Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình

Trong các dạng toán ở cấp trung học cơ sở, các bài toán trong thực tiễn tuy thân mật nhưng không hề dùng các chiêu thức giám sát thường thì để xử lý. Lập phương trình và hệ phương trình là một chiêu thức mới nhưng rất hiệu suất cao khi dùng để giải bài toán có đề bài bằng lời, chứa nhiều đại lượng với nhu yếu lập luận ngặt nghèo. Vậy, các bạn hãy cùng Gia Sư Việt tìm hiểu và khám phá về cách giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình dưới đây nhé .

I. Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình

Bước 1: Lập phương trình (hệ phương trình)

• Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thường ẩn là đại lượng bài toán yêu cầu tìm).
• Biểu thị các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượng đã biết.
• Lập phương trình (hệ phương trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình (hệ phương trình), kiểm tra xem kết quả có thỏa mãn điều kiện hay không.

Bước 3: Kết luận

II. Một số dạng toán về lập phương trình điển hình và cách giải cụ thể

Dạng 1: Chuyển động

( Trên đường đi bộ, trên dòng sông có tính đến dòng nước chảy )

Ví dụ 1: Một người đi ô tô từ A đến B để giải quyết công việc lúc 8h. Đoạn đường AB dài 80km gồm một đoạn đường bằng và một đoạn dốc. Vận tốc người đó đi trên đường bằng là 80 km/h, khi lên dốc (lúc đi) là 48 km/h, khi xuống dốc (lúc về) là 90 km/h. Tính độ dài đoạn đường bằng, biết rằng tới B, người đó giải quyết công việc trong 1h30 phút rồi quay về luôn và về tới A lúc 12h.

Lời giải:

Gọi độ dài đoạn đường bằng là x ( 0 < x < 90 ) ( km ) Tổng thời hạn người đó đi là : 12 – 8 – 1,5 = 2,5 ( h ) Thời gian người đó đi trên quãng đường bằng là : 2 x / 80 ( h ) Thời gian người đó lên dốc là : ( 90 - x ) / 48 ( h ) Thời gian người đó xuống dốc là : ( 90 - x ) / 90 ( h )

Theo bài ra, ta có:

2 x / 80 + ( 90 – x ) / 48 + ( 90 – x ) / 90 = 2.5
⇒ ( 18 x + 15 ( 90 – x ) + 8 ( 90 – x ) ) / 720 = 2.5
⇒ 18 x – 15 x – 8 x = 1800 – 720 – 1350
⇒ – 5 x = – 270
⇒ x = 54 ( thỏa mãn nhu cầu )
Kết luận : Quãng đường bằng dài 54 km .

Ví dụ 2: Một ca nô xuôi dòng theo A đến B rồi quay trở lại. Biết tổng thời gian ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4,5 giờ. Tính vận tốc của dòng nước, biết thời gian đi 5 km lúc đi bằng thời gian đi 4 km lúc về.

Lời giải:

Gọi tốc độ của thuyền khi nước lặng là x và tốc độ của dòng nước là y
Thời gian thuyền xuôi dòng 5 km bằng thời hạn thuyền ngược dòng 4 km => 5 / ( x + y ) = 4 / ( x – y )
Lại có tổng thời hạn ca nô xuôi ngược trên AB dài 40 km hết 4 h 30 phút
=> 40 / ( x + y ) + 40 / ( x – y ) = 4,5

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

5 / ( x + y ) = 4 / ( x – y ) ( I ) và 40 / ( x + y ) + 40 / ( x – y ) = 4,5 ( II )
Từ ( I ) suy ra : y = x – 16
Thay y = x – 16 vào ( 2 ), ta được :
x = 18 => y = 2 ( thỏa mãn nhu cầu )
Kết luận : Vận tốc dòng nước là 2 km / h .

Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng

( Toán vòi nước, việc làm )

Ví dụ 3: Cho 2 vòi nước khác nhau A và B cũng chảy vào bể. Vòi A cần ít hơn 2 giờ so với vòi B để một mình chảy đầy bể. Tính thời gian cần thiết để mỗi vòi chảy một mình đầy bể, biết tích thời gian 2 vòi chảy một mình gấp 4 lần thời gian 2 vòi cùng chảy.

Lời giải:

Gọi thời hạn để vòi A chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 ) ( giờ )
⇒ Thời gian để vòi B một mình chảy đầy bể là x + 2 ( giờ )
Trong một giờ vòi A chảy được : 1 / x ( bể )
Trong một giờ vòi A chảy được : 1 / ( x + 2 ) ( bể )
Trong một giờ cả hai vòi chảy được : 1 / x + 1 / ( x + 2 ) = ( 2 x + 2 ) / ( x ( x + 2 ) ) ( bể )
Suy ra, thời hạn để hai vòi chảy đầy bể là :
1 : ( ( 2 x + 2 ) / ( x. ( x + 2 ) ) = ( x ( x + 2 ) ) / ( 2 ( x + 1 ) )

Theo bài ra, ta có phương trình:

x. ( x + 2 ) = 4. ( x. ( x + 2 ) ) / ( 2. ( x + 1 ) )
⇒ 2 x. ( x + 1 ). ( x + 2 ) = 4 x. ( x + 2 )
⇒ x + 1 = 2 ( chia cả 2 vế cho 2 x ( x + 2 ) # 0 )
⇒ x = 1 ( thỏa mãn nhu cầu )
Vậy vòi A cần 1 giờ để chảy đầy bể, vòi B cần 3 giờ để chảy đầy bể .

Ví dụ 4: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì hết 12h. Tính số giờ mỗi tổ làm một mình xong công việc, biết nếu mỗi tổ lần lượt làm một nửa công việc thì hết 25h.

Lời giải:

Gọi số giờ tổ 1 một mình làm xong việc làm là x
số giờ tổ 2 một mình làm xong việc làm là y
Trong 1 giờ, cả hai tổ làm được 1 / x + 1 / y = 1/12 ( việc làm )
Khi mỗi người làm 50% việc làm, ta có : x / 2 + y / 2 = 25

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

1 / x + 1 / y = 1/12 ( I ) và x / 2 + y / 2 = 25 ( II )
Từ ( II ) ⇒ x = 50 – y
Thay x = 50 – y vào ( I ), ta được :
1 / ( 50 – y ) + 1 / y = 1/12 ⇒ y = 20 hoặc y = 30 ⇒ x = 30 hoặc x = 20
Kết luận : Tổ 1 làm một mình hết 20 giờ, tổ 2 làm một mình hết 30 giờ ( hoặc ngược lại )

Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm

Ví dụ 5: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều rộng bằng 2/3 chiều dài. Người chủ của mảnh vườn cắt mỗi cạnh đi 5m để trồng hoa, nên diện tích của mảnh vườn đã giảm 16%. Tính diện tích của mảnh vườn ban đầu.

Lời giải:

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x ( x > 5 ) ( m )
Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 2/3 x ( m )
Chiều dài của mảnh vườn sau khi giảm 5 m là x – 5 ( m )
Chiều rộng của mảnh vườn sau khi giảm 5 m là 2/3 x – 5 ( m )

Diện tích của mảnh vườn sau khi cắt bớt là:

( x – 5 ) ( 2/3 x – 5 ) = 2/3 x2 – 5 x – 10/3 x + 25 = ( 2×2 – 25 x + 75 ) / 3
Phần diện tích quy hoạnh giảm đi 16 % là :
( 2×2 ) / 3 – 16 % ( 2×2 ) / 3 = ( 2×2 ) / 3 – ( 8×2 ) / 75 = ( 50×2 – 8×2 ) / 75 = ( 14×2 ) / 25

Theo bài ra, ta có phương trình:

( 2×2 – 25 x + 75 ) / 3 = ( 14×2 ) / 25
⇒ 50×2 – 625 x + 1875 = 42×2
⇒ 8×2 – 625 x + 1875 = 0
⇒ x = 75 hoặc x = 25/8 ( loại vì 25/8 < 5 ) Suy ra chiều rộng của mảnh vườn là 50 m Kết luận : Diện tích của mảnh vườn bắt đầu là : 75 x 50 = 3750 ( mét vuông )

Ví dụ 6: Trong tháng năm hai nhóm công nhân đã trồng được 720 cây bạch đàn. Tháng tiếp theo do năng suất tăng nên hai nhóm trồng được thêm 99 cây bạch đàn so với tháng năm. Tính số cây mỗi nhóm đã trồng được trong tháng năm, biết tháng sáu nhóm một năng suất tăng 15%, nhóm hai tăng 12%.

Lời giải:

Gọi số cây nhóm một trồng được trong tháng năm là x
số cây nhóm hai trồng được trong tháng năm là y
Suy ra số cây nhóm một trồng được trong tháng sáu là 15 % x = 115 x / 100 ( cây )
số cây nhóm hai trồng được trong tháng sáu là 12 % y = 112 y / 100 ( cây )

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 720 và 115 x / 100 + 112 y / 100 = 720 + 99
Giải hệ ta được : x = 420 và y = 300
Kết luận : Nhóm một đã trồng được 420 cây trong tháng năm, nhóm hai đã trồng được 300 cây trong tháng năm .

Dạng 4: Toán có nội dung hình học

Ví dụ 7: Một tấm bìa các tông hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 17 cm và đường chéo bằng 53 cm. Tính chu vi của tấm bìa các tông đó.

Lời giải:

Gọi chiều dài của tấm bìa đó là x ( x > 17 ) ( cm )
Suy ra chiều rộng của tấm bìa là x – 17 ( cm )
Áp dụng định lý Py – ta – go, ta có phương trình :
x2 + ( x – 17 ) 2 = 532
⇒ x2 + x2 – 34 x + 289 – 2809 = 0
⇒ 2×2 – 34 x – 2520 = 0
⇒ x = 45 hoặc x = – 28 ( loại )
Suy ra chiều rộng của tấm bìa là 28 ( cm ), Chu vi của tấm bìa các tông là 146 ( cm )

Ví dụ 8: Một thửa ruộng có chu vi 450m. Tính diện tích ban đầu của thửa ruộng đó, biết rằng chu vi của thửa ruộng không thay đổi khi giảm chiều dài đi 1/5 và tăng chiều rộng lên 1/4.

Lời giải:

Gọi chiều dài của thửa ruộng là x, chiều rộng của thửa ruộng là y
Suy ra chiều dài sau khi cắt bớt là 1-1 / 5 x = 4/5 x ( m )
Chiều rộng sau khi tăng thêm là 1 + 1/4 x = 5/4 y ( m )
Nưa chu vi thửa ruộng đó là : 450 : 2 = 225 ( m )

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 225 và 4/5 x + 5/4 y = 225
Giải ra ta được : x = 125 và y = 100 ( thỏa mãn nhu cầu )
Diện tích bắt đầu của thửa ruộng đó là 125 x 100 = 12500 ( mét vuông )

Dạng 5: Toán về tìm số

Ví dụ 9: Bà Dương hơn Dương 56 tuổi. Tính số tuổi của hai bà cháu biết rằng cách đây 5 năm, số tuổi của bà gấp 8 lần tuổi của Dương.

Lời giải:

Gọi số tuổi hiện tại của Dương là x ( x > 0 ) ( tuổi )
Suy ra số tuổi của bà Dương hiện tại là x + 56 ( tuổi )
Số tuổi của Dương cách đây 5 năm là x – 5 ( tuổi )
Số tuổi của bà Dương cách đây 5 năm là x + 56 – 5 = x + 51 ( tuổi )

Theo bài ra, ta có phương trình:

8 ( x – 5 ) = x + 51
⇒ 8 x – 40 = x + 51
⇒ 8 x – x = 40 + 51
⇒ 7 x = 91
⇒ x = 13
Vậy số tuổi của Dương là 13, số tuổi của bà là 69 .

Ví dụ 10: Tuổi thọ trung bình của 45 vị vua và hoàng hậu ngày xưa là 40. Tuổi trung bình của vua là 35, tuổi trung bình của hoàng hậu là 50. Hỏi có bao nhiêu vị vua, bao nhiêu hoàng hậu được nhắc tới?

Lời giải:

Gọi số vị vua là x, số hoàng hậu là y ( 0 < x, y < 45 )

Theo bài ra, ta có hệ phương trình:

x + y = 45 và ( 35 x + 45 y ) / 45 = 40
Giải ra ta được : x = 15 và y = 30 ( thỏa mãn nhu cầu )
Vậy có 15 vị vua, 30 hoàng hậu .

Lời kết: Chúng ta có thể thấy những bài toán trên nếu giải theo phương pháp thông thường sẽ mất rất nhiều thời gian, nhưng khi ta lập được phương trình và hệ phương trình sẽ trở nên đơn giản hơn. Vì vậy, Gia Sư Việt mong rằng các em nắm chắc từng bước giải bài toán bằng cách lập phương trình & hệ phương trình để áp dụng làm bài thi hiệu quả nhất.

Tham khảo thêm:

♦ Phương pháp giải bài toán về Đường tròn môn Hình học lớp 9
♦ Khái niệm, đặc thù và cách chứng tỏ Tứ giác là Hình vuông
♦ Khái niệm, đặc thù và cách chứng tỏ Tứ giác là Hình chữ nhật

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp