Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết

Cách giải các dạng hệ phương trình đặc biệt cực hay, chi tiết

Lý thuyết & Phương pháp giải

DẠNG TOÁN 1: HỆ GỒM MỘT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ MỘT BẬC HAI

Quảng cáo

1. Phương pháp giải
Sử dụng giải pháp thế
– Từ phương trình bậc nhất rút một ẩn theo ẩn kia .
– Thế vào phương trình bậc hai để đưa về phương trình bậc hai một ẩn .
– Số nghiệm của hệ tuỳ theo số nghiệm của phương trình bậc hai này .

DẠNG TOÁN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG

1. Phương pháp giải
a. Hệ đối xứng loại 1
Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình có dạng :

( Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f ( x, y ) và g ( x, y ) không biến hóa ) .
Cách giải
– Đặt S = x + y, P = xy
– Đưa hệ phương trình ( I ) về hệ ( I ‘ ) với các ẩn là S và P .
– Giải hệ ( I ‘ ) ta tìm được S và P
– Tìm nghiệm ( x ; y ) bằng cách giải phương trình : X2 – SX + P = 0
b. Hệ đối xứng loại 2
Hệ phương trình đối xứng loại 2 là hệ phương trình có dạng :

( Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì ( 1 ) biến thành ( 2 ) và ngược lại )

– Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: (II) ⇔

– Biến đổi (3) về phương trình tích: (3) ⇔ (x-y).g(x,y) = 0 ⇔

– Như vậy (II) ⇔

– Giải các hệ phương trình trên ta tìm được nghiệm của hệ ( II )
c. Chú ý : Hệ phương trình đối xứng loại 1, 2 nếu có nghiệm là ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) cũng là một nghiệm của nó

Quảng cáo

DẠNG TOÁN 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI

1. Phương pháp giải
Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai là hệ phương trình có dạng :

– Giải hệ khi x = 0 ( hoặc y = 0 )
– Khi x ≠ 0, đặt y = tx. Thế vào hệ ( I ) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được ( x ; y )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Đặt S = x + y, P = xy ( S2 – 4P ≥ 0 )

Ta có :

⇒ S2 – 2 ( 5 – S ) = 5 ⇒ S2 + 2S – 15 = 0
⇒ S = – 5 ; S = 3
S = – 5 ⇒ P = 10 ( loại )
S = 3 ⇒ P = 2 ( nhận )
Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X2 – 3X + 2 = 0
⇔ X = 1 ; X = 2
Vậy hệ có nghiệm ( 2 ; 1 ), ( 1 ; 2 )
b. ĐKXĐ : x ≠ 0
Hệ phương trình tương tự với

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) là ( 1 ; 1 ) và ( 2 ; – 3/2 )

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương tự

Với x-y = 4 ⇒ x = y + 4 ⇒ y ( y + 4 ) + y + 4 – y = – 1
⇔ y2 + 4 y + 5 = 0 ( vn )
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( x ; y ) = { ( 0 ; 1 ), ( – 1 ; 0 ) }
b. Đặt S = x + y ; P = xy, ta có hệ :

– Với S = 2 + √ 2 ; P = 2 √ 2 ta có x, y là nghiệm phương trình :

Với S = – 4 – √ 2 ; P = 6 + 4 √ 2 ta có x, y là nghiệm phương trình :
X2 + ( 4 + √ 2 ) X + 6 + 4 √ 2 = 0 ( vô nghiệm )

Vậy hệ có nghiệm (x; y) là (2; √2) và (√2; 2)

Quảng cáo

Bài 3: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Hệ phương trình tương tự

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là : ( x ; y ) = { ( 0 ; 0 ), ( 2 ; 2 ) }
b. Trừ vế với vế của phương trình đầu và phương trình thứ hai ta được :
( y2 – x2 = x3 – y3 – 3 ( x2 – y2 ) + 2 ( x-y ) ⇔ ( x-y ) ( x2 + xy + y2 – 2 x – 2 y + 2 ) = 0 ⇔ 1/2 ( x-y ) [ x2 + y2 + ( x + y – 2 ) 2 ] = 0 ⇔ x = y )
( vì x2 + y2 + ( x + y-2 ) 2 > 0 )
Thay x = y vào phương trình đầu ta được :
x3 – 4×2 + 2 x = 0 ⇔ x ( x2 – 4 x + 2 ) = 0

Vậy hệ phương trình có ba nghiệm : ( 0 ; 0 ) ; ( 2 + √ 2 ; 2 + √ 2 ) và ( 2 – √ 2 ; 2 – √ 2 )

Bài 4: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có : x3 – 3 x = y3 – 3 y ⇔ ( x-y ) ( x2 + xy + y2 ) – 3 ( x-y ) = 0
⇔ ( x-y ) ( x2 + xy + y2 – 3 ) = 0

Khi x = y thì hệ có nghiệm
Khi x2 + xy + y2 – 3 = 0 ⇔ x2 + y2 = 3 – xy, ta có x6 + y6 = 27
⇔ ( x2 + y2 ) ( x4 – x2y2 + y4 ) = 27
⇒ ( 3 – xy ) [ ( 3 – xy ) 2 – 3×2 y2 ] = 27 ⇔ 3 ( xy ) 3 + 27 xy = 0

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm

b. Hệ phương trình tương tự

Bài 5: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có

Nếu x = 0 thay vào ( 1 ) ⇒ y = 0, thay vào ( 2 ) thấy ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) là nghiệm
của phương trình ( 2 ) nên không phải là nghiệm của hệ phương trình
Nếu x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Với t = 1/2 thay vào ( * * ) ta được 4×2 + x2 + 6 x = 27 ⇔ 5×2 + 6 x – 27 = 0

Với t = 1/3 thay vào ( * * ) ta được 4×2 + ( 2/3 ) x2 + 6 x = 27
⇔ 14×2 + 18 x – 81 = 0

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) là :

b. Dễ thấy x = 0 không thoả hệ
Với x ≠ 0, đặt y = tx, thay vào hệ ta được

Suy ra 3 ( t2 – t + 1 ) = 2 t2 – 3 t + 4 ⇒ t = ± 1
Thay vào ( * ) thì

Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ) là ( 1 / √ 3 ; ( – 1 ) / √ 3 ), ( ( – 1 ) / √ 3 ; 1 / √ 3 ), ( – 1 ; – 1 ) và ( 1 ; 1 )

Bài 6: Cho hệ phương trình. Tìm giá trị thích hợp của tham số a sao cho hệ có nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Đặt S = x + y, P = xy ( S2 – 4P ≥ 0 )
Ta có

Đẳng thức xảy ra khi a = – 1 ( nhận )

Bài 7: Xác định m để hệ phương trìnhcó nghiệm

Hướng dẫn:

Hệ phương trình tương tự
( x2 + y2 – 2 xy ) – ( x + y – 4 xy ) = m + 1 – 2 m ⇔ ( x + y ) 2 – ( x + y ) + m – 1 = 0
Để hệ phương trình có nghiệm Δ ≥ 0 ⇔ 1 – 4 ( m-1 ) ≥ 0 ⇔ 5 – 4 m ≥ 0
⇔ m ≤ 5/4
Từ phương trình thứ 2 ta có ( x-y ) 2 = m + 1 ⇒ m + 1 ≥ 0 ⇔ m ≥ – 1
Do đó – 1 ≤ m ≤ 5/4
Chuyên đề Toán 10 : khá đầy đủ triết lý và các dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-trinh-he-phuong-trinh.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp