩn số.

II – BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM
CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, những bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để miêu tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng chiêu thức trình diễn hình học .
Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy, USD tập hợp những điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $ \ left ( 1 \ right ) USD được gọi là miền nghiệm của nó .
Từ đó ta có quy tắc thực hành thực tế màn biểu diễn hình học tập nghiệm ( hay trình diễn miền nghiệm ) của bất phương trình USD ax + by \ le c USD như sau ( tương tự như cho bất phương trình USD ax + by \ ge c USD )

Bước 1.
Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy,$ vẽ đường thẳng $\Delta $: $ax+by=c.$

Bước 2.
Lấy một điểm ${{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ không thuộc $\Delta $
(ta thường lấy gốc tọa độ $O$)

Bước 3.
Tính $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ và so sánh $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}$ với $c.$

Bước 4.
Kết luận

Nếu
$a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}
Nếu $ a { { x } _ { 0 } } + b { { y } _ { 0 } } > c USD thì nửa mặt phẳng bờ $ \ Delta $ không chứa $ { { M } _ { 0 } } $ là miền nghiệm của $ a { { x } _ { 0 } } + b { { y } _ { 0 } } \ le c. $

Chú
ý:

Miền
nghiệm của bất phương trình $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}\le c$ bỏ đi đường thẳng $ax+by=c$
là miền nghiệm của bất phương trình $a{{x}_{0}}+b{{y}_{0}}

Ví dụ.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình USD 2 x + y \ le 3 USD

Giải

Vẽ đường thẳng USD \ Delta : 2 x + y = 3. $

Lấy gốc tọa độ $ O \ left ( 0 ; 0 \ right ), USD ta thấy $ O \ notin \ Delta $ và có USD 2.0 + 0 <3 $ nên nửa mặt phẳng bờ $ \ Delta $ chứa gốc tọa độ $ O $ là miền nghiệm của bất phương trình đã cho ( miền không bị tô đậm trong hình ) .

III – HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
BẬC NHẤT HAI ẨN

Tương tự hệ bất phương trình một ẩn
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm 1 số ít bất phương trình bậc nhất hai ẩn USD x, \, \, y $ mà ta phải tìm những nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho .
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta hoàn toàn có thể trình diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn .

Ví dụ 1.

Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình:$\left\{ \begin{align}
& 3x+y\le 6 \\
& x+y\le 4 \\
& x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
\end{align} \right.$

Giải.

Vẽ những đường thẳng

$\begin{align}
& {{d}_{1}}:3x+y=6 \\
& {{d}_{2}}:x+y=4 \\
& {{d}_{2}}:x=0\,\,\,\,\,\,\left( Oy \right) \\
& {{d}_{2}}:y=0\,\,\,\,\,\,\left( Ox \right) \\
\end{align}$

Vì điểm $ { { M } _ { 0 } } \ left ( 1 ; 1 \ right ) USD có tọa độ thỏa mãn nhu cầu tổng thể những bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm những nửa mặt phẳng bờ $ \ left ( { { d } _ { 1 } } \ right ), $ $ \ left ( { { d } _ { 2 } } \ right ), $ $ \ left ( { { d } _ { 3 } } \ right ), $ $ \ left ( { { d } _ { 4 } } \ right ) USD không chứa điểm $ { { M } _ { 0 } }. $ Miền không bị tô đậm ( hình tứ giác $ OCIA $ kể cả bốn cạnh USD AI, \, \, IC, \, \, CO, \, \, OA $ ) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho .

IV. VÍ DỤ MINH HỌA

Vấn đề 1. BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Bất phương trình nào sau đây là bất phương trình bậc nhất hai ẩn ?

A. $2{{x}^{2}}+3y>0.$                       B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}<2.$

C. $x+{{y}^{2}}\ge 0.$    D. $x+y\ge 0.$

Câu 2.

Cho bất phương trình USD 2 x + 3 y – 6 \ le 0 \, \, ( 1 ) USD. Chọn chứng minh và khẳng định đúng trong những chứng minh và khẳng định sau :

A. Bất phương trình $\left( 1 \right)$ chỉ có một nghiệm duy
nhất.

B. Bất
phương trình $\left( 1 \right)$vô nghiệm.

C. Bất
phương trình $\left( 1 \right)$ luôn có vô số nghiệm.

D. Bất
phương trình $\left( 1 \right)$có tập nghiệm là $\mathbb{R}$.

Câu 3.

Miền nghiệm của bất phương trình : USD 3 x + 2 \ left ( y + 3 \ right ) > 4 \ left ( x + 1 \ right ) – y + 3 USD là nửa mặt phẳng chứa điểm :

A. $\left( 3;0 \right).$               B. $\left( 3;1 \right).$

C. $\left( 2;1 \right).$     D. $\left( 0;0 \right).$

Câu 4.

Miền nghiệm của bất phương trình : USD 3 \ left ( x-1 \ right ) + 4 \ left ( \ text { } y-2 \ right ) < 5 x - 3 $ là nửa mặt phẳng chứa điểm :

A. $\left( 0;0 \right).$                         B. $\left( -4;2 \right).$

C. $\left( -2;2 \right).$ D. $\left( -5;3 \right).$

Câu 5.

Miền nghiệm của bất phương trình USD – x + 2 + 2 \ left ( y-2 \ right ) < 2 \ left ( 1 - x \ right ) USD là nửa mặt phẳng không chứa điểm nào trong những điểm sau ?

A. $\left( 0;0 \right).$                         B. $\left( 1;1 \right).$

C. $\left( 4;2 \right).$     D. $\left( 1;-1 \right).$

Vấn đề 2. HỆ BẤT PHƯƠNG
TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{align}
& x+3y-2\ge 0 \\
& 2x+y+1\le 0 \\
\end{align} \right.$.

Trong những điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ?

A. $M\left( 0;1 \right).$                       B. $N\left( 1;1 \right).$

C. $P\left( 1;3 \right).$ D. $Q\left( 1;0 \right).$

Câu 2.

Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{matrix}
2x-5y-1>0 \\
2x+y+5>0 \\
x+y+1<0 \\ \end{matrix} \right.$.

Trong những điểm sau, điểm nào thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ?

A. $O\left( 0;0 \right).$                        B. $M\left( 1;0 \right).$

C. $N\left( 0;-2 \right).$            D. $P\left( 0;2 \right).$

Câu 3.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{align}
& \frac{x}{2}+\frac{y}{3}-1\ge 0 \\
& x\ge 0 \\
& x+\frac{1}{2}-\frac{3y}{2}\le 2 \\
\end{align} \right.$

chứa điểm nào trong những điểm sau đây ?

A. $O\left( 0;0 \right).$                        B. $M\left( 2;1 \right).$

C. $N\left( 1;1 \right).$             D. $P\left( 5;1 \right).$

Câu 4.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{align}
& 3x+y\ge 9 \\
& x\ge y-3 \\
& 2y\ge 8-x \\
& y\le 6 \\
\end{align} \right.$

chứa điểm nào trong những điểm sau đây ?

A. $O\left( 0;0 \right).$                        B. $M\left( 1;2 \right).$

C. $N\left( 2;1 \right).$             D. $P\left( 8;4 \right).$

Câu 5.

Điểm USD M \ left ( 0 ; – 3 \ right ) USD thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình nào sau đây ?

A. $\left\{ \begin{align}
& 2x-y\le 3 \\
& 2x+5y\le 12x+8 \\
\end{align} \right..$

B. $\left\{ \begin{align}
& 2x-y>3 \\
& 2x+5y\le 12x+8 \\
\end{align} \right..$

C. $\left\{ \begin{align}
& 2x-y>-3 \\
& 2x+5y\le 12x+8 \\
\end{align} \right..$

D. $\left\{ \begin{align}
& 2x-y\le -3 \\
& 2x+5y\ge 12x+8 \\
\end{align} \right..$

Vấn đề 3. TÌM GTLN – GTNN
CỦA BIỂU THỨC F(x,y) VỚI ĐIỀU KIỆN LÀ MỘT HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Câu 1.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $ F = y-x USD trên miền xác lập bởi hệ :

$\left\{ \begin{matrix}
y-2x\le 2 \\
2y-x\ge 4 \\
x+y\le 5 \\
\end{matrix} \right.$ là.

A. $\text{min }F=1$ khi $x=2,y=3$.                 

B. $\text{min }F=2$ khi $x=0,\text{ }y=2$.

C. $\text{min }F=3$ khi $x=1,y=4$.                 

D. $\text{min }F=0$ khi $x=0,\text{ }y=0$.

Câu 2.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $ F = y-x USD trên miền xác lập bởi hệ :

$\left\{ \begin{matrix}
2x+y\le 2 \\
x-y\le 2 \\
5x+y\ge -4 \\
\end{matrix} \right.$ là

A. $\text{min }F=-3$ khi $x=1,y=-2$.               

B. $\text{min}\,F=0$ khi$x=0,y=0$.

C. $\text{min }F=-2$ khi $x=\frac{4}{3},y=-\frac{2}{3}$.                  

D. $\text{min }F=8$ khi $x=-2,y=6$.

Câu 3

Cho hệ bất phương trình: $\left\{ \begin{align}
& x-y\le 2 \\
& 3x+5y\le 15 \\
& x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
\end{align} \right.$.

Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?

A.Trên
mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là
miền tứ giác $ABCO$ kể cả các cạnh với $A\left( 0;3 \right)$, $B\left(
\frac{25}{8};\frac{9}{8} \right)$, $C\left( 2;0 \right)$ và $O\left( 0;0
\right)$.

B.Đường
thẳng $\Delta :x+y=m$ có giao điểm với tứ giác $ABCO$ kể cả khi $-1\le m\le
\frac{17}{4}$.

C.Giá trị lớn nhất của biểu thức $x+y$, với $x$ và $y$ thỏa
mãn hệ bất phương trình đã cho là $\frac{17}{4}$.

D.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $x+y$, với $x$ và $y$
thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.

Câu 4.

Giá trị lớn nhất của biết thức $F\left( x;y \right)=x+2y$ với điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}
0\le y\le 4 \\
x\ge 0 \\
x-y-1\le 0 \\
x+2y-10\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ là

A. $6$.                            B. $8$.                          C. $10$.                        D. $12$.

Câu 5.

Giá trị nhỏ nhất của biết thức $F\left( x;y \right)=x-2y$ với điều kiện: $\left\{ \begin{matrix}
0\le y\le 5 \\
x\ge 0 \\
x+y-2\ge 0 \\
x-y-2\le 0 \\
\end{matrix} \right.$ là

A. $-10$.                         B. $12$.                        C. $-8$.                         D. $-6$.

Vấn
đề 4. BÀI TOÁN KINH TẾ, BÀI TOÁN TỐI ƯU

Bài toán: Tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức $T\left( x,y \right)=ax+by$ với $\left(
x;y \right)$ nghiệm đúng một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn cho trước.

Bước 1: Xác
định miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Kết quả thường được miền nghiệm
$S$ là đa giác.

Bước 2: Tính giá trị của $F$ tương ứng với $\left(
x;y \right)$ là tọa độ của các đỉnh của đa giác.

Bước 3: Kết
luận:

USD \ bullet USD Giá trị lớn nhất của $ F $ là số lớn nhất trong những giá trị tìm được .
USD \ bullet USD Giá trị nhỏ nhất của $ F $ là số nhỏ nhất trong những giá trị tìm được .

Câu 1.

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo .
● Để pha chế 1 lít nước cam cần 30 g đường, 1 lít nước và 1 g hương liệu ;
● Để pha chế 1 lít nước táo cần 10 g đường, 1 lít nước và 4 g hương liệu .
Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước trái cây mỗi loại để đạt được số điểm thưởng cao nhất ?

A. $5$ lít nước cam và $4$ lít nước táo.                              B. $6$ lít nước cam và $5$ lít nước
táo.    

C. $4$ lít nước cam và $5$ lít nước táo.                              D. $4$ lít nước cam và $6$ lít nước
táo.    

Câu 2.

Một xưởng sản xuất hai loại loại sản phẩm
● Mỗi kg sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên vật liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40 nghìn ;
● Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên vật liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30 nghìn .
Xưởng có 200 kg nguyên vật liệu và 1200 giờ thao tác. Nên sản xuất mỗi loại loại sản phẩm bao nhiêu để có mức lời cao nhất ?

A. $30$kg loại I và $40$ kg loại II.     B. $20$kg loại I và $40$ kg loại II.         

C.
$30$kg loại I và $20$ kg loại II.     D. $25$kg loại I và $45$ kg loại II.        

Câu 3.

Một nhà khoa học đã điều tra và nghiên cứu về ảnh hưởng tác động phối hợp của hai loại Vitamin $ A $ và $ B $ đã thu được tác dụng như sau : Trong một ngày, mỗi người cần từ 400 đến 1000 đơn vị chức năng Vitamin cả $ A $ lẫn $ B $ và hoàn toàn có thể đảm nhiệm không quá 600 đơn vị chức năng vitamin $ A $ và không quá 500 đơn vị chức năng vitamin USD B USD. Do tác động ảnh hưởng phối hợp của hai loại vitamin trên nên mỗi ngày một người sử dụng số đơn vị chức năng vitamin $ B $ không ít hơn 50% số đơn vị chức năng vitamin $ A $ và không nhiều hơn ba lần số đơn vị chức năng vitamin $ A $. Tính số đơn vị chức năng vitamin mỗi loại ở trên để một người dùng mỗi ngày sao cho ngân sách rẻ nhất, biết rằng mỗi đơn vị chức năng vitamin $ A $ có giá 9 đồng và mỗi đơn vị chức năng vitamin $ B $ có giá 7,5 đồng .

A. $600$ đơn vị Vitamin $A$, $400$ đơn vị Vitamin $B.$

B. $600$ đơn vị Vitamin $A$, $300$ đơn vị Vitamin $B.$

C. $500$ đơn vị Vitamin $A$, $500$ đơn vị Vitamin $B.$

D. $100$ đơn vị Vitamin $A$, $300$ đơn vị Vitamin $B.$

Câu 4.

Công ty Bao bì Dược cần sản xuất 3 loại hộp giấy : đựng thuốc B1, đựng cao Sao vàng và đựng “ Quy sâm đại bổ hoàn ”. Để sản xuất những loại hộp này, công ty dùng những tấm bìa có size giống nhau. Mỗi tấm bìa có hai cách cắt khác nhau .
USD \ bullet $ Cách thứ nhất cắt được 3 hộp B1, một hộp cao Sao vàng và 6 hộp Quy sâm .
USD \ bullet $ Cách thứ hai cắt được 2 hộp B1, 3 hộp cao Sao vàng và 1 hộp Quy sâm. Theo kế hoạch, số hộp Quy sâm phải có là 900 hộp, số hộp B1 tối thiểu là 900 hộp, số hộp cao sao vàng tối thiểu là 1000 hộp. Cần giải pháp sao cho tổng số tấm bìa phải dùng là tối thiểu ?

A. Cắt theo cách một \[x-2<0\] tấm, cắt theo cách hai $300$ tấm.

B. Cắt theo cách một $150$ tấm, cắt theo cách hai $100$ tấm.

C. Cắt theo cách một $50$ tấm, cắt theo cách hai $300$ tấm.                             

D. Cắt theo cách một $100$ tấm, cắt theo cách hai $200$ tấm.

Câu 5.

Một nhà máy sản xuất sản xuất, sử dụng ba loại máy đặc chủng để sản xuất loại sản phẩm $ A $ và loại sản phẩm $ B $ trong một quy trình sản xuất. Để sản xuất một tấn loại sản phẩm $ A $ lãi USD 4 $ triệu đồng người ta sử dụng máy USD I $ trong USD 1 USD giờ, máy USD II $ trong USD 2 USD giờ và máy USD III $ trong USD 3 USD giờ. Để sản xuất ra một tấn loại sản phẩm $ B $ lãi được USD 3 $ triệu đồng người ta sử dụng máy USD I $ trong USD 6 $ giờ, máy USD II $ trong USD 3 USD giờ và máy USD III $ trong USD 2 USD giờ. Biết rằng máy USD I $ chỉ hoạt động giải trí không quá USD 36 USD giờ, máy hai hoạt động giải trí không quá USD 23 USD giờ và máy USD III $ hoạt động giải trí không quá USD 27 USD giờ. Hãy lập kế hoạch sản xuất cho nhà máy sản xuất để tiền lãi được nhiều nhất .

A. Sản xuất $9$ tấn sản phẩm $A$ và không sản xuất sản phẩm
$B.$

B. Sản xuất $7$ tấn sản phẩm $A$ và $3$ tấn sản phẩm $B.$

C. Sản xuất $\frac{10}{3}$ tấn sản phẩm $A$ và $\frac{49}{9}$ tấn sản phẩm $B.$  

D. Sản xuất $6$ tấn sản phẩm $B$ và không sản xuất sản phẩm $A.$

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp