1. Phương trình bậc bốn biết trước một nghiệm
Bạn đang đọc: Giải Phương Trình Bậc 4
Hiện nay, với sự tương hỗ của máy tính bỏ túi thì việc các phương trình đã trở nên đơn thuần hơn nhờ một công dụng quan trọng, đó là tính năng dò nghiệm của phương trình. Chức năng này cũng hoàn toàn có thể tương hỗ trong việc giải phương trình bậc hai, bậc ba, thế nhưng việc tương hỗ này lại có vẻ như không quan trọng lắm, bởi trong máy tính bỏ túi thông thưởng cũng đã có tính năng giải phương trình bậc hai và phương trình bậc ba. Thế nhưng với phương trình bậc bốn, việc không có sẵn tính năng giải phương trình bậc bốn sẽ đưa ta đến việc dùng tính năng dò nghiệm của phương trình .( Các kĩ năng dò nghiệm bằng máy tính các bạn tìm hiểu thêm ở phần phụ lục ) .Trong mục này thì tất cả chúng ta sẽ đi tìm cách giải tổng quát phương trình bậc bổn, từ đó so sánh ưu và điểm yếu kém so với khi dùng máy tính bỏ túi .Ví dụ 1 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – { x ^ 2 } + 4 x – 12 = 0 USD .Phân tích : Việc nhẩm nghiệm cho phương trình này mang đặc thù quyết định hành động. Nếu nhẩm được nghiệm USD x = 2 USD ( hoặc $ x = – 2 USD ) thì dùng sơ đồ Hooc-ne ta sẽ đưa được phương trình về phương trình tích :USD { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – x + 4 x – 12 = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 6 } \ right ) = 0 USD .Việc tìm nghiệm của $ \ left ( { { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 6 } \ right ) USD thì quá đơn thuần, ta chỉ cần dùng máy tính thì thấy ngay có thêm nghiệm $ x = – 2 USD. Vậy thì khi trình diễn bài toán này, ta sẽ dùng nghiên cứu và phân tích nhân tử .Bài giải :USD { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – x + 4 x – 12 = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – x + 3 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ pm 2 USD .( do $ { x ^ 2 } – x + 3 = { \ left ( { x – \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 11 } } { 4 } > 0 USD ) .Vậy phương trình có các nghiệm là USD x = \ pm 2 USD .Ví du 2 : Giải phương trình USD 10 { x ^ 4 } – 39 { x ^ 3 } + 30 { x ^ 2 } + 37 x – 42 = 0 USD .Bài giải :Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { 5 x – 7 } \ right ) \ left ( { 2 x – 3 } \ right ) \ left ( { x + l } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = – 1 \ vee x = 2 \ vee x = \ frac { 3 } { 2 } \ vee x = \ frac { 7 } { 5 }. $Vi dụ 3 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } – 2 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 8 x + 4 = 0 USD .Bài giải :Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } + 3 x – 2 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = 2 USD hoặc $ { x ^ 3 } + 3 x – 2 = 0 \ left ( 1 \ right ) USD .Giải ( * ) ( chính là Bài 3. a, Chương 2. Phương trình bậc ba ), ta Tóm lại được phương trình có hai nghiệm USD x = 2 $ và USD x = \ sqrt [ 3 ] { { 1 + \ sqrt 2 } } + \ sqrt [ 3 ] { { 1 – \ sqrt 2 } } $ .Nhận xét : Nếu nhẩm được một nghiệm trong phương trình bậc bốn thì việc còn lại là xử lí phương trình bậc ba điều này tất cả chúng ta đã làm quen ở Chương 2 $ \ to USD việc xử lí trọn phương trình bậc bốn là đơn thuần .Vậy nhưng không phải khi nào phương trình bậc 4 cũng hoàn toàn có thể nhẩm được nghiệm như vậy. Lúc đó ta sẽ đưa phương trình bậc 4 về dạng phương trình tích để xử lí .2. Một số phương trình bậc bốn dạng đặc biệt quan trọnga, Phương trình trùng phương và phương trình quy được về phương trình trùng phương :Phương trình trùng phương có dạng : USD a { x ^ 4 } + bx + c = 0 ( a \ ne 0 ) USD .Thực chất đây là phương trình bậc hai với ẩn USD t = { x ^ 2 } $, trong đó USD t \ ge 0 USD :USD a { t ^ 2 } + bt + c = 0 USD .Việc giải phương trình này là không khó, chỉ cần chú ý quan tâm điều kiện kèm theo USD t \ ge 0 USD .Ví dụ 4 : Giải phương trình USD 2 { x ^ 4 } + 3 { x ^ 2 } – 7 = 0 USD .Giải :Đặt USD t = { x ^ 2 } \ left ( { t \ ge 0 } \ right ) USD thì phương trình đã cho trở thành :USD 2 { t ^ 2 } + 3 t – 7 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } t = \ frac { { – 3 + \ sqrt { 65 } } } { 4 } > 0 \ Rightarrow x \ pm \ sqrt t = \ pm \ frac { { \ sqrt { – 3 + \ sqrt { 65 } } } } { 2 } \ \ t = \ frac { { – 3 – \ sqrt { 65 } } } { 4 } < 0 \ end { array } \ right. $Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm USD x = \ pm \ frac { { \ sqrt { – 3 + \ sqrt { 65 } } } } { 2 } $Ví dụ 5 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } – 4 { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 2 x – 3 = 0 USD .Giải :Đặt USD x = t + 1 USD thì phương trình trên trở thành :USD { ( t + 1 ) ^ 4 } – 4 { ( t + 1 ) ^ 3 } + 5 { ( t + l ) ^ 2 } – 2 ( t + l ) – 3 = 0 $ $ \ Leftrightarrow { t ^ 4 } – { t ^ 2 } – 3 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 2 } = \ frac { { 1 – \ sqrt { 13 } } } { 2 } < 0 USD loại $ \ vee { t ^ 2 } = \ frac { { 1 – \ sqrt { 13 } } } { 2 } $Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm USD x = \ pm \ sqrt { \ frac { { 1 + \ sqrt { 13 } } } { 2 } } $Nhận xét : Lời giải trên dựa vào nhận xét sau :Để kiểm tra phương trình $ a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + dx + e = 0 $ có phải có thực chất là phương trình trùng phương hay không, ta dùng phép đặt USD x = t – \ frac { b } { { 4 a } } $Ngoài ra ta nên nhớ hằng đẳng thức bậc bốn :USD { ( a + b ) ^ 4 } = { a ^ 4 } + 4 { a ^ 3 } b + 6 { a ^ 2 } { b ^ 2 } + 4 a { b ^ 3 } + { b ^ 3 } $ .Ví dụ 6 : Giải phương trình $ { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 4 } + { \ left ( { x + 3 } \ right ) ^ 4 } = 40 USD .Giải :Đặt USD x = t – 1 $ thì phương trình đã cho trở thành :USD { ( t – 2 ) ^ 4 } + { ( t + 2 ) ^ 4 } = 40 \ Leftrightarrow 2 { t ^ 4 } + 48 { t ^ 2 } – 8 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { t ^ 2 } = – 12 – 2 \ sqrt { 37 } < 0 $ ( loại ) $ \ vee { t ^ 2 } = 2 \ sqrt { 37 } – 12 $ ( thỏa mãn nhu cầu ) .USD t = \ pm \ sqrt { 2 \ sqrt { 37 } – 12 } \ Rightarrow x = – 1 \ ne \ sqrt { 2 \ sqrt { 37 } – 12 } $ .Nhận xét : Với phương trình dạng $ { \ left ( { x + a } \ right ) ^ 4 } + { ( x + b ) ^ 4 } = c USD, ta đặt USD x = t $ để quy phương trình đã cho về phương trình trùng phương với ẩn USD t USD .b, Phương trình bậc bốn hồi quy và phương trình phản hồi quy :Phương trình bậc bốn hồi quy có dạng :USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + bx + a = 0 ( a \ ne 0 ) USD .Vì USD a \ ne 0 USD nên chắc như đinh USD x = 0 $ không phải là nghiệm của phương trình $ \ Rightarrow x \ ne 0 USD. Chia hai vế cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được :USD a { x ^ 2 } + bx + c + \ frac { b } { x } + \ frac { a } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow a \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \ right ) + b \ left ( { x + \ frac { 1 } { x } } \ right ) + c = 0 USD .Đặt USD t = x + \ frac { 1 } { x } ( \ left | t \ right | \ ge 2 ) USD thì $ { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } = { t ^ 2 } – 2 USD. Phương trình trên trở thành :USD a ( { t ^ 2 } – 2 ) + bt + c = 0 USD .Giải phương trình này tìm $ t $ ( quan tâm điều kiện kèm theo $ \ left | t \ right | \ ge 2 USD ) .Sở dĩ có điều kiện kèm theo $ \ left | t \ right | \ ge 2 USD là do $ \ left | { x + \ frac { 1 } { x } } \ right | = \ frac { { { x ^ 2 } + 1 } } { { \ left | x \ right | } } \ ge \ frac { { 2 \ left | x \ right | } } { { \ left | x \ right | } } = 2 USDVới cách giải tựa như, ta trọn vẹn hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn phản hồi quy có dạng : USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + bx + a = 0 ( a \ ne 0 ) USD .Ta chia hai vế cho $ { x ^ 2 } $ rồi đặt USD t = x – \ frac { 1 } { x } $ ( không cần điều kiện kèm theo của USD t USD vì với USD x \ ne 0 $ thì $ \ left ( { x – \ frac { 1 } { x } } \ right ) USD có tập giá trị là $ R $ ) để xử lý .Ví dụ 7 : Giải phương trình USD 2 { x ^ 4 } + 3 { x ^ 3 } – 5 { x ^ 2 } + 3 x + 2 = 0 USD .Giải : ( Phương trình có dạng hồi quy )Ta thấy USD x = 0 $ không là nghiệm của phương trình $ \ Rightarrow x \ ne 0 USD. Lúc đó chia hai vế của phương trình cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được :USD { x ^ 2 } + 3 x – 5 + \ frac { 3 } { x } + \ frac { 2 } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow 2 \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \ right ) + 3 \ left ( { x + \ frac { 1 } { x } } \ right ) – 5 = 0 \ left ( * \ right ) USD .Đặt USD t = x + \ frac { 1 } { x } $ ( điều kiện kèm theo $ \ left | t \ right | \ ge 2 USD ) $ { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } = { t ^ 2 } – 2 USD. Lúc đó ( * ) trở thành :USD 2 \ left ( { { t ^ 2 } – 2 } \ right ) + 3 t – 5 = 0 \ Leftrightarrow t = \ frac { 3 } { 2 } $ ( loại ) $ t = – 3 $ ( thỏa mãn nhu cầu ) .Với $ t = – 3 \ Rightarrow x + \ frac { 1 } { x } = – 3 \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + 3 x + 1 = 0 \ Rightarrow x = \ frac { { – 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } $Ví dụ 8 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } + 3 { x ^ 3 } – 6 { x ^ 2 } – 3 x + 1 = 0 USD .Giải : ( Phương trình có dạng phản hồi quy )Dễ thấy USD x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho $ \ Rightarrow x \ ne 0 USD. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 $, ta được :USD { x ^ 2 } + 3 x – 6 – \ frac { 3 } { x } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } – 2 } \ right ) + 3 \ left ( { x + \ frac { 1 } { x } } \ right ) – 4 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { \ left ( { x – \ frac { 1 } { x } } \ right ) ^ 2 } + 3 \ left ( { x – \ frac { 1 } { x } } \ right ) – 4 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x – \ frac { 1 } { x } = 1 \ \ x – \ frac { 1 } { x } = – 4 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ frac { { 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ \ x = – 2 \ pm \ sqrt 5 \ end { array } \ right. $Tập nghiệm của phương trình là $ S = \ left \ { { \ frac { { 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } ; – 2 \ pm \ sqrt 5 } \ right \ } $Ví dụ 9 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } + 3 { x ^ 3 } – 6 { x ^ 2 } + 6 x + 4 = 0 USD .Giải : Thấy USD x = 0 $ không là nghiệm của phương trình $ \ Rightarrow x \ ne 0 USD. Khi đó chia hai vế cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được :USD { x ^ 2 } + 3 x – 6 + \ frac { 6 } { x } + \ frac { 6 } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { 4 } { { { x ^ 2 } } } + 4 } \ right ) + 3 \ left ( { x + \ frac { 2 } { x } } \ right ) – 10 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { \ left ( { x + \ frac { 2 } { x } } \ right ) ^ 2 } + 3 \ left ( { x + \ frac { 2 } { x } } \ right ) – 10 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x + \ frac { 2 } { x } = – 5 \ \ x + \ frac { 2 } { x } = 2 \ left ( { vo \, nghiem } \ right ) \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 5 \ pm \ sqrt { 17 } } } { 2 } $Vậy phương trình có hai nghiệm là USD x = \ frac { { – 5 \ pm \ sqrt { 17 } } } { 2 } $ .Nhận xét : Phương trình trên có dạng :USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + bkx + a { k ^ 2 } = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .Đây là dạng lan rộng ra của phương trình hồi quy. Tương tự ta cũng suy ra cách giải cho dạng lan rộng ra của phương trình phản hồi quy :USD a { x ^ 4 } + a { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } – bkx + a { k ^ 2 } = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .c. Phương trình bậc bốn khuyết $ { x ^ 3 } $ .Phương trình có dạng USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 2 } + cx + d = 0 USD .Ví dụ 10 : Giải phương trình $ { x ^ 4 } – 11 { x ^ 2 } + 12 x – 3 = 0 USD .Giải : Dựa trên sáng tạo độc đáo đưa phương trình về dạng $ { \ left ( { a { x ^ 2 } + b } \ right ) ^ 2 } = { \ left ( { cx + d } \ right ) ^ 2 } $, ta sẽ tiến hành như sau :– Bước 1 : Cô lập $ { x ^ 4 } $ về một vế :USD { x ^ 4 } = { \ rm { } } 11 { x ^ 2 } – 12 x + 3 USD .– Bước 2 : Nhóm bình phương ở vế trái bằng cách cộng thêm vào hai vế một lượng là $ \ left ( { 2 m { x ^ 2 } + { m ^ 2 } } \ right ) USD, trong đó USD m USD là hằng số ta sẽ đi tìm cho tương thích :USD \ begin { array } { l } { x ^ 4 } + 2 m { x ^ 2 } + { m ^ 2 } = \ left ( { 2 m + 11 } \ right ) { x ^ 2 } – 12 x + \ left ( { 3 + { m ^ 2 } } \ right ). \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + m } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 2 m + 11 } \ right ) { x ^ 2 } – 12 x + \ left ( { 3 + { m ^ 2 } } \ right ) \ left ( * \ right ) \ end { array } $ .– Bước 3 : Tìm hằng số USD m USD sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là biệt thức $ \ Delta $ của vế phải đúng bằng 0USD \ Leftrightarrow { 12 ^ 2 } – 4 \ left ( { 2 m + 11 } \ right ) \ left ( { 3 + { m ^ 2 } } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow m = – 1 \ vee m = \ frac { { – 9 \ pm \ sqrt { 105 } } } { 4 } $Để bài giải có tính thẩm mĩ của bài toán thì ta nên chọn USD m = – 1 USD. ( * ) trở thành : $ { \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) ^ 2 } = 9 { x ^ 2 } – 12 x + 4 \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } – 1 } \ right ) ^ 2 } = { \ left ( { 3 x – 2 } \ right ) ^ 2 } $USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } – 1 = 3 x – 2 \ \ { x ^ 2 } – 1 = 2 – 3 x \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ frac { { 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ \ x = \ frac { { – 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ end { array } \ right. $Kết luận phương trình có tập nghiệm $ S = \ left \ { { \ frac { { 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } ; \ frac { { – 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } } \ right \ } $ .Nhận xét : Như vậy việc giải phương trình dạng khuyết $ { x ^ 3 } $ được chia làm các bước quan trọng như trên. Quan trọng vẫn là bước giải phương trình tìm m, nếu phương trình bậc ba ẩn $ m USD dễ giải thi quá tuyệt vời !d. Phương trình dạng $ \ left ( { x + a } \ right ) \ left ( { x + b } \ right ) \ left ( { x + c } \ right ) \ left ( { x + d } \ right ) = m USD, trong đó USD a + b = c + d USD :Cách giải của phương trình này là xét trường hợp USD x = 0 USD, còn trường hợp USD x \ ne 0 $ thì biến hóa hai phương trình về :USD \ left [ { { x ^ 2 } + \ left ( { a + b } \ right ) x + ab } \ right ] \ left [ { { x ^ 2 } + \ left ( { c + d } \ right ) x + cd } \ right ] = m USD .Do USD a + b = c + d USD nên ta đặt USD t = { x ^ 2 } + \ left ( { a + b } \ right ) x USD thì phương trình trở thành :$ \ left ( { t + ab } \ right ) \ left ( { t + cd } \ right ) = m USD, đây là phương trình bậc hai ẩn USD t \ to USD tìm USD t \ to x USD .Tất nhiên không phải khi nào phương trình cũng cho ở dạng này, nó hoàn toàn có thể cho “ hiểm hơn ” bằng cách nhóm lại, ví dụ :Ví dụ 11 : Giải phương trình $ \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 3 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 12 x + 35 } \ right ) = 9 USD .Giải : Phương trình đã cho tương tự với 🙁 x + 1 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) ( x + 7 ) = 9 ( x + 1 ) ( x + 7 ) ( x + 3 ) ( x + 5 ) = 9( x2 + 8 x + 7 ) ( x2 + 8 x + 15 ) = 9 ( x2 + 8 x ) 2 + 22 ( x2 + 8 x ) + 96 = 0USD \ begin { array } { l } \ left ( { x + 1 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) \ left ( { x + 5 } \ right ) \ left ( { x + 7 } \ right ) = 9 \ Leftrightarrow \ left ( { x + 1 } \ right ) \ left ( { x + 7 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) \ left ( { x + 5 } \ right ) = 9 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + 8 x + 7 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 8 x + 15 } \ right ) = 9 \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + 8 x } \ right ) ^ 2 } + 22 \ left ( { { x ^ 2 } + 8 x } \ right ) + 96 = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } + 8 x = – 6 \ \ { x ^ 2 } + 8 x = – 16 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = – 4 \ pm \ sqrt { 10 } \ \ x = – 4 \ end { array } \ right. \ end { array } $ ( thỏa mãn nhu cầu )Tập nghiệm của phương trình đã cho là $ S = \ left \ { { – 4 ; – 4 \ pm \ sqrt { 10 } } \ right \ } $ .e. Phương trình dạng $ \ left ( { { x ^ 2 } + bx + d } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + cx + a } \ right ) = m { x ^ 2 } $Đầu tiên thử xem USD x = 0 $ có phải là nghiệm của phương trình hay không .Khi USD x \ ne 0 $ thì chia hai vế cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được : $ \ left ( { x + \ frac { a } { x } + b } \ right ) \ left ( { x + \ frac { a } { x } + x } \ right ) = m USD .( “ chia phân phát ” ở vế trái, mỗi dấu ngoặc ta chia cho USD x USD )Đây là phương trình bậc hai ẩn USD t = x + \ frac { a } { x } $ .Ví dụ 12 : Giải phương trình $ \ left ( { x + l } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) \ left ( { x + 6 } \ right ) = \ frac { { – 3 { x ^ 2 } } } { 4 } $Phân tích : Nhận xét rằng USD 6 \ times 1 = 2 \ times 3 $ nên ta sẽ dùng phép phân phối để đưa về dạng phương trình đã đề cập :USD \ left [ { \ left ( { x + l } \ right ) \ left ( { x + 6 } \ right ) } \ right ] \ left [ { \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) } \ right ] = \ frac { { – 3 { x ^ 2 } } } { 4 } $USD \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + 7 x + 6 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 5 x + 6 } \ right ) = \ frac { { – 3 { x ^ 2 } } } { 4 } $ ( dễ thấy USD x \ ne 0 $ )USD \ Leftrightarrow { \ left ( { x + \ frac { 6 } { x } } \ right ) ^ 2 } + 12 \ left ( { x + \ frac { 6 } { x } } \ right ) + \ frac { { 143 } } { 4 } = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x + \ frac { 6 } { x } = \ frac { { – 11 } } { 2 } \ \ x + \ frac { 6 } { x } = \ frac { { – 13 } } { 2 } \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ frac { { – 3 } } { 2 } \ \ x = – 4 \ \ x = \ frac { { – 13 \ pm \ sqrt { 73 } } } { 4 } \ end { array } \ right. $Vậy phương trình có tập nghiệm $ S = \ left \ { { – 4 ; \ frac { { – 3 } } { 2 } ; \ frac { { – 13 \ pm \ sqrt { 73 } } } { 4 } } \ right \ } $3. Cách giải phương trình bậc bốn tổng quátCách giải phương trình bậc bổn tổng quát được kiến thiết xây dựng dựa trên cách giải phương trình bậc bốn dạng khuyết $ { x ^ 3 } $ .Ví dụ 13 : Giải phương trình USD 2 { x ^ 4 } + 5 { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x – 10 = 0 USD .Định hướng 1 : Mục đích của chung ta là nghiên cứu và phân tích phương trình bậc 4 này thành phương trình tích có dạng :$ \ left ( { a { x ^ 2 } + bx + c } \ right ) \ left ( { a ' { x ^ 2 } + b’x + c ’ } \ right ) = 0 USD .Ta không dùng thông số bất định trong trường hợp này vì thu được hệ phương trình phức tạp, khó giải. Đồng thời nếu không biết dùng đúng chuẩn thì rất dễ gây ngộ nhận ( ta sẽ đề cập ở phần cuối của bài này ) .Bấm máy tính dò nghiệm thấy ra hai nghiệm lẻ $ { x_1 } \ approx – 0,7807764064 $ và $ { x_2 } \ approx 1,280776406 $ ( cách bấm máy cụ thể tìm hiểu thêm cuối giải thuật này ). Hai nghiệm này sẽ là hai nghiệm của một tam thức bậc hai trong số hai tam thức bậc hai trên mà ta định nghiên cứu và phân tích, ví dụ điển hình chúng là nghiệm của tam thức $ \ left ( { a { x ^ 2 } + bx + c } \ right ) USD ví dụ điển hình. Dùng định lí Viét hòn đảo :USD \ left \ { \ begin { array } { l } { x_1 } + { x_2 } = \ frac { { – b } } { a } = 0,5 \ \ { x_1 } { x_2 } = \ frac { c } { d } = – 1 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow c = – a = 2 b \ to USD chọn USD a = 2 \ Rightarrow b = – 1, c = – 2 $ $ \ Rightarrow $ nhân tử có dạng $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } – x – 2 } \ right ) \ Rightarrow $ dùng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Hooc-ne để tìm nhân tử còn lại ( nên sử dụng phép chia đa thức ), ta được :$ \ left ( { 2 { x ^ 4 } + 5 { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x – 10 } \ right ) USD chia $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } – x – 2 } \ right ) USD được $ \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 5 } \ right ) USD( dư 0, tức là phép chia hết ) .Vậy vế trái hoàn toàn có thể tách được dạng nhân tử : $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } – x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 5 } \ right ) USD .Trình bày giải thuật :Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { 2 { x ^ 2 } – x – { \ rm { } } 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 5 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 2 { x ^ 2 } – x – 2 = 0 \ \ { x ^ 2 } + 3 x + 5 = 0 \ end { array } \ right. $ ( vô nghiệm )Bấm máy tính ( vận dụng máy tính fx-570ES Plus ) :Định hướng 2 : Sử dụng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát .– Bước 1 : Đầu tiên nhóm bình phương số hạng chứa $ { x ^ 4 } $ và $ { x ^ 3 } $ và chuyển vế :USD \ begin { array } { l } 2 \ left ( { { x ^ 4 } + \ frac { 5 } { 2 } { x ^ 3 } } \ right ) + 5 { x ^ 2 } – 11 x – 10 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 2 \ left ( { { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 }. \ frac { { 5 x } } { 4 } + \ frac { { 25 { x ^ 2 } } } { { 16 } } } \ right ) + \ frac { { 15 { x ^ 2 } } } { 8 } – 11 x – 10 = 0 \ \ \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { – 15 { x ^ 2 } } } { 8 } + 11 x + 10 \ left ( 1 \ right ) \ end { array } $Bước 2 : Chèn tham số USD m USD vào để được USD 2 \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + m } \ right ) USD ở vế phải, tức là cần chèn thêm một lượng là USD 2 \ left [ { 2 m \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } } \ right ) + { m ^ 2 } } \ right ] $ vào hai vế của ( 1 ) :USD \ begin { array } { l } 2 \ left [ { { { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } } \ right ) } ^ 2 } + 2 m \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } } \ right ) + { m ^ 2 } } \ right ] = \ left ( { 4 m – \ frac { { 15 } } { 8 } } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { 5 m + 11 } \ right ) x + \ left ( { 10 + 2 { m ^ 2 } } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + m } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 4 x – \ frac { { 15 } } { 8 } } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { 5 m + 11 } \ right ) x + \ left ( { 10 + 2 { m ^ 2 } } \ right ) \ left ( 2 \ right ) \ end { array } $– Bước 3 : cần tìm thông số USD m USD sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là :USD { \ Delta _ { VP } } = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { 5 m + 11 } \ right ) ^ 2 } – 4 \ left ( { 4 m – \ frac { { 15 } } { 8 } } \ right ) \ left ( { 10 + 2 { m ^ 2 } } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow m = 2 USD .Thay trở lại vào phương trình ( 2 ), ta có :USD 2 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + m } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { 49 } } { 8 } { x ^ 2 } + 21 x + 18 \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + m } \ right ) ^ 2 } = 2 { \ left ( { \ frac { { 7 x } } { 4 } + 3 } \ right ) ^ 2 } $USD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + 2 = \ frac { { 7 x } } { 4 } + 3 \ Leftrightarrow x = \ frac { { 1 \ pm \ sqrt { 17 } } } { 4 } \ \ { x ^ 2 } + \ frac { { 5 x } } { 4 } + 2 = \ frac { { – 7 x } } { 4 } – 3 \ end { array } \ right. $ ( vô nghiệm )Định hướng 3 : Sử dụng giải pháp thông số bất định để tách phương trình thành dạng nhân tử : $ \ left ( { m { x ^ 2 } + ax + b } \ right ) \ left ( { nx + cx + d } \ right ) = 0 USD .Thế nhưng với 6 ẩn là USD m, a, b, n, c, d USD dự trù mà chỉ có 5 phương trình ( ứng với 5 thông số trong phương trình ) thì sẽ không giải được ra 6 ẩn. Theo dõi trên 1 số ít nguồn trên mạng thì thấy khá nhiều bạn ngộ nhận dạng của phương trình khi được nghiên cứu và phân tích là :$ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + ax + b } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + cx + d } \ right ) = 0 USD, với $ a, b, c, d USD là các số nguyên .Việc đặt điều kiện kèm theo “ nguyên ” là trọn vẹn không có địa thế căn cứ và mang đặc thù suy đoán, vậy nên khi vận dụng với các phương trình khác thì sẽ sai ngay. Điều kiện đúng của ta ở đây phải là $ a, { \ rm { } } b, c, d \ in R USD. Nhiều bạn sẽ hỏi tại sao lại cho USD m = 2 $ và USD n = 1 USD ? Đây chỉ là thông số mà tất cả chúng ta chọn để cho “ đẹp ”, thực ra tất cả chúng ta hoàn toàn có thể chọn USD m, n $ bất kể, miễn chúng thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo USD mn = 2 USD ( 2 chính là thông số trước $ { x ^ 4 } $ ). Bây giờ khai triển và giải hệ :USD \ begin { array } { l } 2 { x ^ 4 } + 5 { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x – 10 = \ left ( { 2 { x ^ 2 } + ax + b } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + cx + d } \ right ) \ \\ Leftrightarrow 2 { x ^ 4 } + 5 { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x – 10 = 2 { x ^ 4 } + \ left ( { a + 2 c } \ right ) { x ^ 3 } + \ left ( { b + ac + 2 d } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { bc + ad } \ right ) x + bd \ end { array } $ $ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } a + 2 c = 5 \ left ( 1 \ right ) \ \ b + ac + 2 d = 5 \ left ( 2 \ right ) \ \ bc + ad = – 11 \ left ( 3 \ right ) \ \ bd = – 10 \ left ( 4 \ right ) \ end { array } \ right. $Hệ phương trình này lại là một hệ phương trình không mẫu mực. Nhưng nếu nhìn nó dưới một góc nhìn khác, chỉ lấy phương trình ( 1 ) và ( 2 ) xem đó như hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $ a, c USD. Nhưng để giải được hệ này thì nhận xét rằng USD d = 0 $ hay USD d = \ frac { { – 11 } } { 5 } $ thì không thỏa mãn nhu cầu hệ 4 ẩn trên .USD \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { array } { l } a + 2 c = 5 \ \ ad + bc = – 11 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } ad + 2 cd = 5 d \ \ ad + bc = – 11 \ end { array } \ right. \ \ \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ left ( { 2 d – b } \ right ) c = 5 d + 11 \ \ a + 2 c = 5 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } c = \ frac { { 5 d + 11 } } { { 2 d – b } } \ \ a = \ frac { { 5 b + 22 } } { { b – 2 d } } \ end { array } \ right. \ end { array } $Từ ( 4 ) ta có USD d = \ frac { { – 10 } } { b } $, đồng thời thay $ a, c USD vào ( 2 ) được phương hình ẩn USD b USDUSD b + \ frac { { 5 d + 11 } } { { 2 d – b } }. \ frac { { 5 d + 22 } } { { b – 2 d } } + 2 d = 5 \ Leftrightarrow b + \ frac { { \ left ( { 5 b + 22 } \ right ) \ left ( { 5. \ frac { { – 10 } } { b } + 11 } \ right ) } } { { – { { \ left ( { b – 2. \ frac { { – 10 } } { 2 } } \ right ) } ^ 2 } } } + 2. \ frac { { – 10 } } { b } = 5 USDVới mục tiêu tìm một giá trị nào đó của USD d USD nên ta chỉ cần nhập phương trình này vào máy tính và sử dụng công dụng SOLVE, ta được :USD b = 10 \ Rightarrow d = – 1 \ Rightarrow c = \ frac { { – 1 } } { 2 } $ và USD a = 6 USD .( hoặc hoàn toàn có thể SOLVE được $ b = – 2 \ Rightarrow d = 5 { \ rm { } } \ Rightarrow a = – 1, c = 3 $ .Như vậy ta hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích được hai kiểu nhờ dùng thông số bất định ( thực ra cùng thực chất ) :$ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + 6 x { \ rm { } } + 10 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 1 } { 2 } x – 1 } \ right ) = 0 USD hoặc $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } – x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x + 5 } \ right ) = 0 USD .Nhân xét : Với bài này thì víệc dùng thông số bất định ở Định hướng 3 vẫn còn phức tạp, còn giải pháp dùng máy tính bỏ túi ở Định hướng 1 thì cho hiệu quả khá nhanh. Vì đây là bài toán với nghiệm ở dạng USD x = k + \ sqrt t USD nên hai giải pháp này còn tỏ ra hiệu suất cao. Chứ nếu nghiệm mà như các Ví dụ 1, 2, 3 thì hai khuynh hướng này trở nên “ bất lực ”. Độ phức tạp Định hướng 2 nằm trung gian giữa 3 khuynh hướng trên ( trong bài toán này ), nhưng nó có ưu điểm là vận dụng được cho tổng thể các phương trình bậc bốn hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành nhân tử : gồm có cả các dạng hồi quy, phản hồi quy, trùng phương, …USD \ Rightarrow $ Với các bài toán được gặp thì chỉ nên dùng Định hướng 1 và Định hướng 2 để xử lý, và nếu nhớ luôn Định hướng 2 như một khuôn mẫu giải phương trình bậc bốn thì ta chẳng cần lo ngại gì khi gặp phương trình bậc bốn nữa !Giải phương trình bậc bốn tổng quát : USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + dx + e = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD thường trải qua các bước :- Bước 1 : Nhóm bình phương các số hạng chứa USD x ^ 4 $ và USD x ^ 3 $, đồng thời chuyển vế các số hạng có bậc không vượt quá 2 về một vế .USD a { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { b } { { 2 a } } x } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 4 a } } – c } \ right ) { x ^ 2 } – dx – e USD– Bước 2 : Chèn tham số USD m USD vào để thu được hẳng đẳng thức :USD a { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { b } { { 2 a } } x + m } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 2 am + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 4 a } } – c } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { mb – d } \ right ) x + \ left ( { a { m ^ 2 } – e } \ right ) USD– Bước 3 : Tìm thông số USD m USD sao cho vế phải là một bình phương đúng, tức là :USD { \ Delta _ { VP } } = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { mb – d } \ right ) ^ 2 } – 4 \ left ( { 2 am + \ frac { { { b ^ 2 } } } { { 4 a } } – c } \ right ) \ left ( { a { m ^ 2 } – e } \ right ) = 0 USD .Giải phương trình bậc ba ẩn m này ta thu thông số m đẹp nhất để “ lắp ” vào giám sát. Phương trình bậc ba nên ta luôn hoàn toàn có thể giải được, và luôn có tối thiểu một nghiệm $ \ Rightarrow $ Phương trình lúc đó trở thành dạng : USD { A ^ 2 } = { B ^ 2 } \ Leftrightarrow A = \ pm B $ .Bây giờ ta đi tìm hiểu và khám phá một phương trình nữa để nghiên cứu và phân tích điểm mạnh yếu của hai khuynh hướng giải phương trình bậc bốn thông dụng là sử dụng máy tính bỏ túi và sử dụng cách giải phương trình bậc bốn tổng quát .Ví dụ 14 : Giải phương trình USD 3 { x ^ 4 } + { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + 2 = 0 USD .Định hưởng 1 : Sử dụng máy tính bỏ túi .Sử dụng máy tính bỏ túi, trọn vẹn hoàn toàn có thể SOLVE ra được cả 4 nghiệm của phương trình là $ { x_1 } \ approx 1,215250437 ; { x_2 } \ approx 0,6180339887 ; { x_3 } \ approx – 0,54858377 ; { x_4 } \ approx – 1,618033989 $ ( cách bấm máy được nêu cuối giải thuật ) .Thử tổng và tích của từng cặp nghiệm thì nhận thấy các “ số đẹp ” sau :USD { x_1 } { x_3 } = \ frac { { – 2 } } { 3 } ; { x_1 } + { x_3 } = \ frac { 2 } { 3 } ; { x_2 } { x_4 } = – 1 ; { x_2 } + { x_4 } = – 1 USD .Như vậy theo định lí Viét hòn đảo thì các cặp nghiệm $ \ left ( { { x_1 } ; { x_3 } } \ right ) USD và $ \ left ( { { x_2 } ; { x_4 } } \ right ) USD lần lượt là nghiệm của phương trình : $ { x ^ 2 } – Sx + P = 0 USD, tức là :USD { x ^ 2 } – \ left ( { { x_1 } + { x_3 } } \ right ) x + { x_1 } { x_3 } = 0 \ Leftrightarrow { x ^ 2 } – \ frac { 2 } { 3 } x + \ frac { 2 } { 3 } = 0 USDvà $ { x ^ 2 } – \ left ( { { x_2 } + { x_4 } } \ right ) x + { x_1 } { x_4 } = 0 \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + x – 1 = 0 USD .– $ \ to USD tách phương trình thành phương trình tích :USD 3 \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 2 } { 3 } x – \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x – 1 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 3 { x ^ 2 } – 2 x – 2 = 0 \ \ { x ^ 2 } + x – 1 = 0 \ end { array } \ right. $ $ \ Leftrightarrow x = \ frac { { 1 \ pm \ sqrt 7 } } { 3 } \ vee x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } $Bấm máy tính ( vận dụng máy tính fx-570ES Plus ) :Tiếp tục gán giá trị này vào biến B, rồi lại SOLVE phương trìnhUSD \ frac { { 3 { x ^ 4 } + { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + 2 } } { { \ left ( { x – A } \ right ) \ left ( { x – B } \ right ) } } $, tìm được nghiệm thì lại gán vào biến USD C USD, rồi lại SOLVE phương trình $ \ frac { { 3 { x ^ 4 } + { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + 2 } } { { \ left ( { x – A } \ right ) \ left ( { x – B } \ right ) \ left ( { x – C } \ right ) } } $ tìm được nghiệm thì gán vào biến USD D $ .Sau đó dùng máy tính thử các tổng, tích như $ AxB, AxC, AxD $ xem giá trị nào đẹp. Thử đến $ AxC $ thấy được $ AC = \ frac { { – 2 } } { 3 } USD, thử tổng $ \ left ( { A + C } \ right ) = \ frac { 2 } { 3 } \ to USD từ đó Kết luận được nhân tử chung $ \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 2 } { 3 } x – \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) USD .Lưu ý : Chỉ cần phát hiện được một nhân tử là bài toán được xử lý. Thật vậy, khi đó ta chỉ cần dùng phép chia đa thức để chia $ \ left ( { 3 { x ^ 4 } + x – 7 { x ^ 2 } + 2 } \ right ) USD cho $ \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 2 } { 3 } x – \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) USD để phát hiện nhân tử còn lại $ \ to USD tức là ta chỉ cần SOLVE 3 nghiệm $ A, B, C $ sau đó thử tùng cặp tổng, tích của $ A, B, C $ xem cái nào “ đẹp ” thi ta phát hiện ra ngay một nhân tử !4. Một số kĩ năng cần có sau khi xử lí phương trình bậc bốna. Kĩ năng nghiên cứu và phân tích đa thức bâc bốn thành nhân tử :Mấu chốt của víệc nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử đó là nhẩm được nghiệm của phương trình. Muốn làm được điều này thì ta sử dụng kĩ năng nhẩm nghiệm của bản thân, hoặc sử dụng máy tính để nhẩm nghiệm .Với đa thức bậc bốn có dạng : USD f \ left ( x \ right ) = a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + c { x ^ 2 } + dx + e \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .Ta hoàn toàn có thể phân ra hai trường hợp nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử đó là :THI : USD f \ left ( x \ right ) USD nhẩm được tối thiểu một nghiệm đẹp là $ { x_0 } $ :Lúc đó ta nghiên cứu và phân tích USD f \ left ( { { x_0 } } \ right ) = a \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } + b ' { x ^ 2 } + c’x + d ’ } \ right ) USD, liên tục xem đa thức $ { x ^ 3 } + b ' { x ^ 2 } + c’x + d ’ $ có nghiên cứu và phân tích được nhân tử nữa không thì nghiên cứu và phân tích tiếp .TH2 : USD f \ left ( x \ right ) USD không có nghiệm đẹp ( hoặc hoàn toàn có thể là vô nghiệm ) và nghiên cứu và phân tích được thành dạng :USD F \ left ( x \ right ) = a \ left ( { { x ^ 2 } + b’x + c ’ } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + b ” x + c ” x } \ right ) USD .
Muốn phân tích được như thế này thì ta dùng máy tính bỏ tủi hoặc giải phương trình $f\left( x \right) = 0$ theo cách giải phương trình bậc bổn tổng quát.
Xem thêm: Bộ Kế hoạch Đầu tư Tiếng Anh là gì?
Thông thường với các bài hay gặp, tất cả chúng ta cũng chỉ gặp dạng khó là dạng này. Vậy nên nếu dùng thành thạo được máy tính bỏ túi thì sẽ giúp ích được các bạn nghiên cứu và phân tích nhân tử khá nhanh ( thành dạng tích ) .Ví dụ 15 : Phân tích đa thức thành nhân tử USD f \ left ( x \ right ) = { x ^ 4 } + { x ^ 2 } + 1 USD .Giải : Với đa thức bậc bốn không có nghiệm thực thì điều đó không có nghĩa là đa thức đó không hề nghiên cứu và phân tích đa thức thành nhân tử. Bạn hoàn toàn có thể sử dụng cách giải phương trình bậc bốn để nhóm nhân tử : $ { x ^ 4 } + { x ^ 2 } + 1 = 0 \ Leftrightarrow { x ^ 4 } = – { x ^ 2 } – 1 \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + m } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 2 m – l } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { { m ^ 2 } – 1 } \ right ) \ left ( * \ right ) USD .Để vế trái là một bình phương đúng thì $ \ left \ { \ begin { array } { l } 2 m – 1 = 0 \ \ { m ^ 2 } – 1 > 0 \ end { array } \ right. $ ( để vế trái chỉ có thông số tự do dương ) hoặc $ \ left \ { \ begin { array } { l } 2 m – 1 > 0 \ \ { m ^ 2 } – 1 = 0 \ end { array } \ right. $ ( để vế trái chỉ có lượng dương $ { x ^ 2 } $ ) $ \ Leftrightarrow m = 1 USD .Với USD m = 1 $ thì ( * ) thành :USD { \ left ( { { x ^ 2 } + l } \ right ) ^ 2 } = { x ^ 2 } \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + l } \ right ) ^ 2 } – { x ^ 2 } = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } – x + l } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) = 0 USD .Như vậy hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích được USD f \ left ( x \ right ) = \ left ( { { x ^ 2 } – x + l } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) USD .USD \ Rightarrow $ Dạng nghiên cứu và phân tích nhân tử USD f \ left ( x \ right ) = { x ^ 4 } + a { x ^ 2 } + { b ^ 2 } $ ( điều kiện kèm theo USD 2 b \ ge a USD ) thì ta nhóm nhân tử như sau : USD f \ left ( x \ right ) = \ left ( { { x ^ 4 } + 2 b { x ^ 2 } + { b ^ 2 } } \ right ) – \ left ( { 2 b – a } \ right ) x = \ left ( { { x ^ 2 } + b } \ right ) – { \ left ( { x \ sqrt { 2 b – a } } \ right ) ^ 2 } = … $b, Kĩ thuật chứng tỏ phương trình bậc bốn vô nghiệm trên một đoan :Đứng trước bài toán chứng tỏ phương trình sau vô nghiệm trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ :USD a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + cx + dx + e = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .Ta thường đi khảo sát hàm số USD f \ left ( x \ right ) = a { x ^ 4 } + b { x ^ 3 } + cx + dx + e USD trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ để Kết luận về tập giá trị của USD f \ left ( x \ right ) USD ( gọi tập đó là D ). Nếu tập D không chứa điểm 0 thì phương trình USD f \ left ( x \ right ) = 0 $ vô nghiệm trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] USD. Sau khi khảo sát thấy min và max của USD f \ left ( x \ right ) USD trên $ \ left [ { m ; n } \ right ] $ đều là số đẹp thì nên dùng cách “ ăn gian ” rút gọn giải thuật giống như việc Chứng minh phương trình bậc ba vô nghiệm trên một đoạn .Ví dụ 16 : Chứng minh phương trình $ { x ^ 4 } – { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x + 7 = 0 $ vô nghiệm trên $ \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] $ .Giải :Đặt USD f \ left ( x \ right ) = { x ^ 4 } – { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x + 7 USD. Ta có : USD f ’ \ left ( x \ right ) = 4 { x ^ 3 } – 3 { x ^ 2 } + 10 x – { \ rm { } } 11 $ ;USD f ’ \ left ( x \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { 4 { x ^ 2 } + x + 11 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x = l USD .Ta có : USD f \ left ( 0 \ right ) = 7 ; f \ left ( 1 \ right ) = 1 ; f \ left ( 2 \ right ) = 13 \ Rightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ mathop { \ min } \ limits_ { \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] } f \ left ( x \ right ) = 1 \ \ \ mathop { { \ rm { max } } } \ limits_ { \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] } f \ left ( x \ right ) = 13 \ end { array } \ right. $ $ \ Rightarrow f \ left ( x \ right ) \ ge 1 \ forall x \ in \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] \ Rightarrow $ phương trình $ \ Rightarrow f \ left ( x \ right ) \ ge 1 \ forall x \ in \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] \ Rightarrow $ vô nghiệm trên $ \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] $ .Chú ý : Từ hiệu quả trên ta có các trình diễn khác như sau :USD \ begin { array } { l } { x ^ 4 } – { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x + 7 = \ left ( { { x ^ 4 } – { x ^ 3 } + 5 { x ^ 2 } – 11 x + 6 } \ right ) + 1 \ \ = { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } \ left ( { { x ^ 2 } + x + 6 } \ right ) + 1 \ ge 1 \ forall x \ in \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] \ end { array } $USD \ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm trên $ \ left [ { 0 ; 2 } \ right ] $ .Ở đây là trường hợp giá trị nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất ) của hàm số đạt tại điểm $ { x_0 } $ là một số nguyên ( hoặc hoàn toàn có thể là một phân số ) nên ta dùng cách này. Nếu $ { x_0 } $ có dạng chứa căn $ { x_0 } = a \ pm 4 b USD thì ta không nên dùng cách nghiên cứu và phân tích này .Ví dụ 17 : Chứng minh phương trình $ { x ^ 4 } + { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 1 = 0 $ vô nghiệm .Giải : Với bài toán này thì ta có hai hướng tiếp cận :– Hướng 1 : Nhóm bình phương :USD { x ^ 4 } + { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 1 = \ left ( { { x ^ 4 } + { x ^ 3 } + \ frac { { { x ^ 2 } } } { 4 } } \ right ) + \ frac { 3 } { 4 } \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { 4 } { 3 } x + \ frac { 4 } { 9 } } \ right ) + \ frac { 2 } { 3 } = { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 3 } { 4 } { \ left ( { x + \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 2 } { 3 } > 0 USDUSD \ Rightarrow $ phương trình vô nghiệm .– Hướng 2 : Dùng nghiên cứu và phân tích nhân tử $ \ to USD phương trình vô nghiệm nên không hề dùng máy tính SOLVE .USD { x ^ 4 } + { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 1 = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { – 3 } } { 4 } { x ^ 2 } – x – 1 USD .USD \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } + m } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 2 m – \ frac { 3 } { 4 } } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { m – 1 } \ right ) x + \ left ( { { m ^ 2 } – 1 } \ right ) \ left ( * \ right ) USDCần tìm $ { m } $ sao cho vế phải là một bình phương đúng, với thông số $ { a } $ âm hay dương đều được ( nếu thông số $ { a } $ dương thì VP thành $ a \ left ( { kx + k ’ } \ right ) \ to USD chuyển vế vận dụng được hằng đẳng thức $ { A ^ 2 } – { B ^ 2 } = \ left ( { A – B } \ right ) \ left ( { A + B } \ right ) USD để nghiên cứu và phân tích tác nhân, còn nếu thông số USD a < 0 $ thì phương trình thành $ { A ^ 2 } = – { B ^ 2 } \ Leftrightarrow A = B = 0 \ to USD dạng này dễ xử lý .USD \ Delta = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { m – 1 } \ right ) ^ 2 } – 4 \ left ( { 2 m – \ frac { 3 } { 4 } } \ right ) \ left ( { { m ^ 2 } – 1 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow m = 1 \ vee m = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 4 } $– Với USD m = 1 USD ( thì thông số USD a > 0 USD ), ( * ) thành :USD \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } + 1 } \ right ) ^ 2 } = \ frac { 5 } { 4 } { x ^ 2 } \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } + 1 = \ pm \ frac { { x \ sqrt 5 } } { 4 } $, vô nghiệm .Chinh phục phương trình, bất phương trình đại số– Với USD m = \ frac { { – 1 – \ sqrt 5 } } { 4 } $ ( thì thông số USD a < 0 USD ), ( * ) thành :USD \ begin { array } { l } \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } – \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 4 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } \ left [ { { x ^ 2 } + \ left ( { 3 – \ sqrt 5 } \ right ) x + \ frac { { 7 – 3 \ sqrt 5 } } { 2 } } \ right ] \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } – \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 4 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } { \ left ( { \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 4 } } \ right ) ^ 2 } \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + \ frac { x } { 2 } – \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 4 } = x + \ frac { { 3 – \ sqrt 5 } } { 2 } = 0 \ end { array } $, phi lí .Trường hợp USD m = \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 4 } $ tựa như trường hợp USD m = \ frac { { – 1 – \ sqrt 5 } } { 4 } $Nói chung ta nên chọn số USD m USD thế nào cho đẹp để dễ trình diễn !- Hướng 3 : Dựa vào đặc thù hằng đẳng thức :USD a – { b ^ n } = ( a – b ) ( { a ^ { n – 1 } } + { a ^ { n – 2 } }. b + … { \ rm { } } + a. { b ^ { n – 2 } } + { n ^ { n – } } ^ 1 ) USD, với USD n \ in N * $ .Thấy USD x = 1 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình. Với USD x \ ne 1 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 1 } \ right ) \ ne 0 $ thì phương trình tương tự với :USD ( x – 1 ) ( { x ^ 4 } + { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + x + 1 ) = 0 \ Leftrightarrow { x ^ 5 } – 1 = 0 \ Leftrightarrow x = 1 USD, không thỏa mãn nhu cầu .– Hướng 4 : Dùng khảo sát hàm số .Vướng mắc duy nhất của dùng khảo sát hàm số đó là tìm nghiệm của USD f ’ \ left ( x \ right ) USD, chính bới nghiệm của USD f ’ \ left ( x \ right ) USD không phải khi nào cũng “ đẹp ” ! Với bài này thì ta quá “ mất công ” đi giải phương trình USD f ’ \ left ( x \ right ) USD .Nhận xét : Hướng 3 là hướng đặc biệt quan trọng, làm nhanh gọn nhưng không phải phương trình nào cũng vận dụng được. Hướng 1 cũng khá nhanh gọn, dựa trên hai quy trình tiến độ chính là nhóm bình phương các số hạng chứa $ { x ^ 4 } $ và $ { x ^ 3 } $, sau đó còn dư bao nhiêu $ { x ^ 2 } $ thì thử nhóm bình phương các số hạng chứa $ { x ^ 2 } $ và USD x USD. Hướng này là hướng thông dụng, với mỗi bài toán thì ta nên thử hướng này trước ( không mất quá nhiều thời hạn ) tất yếu hoàn toàn có thể không thành công xuất sắc. Hướng 2 tỏ ra lại hiệu suất cao ở những bài hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích nhân tử chung. Hướng 4 thì lại không hiệu suất cao ở bài này vì mất thời hạn giải tìm nghiệm USD f ’ \ left ( x \ right ) = 0 \ to USD cần vận dụng giải pháp tương thích cho từng bài toán .II. BÀI TẬP ÁP DỤNG :1. Phần bài tập :Các bài tập ở phần này sẽ tập trung chuyên sâu vào víệc giải phương trình bậc bốn hoàn toàn có thể tách được thành dạng nhân tử với nghiệm chi chứa một lớp căn thức, đây chính là yếu tố đáng chú ý quan tâm nhất ở chương này và móc nối với các phần khác .Bài 1 : Giải các phương trình sau :a ) $ { x ^ 4 } + 13 x = { x ^ 3 } + 7 { x ^ 2 } + 6 USD .b ) $ { x ^ 2 } + 3 = \ frac { 5 } { x } + 2 \ left ( { x + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } } \ right ) USD .c ) USD 6 { \ left ( { x + l } \ right ) ^ 4 } = 17 { x ^ 3 } + 52 { x ^ 2 } + 37 x + 30 USD .d ) $ { \ left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \ right ) ^ 2 } = 3 \ left ( { { x ^ 3 } + { x ^ 2 } + 1 } \ right ) USDe ) $ \ frac { { 2 x } } { { { x ^ 2 } + x + 1 } } + \ frac { { 3 x } } { { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 USD .f ) $ { \ left ( { x + \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 4 } + { \ left ( { x – \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) ^ 4 } = 2 USDg ) $ \ left ( { { x ^ 2 } + 3 x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 5 x – 2 } \ right ) = 9 { x ^ 2 } $h ) $ \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) x = \ frac { { 12 } } { { x + 1 } } $Bài 2 : Giải các phương trình sau :a ) USD 2 { x ^ 4 } – 5 { x ^ 3 } + { x ^ 2 } – 5 x + 2 = 0 USD .b ) $ { x ^ 4 } + x + 1 = { x ^ 3 } + 7 { x ^ 2 } $c ) $ \ left ( { x + l } \ right ) { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 2 } \ left ( { x + 3 } \ right ) = 6 USD .d ) $ { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 4 } + { \ left ( { x + 3 } \ right ) ^ 4 } = { \ left ( { 2 x + 5 } \ right ) ^ 4 } $ .e ) $ { x ^ 4 } + 2 { x ^ 2 } + 10 x + 4 = 5 { x ^ 3 } $ .f ) $ \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { l – x } \ right ) \ left ( { 2 { x ^ 2 } + 2 x – 7 } \ right ) = 1 USDg ) USD 15 { x ^ 4 } + 11 { x ^ 3 } – 78 { x ^ 2 } – { \ rm { } } 71 x – 9 = 0 USD .h ) USD 4 { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } – 14 { x ^ 2 } + 8 x + 9 = 0 USD .Bài 3 : Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm :a ) $ { x ^ 4 } – 2 { x ^ 3 } + 2 { x ^ 2 } – 6 x + 10 = 0 USD .b ) $ { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } – 5 x + 3 = 0 USD .2. Lời giải và đáp sốBài 1 :a ) Biến đổi phương trình : $ { x ^ 4 } + 13 x – { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } – 6 = 0 \ to USD tổng thông số USD 1 + 13 + \ left ( { – 1 } \ right ) + \ left ( { – 7 } \ right ) + \ left ( { – 6 } \ right ) = 0 \ to USD phương trình có nghiệm USD x = 1 \ to USD dùng sơ đồ Hooc-ne ta nghiên cứu và phân tích được :USD { x ^ 4 } + 13 x – x – 7 { x ^ 2 } – 6 = \ left ( { x – 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } – 7 x + 6 } \ right ) USDUSD \ to USD liên tục USD x = 1 { x ^ 3 } – 7 x + 6 USD lại có các nghiệm là USD x = 1, x = 2, x = – 3 $ nên nghiên cứu và phân tích được :$ \ left ( { { x ^ 3 } – 7 x + 6 } \ right ) = ( x – 1 ) \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) USD .Trình bày : Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { x + 3 } \ right ) \ left ( { x – 2 } \ right ) { \ left ( { x – l } \ right ) ^ 2 } = 0 \ vee x = 1 \ vee x = 2 \ vee x = – 3 $ .Tập nghiệm của phương trình là $ S = \ left \ { { 1 ; 2 ; – 3 } \ right \ } $ .b ) Với dạng phương trình thể này thì ta cũng không hề đặt ẩn phụ dạng USD t = \ left ( { x + \ frac { a } { x } } \ right ) USD, vậy nên việc nhân chéo là việc nên làm ( trong đầu nhẩm tính muốn nhân chéo thì sẽ phải nhân hai vế $ { x ^ 2 } $ ( một lượng bậc hai ) vào hai vế, lúc đó vế trái nhiều nhất sẽ là bậc bốn, vế phải nhiều nhất sẽ là bậc ba $ \ to USD phương trình trở thành phương trình bậc 4 $ \ to USD có năng lực giải được ) .Thật vậy, nhân chéo hai vế cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được :USD { x ^ 4 } + 3 { x ^ 2 } = 5 x + 2 { x ^ 3 } + 2 \ Leftrightarrow { x ^ 4 } – 2 { x ^ 3 } + 3 { x ^ 2 } – 5 x – 2 = 0 USDUSD \ to $ SOLVE được USD x = 2 USD khi cho giá trị khởi đầu dương $ \ to USD nghiên cứu và phân tích thành : $ \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } + 3 x + 1 } \ right ) = 0 USDNghiệm của đa thức $ \ left ( { { x ^ 3 } + 3 x + 1 } \ right ) USD thì ta dùng phép đổi biến USD x = t – \ frac { 1 } { t } $ quen thuộc !Trình bày : Điều kiện : USD x \ ne 0 USD. Phương trình đã cho tương tự với :USD { x ^ 4 } + 3 { x ^ 2 } = 5 x + 2 { x ^ 3 } + 2 \ Leftrightarrow \ left ( { x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 3 } + 3 x + l } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 2 \ \ { x ^ 3 } + 3 x + l = 0 \ left ( * \ right ) \ end { array } \ right. $+ ) Giải ( * ) :Do USD f \ left ( t \ right ) = t – \ frac { 1 } { t } $ ( với USD t \ ne 0 $ ) có tập giá trị là USD R USD. nên hoàn toàn có thể đặt : USD x = t – \ frac { 1 } { t } $, lúc đó ( * ) trở thành :USD { \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) ^ 3 } + 3 \ left ( { t – \ frac { 1 } { t } } \ right ) + 1 \ Leftrightarrow { t ^ 3 } – \ frac { 1 } { { { t ^ 3 } } } + 1 = 0 \ Leftrightarrow { t ^ 6 } + { t ^ 3 } – 1 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow { t ^ 3 } = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ Leftrightarrow t = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } } } $Với hai giá trị trên của $ { t } $ thì ứng với duy nhất một giá trị của USD x USD làUSD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } $Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm USD x = 2 $ và USD x = \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { – 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } – \ sqrt [ 3 ] { { \ frac { { 1 + \ sqrt 5 } } { 2 } } } $c ) Trước tiên là bước rút gọn : USD 6 { x ^ 4 } + 7 { x ^ 3 } – 16 { x ^ 2 } – 13 x – 24 = 0 USD .Đên đây hoàn toàn có thể dùng máy tính bỏ túi dò nghiệm hoặc hoàn toàn có thể dùng cách giải phương trình bậc bốn dạng tổng quát ( do nghiệm dò được đều lẻ ) .Định hướng 1 : Dò nghiệm .Hai nghiệm dò được là $ { x_1 } \ approx 1,765564437 $ và $ { x_2 } \ approx – 2,265564437 $USD \ to { x_1 } { x_2 } = – 4 = \ frac { c } { a } $ và $ { x_1 } + { x_2 } = \ frac { { – 1 } } { 2 } = \ frac { { – b } } { a } \ to USD nhân tử là $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + x – 8 } \ right ) USD ( chọn USD a = 2 USD thì USD b = 1 $ và $ c = – 8 USD ) $ \ to USD nghiên cứu và phân tích tiếp .Định hướng 2 : Dùng cách giải phương trình tổng quát .USD \ begin { array } { l } 6 { x ^ 4 } + 7 { x ^ 3 } – 16 { x ^ 2 } – 13 x – 24 = 0 \ Leftrightarrow 6 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { 433 { x ^ 2 } } } { { 24 } } + 13 x + 24 \ \ \ Leftrightarrow 6 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } } \ right ) ^ 2 } = \ left ( { 12 m + \ frac { { 433 } } { { 24 } } } \ right ) { x ^ 2 } + \ left ( { 7 m + 13 } \ right ) x + \ left ( { 24 + 6 { m ^ 2 } } \ right ) \ left ( * \ right ) \ end { array } $Cầm tìm USD m USD sao cho : $ { \ left ( { 7 m + 13 } \ right ) ^ 2 } – 4 \ left ( { 24 + 6 { m ^ 2 } } \ right ) \ left ( { 12 m + \ frac { { 433 } } { { 24 } } } \ right ) = 0 USD, SOLVE phương trình này ta được USD m = – 1,5 = \ frac { { – 3 } } { 2 } \ to USD thay vào ( * )USD \ begin { array } { l } 6 { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } – \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { { x ^ 2 } } } { { 24 } } + \ frac { { 5 x } } { 2 } + \ frac { { 75 } } { 2 } \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } – \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = \ frac { { { x ^ 2 } } } { { 144 } } + \ frac { { 5 x } } { { 12 } } + \ frac { { 25 } } { 4 } \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } – \ frac { 3 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } = { \ left ( { \ frac { x } { { 12 } } + \ frac { 5 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + \ frac { { 7 x } } { { 12 } } – \ frac { 3 } { 2 } = \ pm \ left ( { \ frac { x } { { 12 } } + \ frac { 5 } { 2 } } \ right ) \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } + \ frac { x } { { 12 } } – 4 = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 65 } } } { 4 } \ \ { x ^ 2 } + \ frac { { 2 x } } { 3 } + 1 = 0 \ end { array } \ right. \ end { array } $ ( Vô nghiệm )Tóm lại nhờ hai hướng này ta trình diễn được bài toán một cách ngắn gọn như sau : Phương trình đã cho tương tự với :$ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + x – 8 } \ right ) \ left ( { 3 { x ^ 2 } + 2 x + 3 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } 2 { x ^ 2 } + x – 8 = 0 \ \ 3 { x ^ 2 } + 2 x + 3 = 0 \ end { array } \ right. $ ( vô nghiệm )USD \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 65 } } } { 4 } $Nhân xét : Có vẻ Định hướng 2 tỏ ra nặng thống kê giám sát hơn, Định hướng 1 thì cần kĩ năng bấm máy tính ( hoàn toàn có thể cải tổ được nhanh qua quy trình bấm máy ) và cần “ chờ máy dò ra nghiệm ” ( một lần chờ dò nghiệm trung bình khoảng chừng 30 s nếu cho giá trị khởi đầu không “ hài hòa và hợp lý ” ). Nhiều lúc víệc “ chờ máy dò nghiệm ” cũng làm ta sửng sốt, vậy nên không nên phụ thuộc vào quá vào máy tính bỏ túi .d ) Phân tích : Ta thấy vế trái và vế phải đều có bậc là 4, nên nếu rút gọn phương trình lại thì chắc hắn sẽ giải được .Thế nhưng nếu quan tâm một chút ít về việc nghiên cứu và phân tích nhân tử khi khuyết $ { x ^ 3 } $ và USD x USD :USD { x ^ 4 } + { x ^ 2 } + 1 = { \ left ( { { x ^ 2 } + 1 } \ right ) ^ 2 } – { x ^ 2 } = \ left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) USDUSD \ to USD thấy ngay nhân tử ở hai vế là $ { { x ^ 2 } – x + 1 } $ .Trình bày : Phương trình đã cho tương tự với :USD \ begin { array } { l } { ( { x ^ 2 } – x + 1 ) ^ 2 } = 3 \ left [ { { { \ left ( { { x ^ 2 } + 4 } \ right ) } ^ 2 } – { x ^ 2 } } \ right ] \ \ \ Leftrightarrow { ( { x ^ 2 } – x + 1 ) ^ 2 } = 3 \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \ right ) \ Leftrightarrow 2 \ left ( { { x ^ 2 } – x + 1 } \ right ) { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } = 0 \ \ \ Leftrightarrow x = – 1 \ end { array } $ ( do $ { x ^ 2 } – x + 1 = { \ left ( { x – \ frac { 1 } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 3 } { 4 } > 0 $ )e ) “ Nhẩm tính ” nếu muốn làm mất hết dấu phân thức thì cần nhân vào một lượng là USD 3 \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) $ $ \ Rightarrow $ lúc đó phương trình trở thành phương trình bậc 4 :USD 6 x \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) + 9 x \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) + 7 \ left ( { { x ^ 2 } + x + l } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) = 0 $ < $ \ Rightarrow $ USD 7 { x ^ 4 } + { x ^ 3 } – 16 { x ^ 2 } + x + 7 = 0 USD, đây là phương trình bậc bốn hồi quy $ \ to USD việc giải cũng khá nhanh. Ngoài ra nghiệm “ chẵn ” của bài này cũng giúp ta xử lí theo hướng đưa về phương trình tích khá thuận tiện. Với cách trên thì có lẽ rằng “ ngán ” nhất là việc quy đồng và khai triển các biểu thức ra để thu được phương trình bậc 4. Việc này thì cần phải có, kĩ năng, vậy nên các bạn đừng ngại, nếu thành thạo kĩ năng này thì sẽ xử lý được rất nhiều bài toán .Thể nhưng hãy quan tâm đến 1 số ít tín hiệu giúp ta xử lí bài toán nhanh hơn :USD \ frac { { 2 x } } { { { x ^ 2 } + x + 1 } } + \ frac { { 3 x } } { { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 USD– Có USD x USD ở trên tử số .– Ở dưới hai mẫu số thì thông số trước $ { x ^ 2 } $ bằng thông số tự do .USD \ to USD nếu chia cả tử số và mẫu số cho USD x USD thì thu được :USD \ frac { 2 } { { x + 1 + \ frac { 1 } { x } } } + \ frac { 3 } { { x – 3 + \ frac { 1 } { x } } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 \ to USD đặt USD t = x + \ frac { 1 } { x } \ to USD phương trình trở thành :USD \ frac { 2 } { { t + 1 } } + \ frac { 3 } { { t – 3 } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 USD, giải phương trình này khá đơn thuần so với việc khai triển các biểu thức ra để thu được phương trình bậc 4 .Tất nhiên vì chia cho USD x USD nên ta phải xét trường hợp USD x = 0 $ trước đã nhé !Trình bày : Điều kiện $ \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + l } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x + { \ rm { } } l } \ right ) \ ne 0 \ Rightarrow x \ ne \ frac { { 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } $Dễ thấy USD x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình $ \ Rightarrow x \ ne 0 USD .Lúc đó phương trình tương tự với : $ \ frac { 2 } { { x + 1 + \ frac { 1 } { x } } } + \ frac { 3 } { { x – 3 + \ frac { 1 } { x } } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 USDĐặt USD t = x + \ frac { 1 } { x } $ ( điều kiện kèm theo $ \ left | t \ right | \ ge 2 USD ) thì ( * ) trở thành :USD \ frac { 2 } { { t + 1 } } + \ frac { 3 } { { t – 3 } } + \ frac { 7 } { 3 } = 0 \ Leftrightarrow t = 2 \ vee t = \ frac { { – 15 } } { 7 } $ ( đều thỏa mãn nhu cầu ) .– Với USD t = 2 \ Rightarrow x + \ frac { 1 } { x } = 2 \ Leftrightarrow { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } = 0 \ Leftrightarrow x = 1 USD– Với USD t = \ frac { { – 15 } } { 7 } \ Rightarrow x + \ frac { 1 } { x } = \ frac { { – 15 } } { 7 } \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + \ frac { { 15 x } } { 7 } + 1 = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 15 \ pm \ sqrt { 29 } } } { { 14 } } $Đối chiếu điều kiện kèm theo ta có tập nghiệm là $ S = \ left \ { { 1 ; \ frac { { – 15 \ pm \ sqrt { 29 } } } { { 14 } } } \ right \ } $ ;Tổng quát :USD \ frac { { mx } } { { a { x ^ 2 } + bx + a ’ } } + \ frac { { nx } } { { ka { x ^ 2 } + cx + ka ’ } } = d USD( tỉ số $ \ frac { { He \, sotruoc { x ^ 2 } } } { { He \, so \, tu \, do } } $ ở các mẫu số bằng nhau ) .Bài tập : Giải phương trình $ \ frac { { 2 x } } { { 3 { x ^ 2 } – x – 6 } } + \ frac { x } { { 2 { x ^ 2 } – x – 4 } } = 2 USD .( Đáp số : USD x = 2 ; x = – 1 $ và USD x = \ frac { { 5 \ pm \ sqrt { 1177 } } } { { 24 } } $ ) .f ) Đặt USD x = t – \ frac { 1 } { 2 } $ thì phương trình đã cho trở thành :USD { \ left ( { t – 1 } \ right ) ^ 4 } + { \ left ( { t + 1 } \ right ) ^ 4 } = 2 \ Leftrightarrow 2 { t ^ 2 } \ left ( { { t ^ 2 } + 6 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow t = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 } } { 2 } $Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất USD x = \ frac { { – 1 } } { 2 } $g ) Nếu khai triển phương trình này thì ta nghiên cứu và phân tích được thành nhân tử :$ \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x – 2 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } – 6 x – 2 } \ right ) = 0 USD .Tất nhiên quy trình này vẫn yên cầu kĩ năng giám sát chuẩn xác .Trình bày : ( theo hướng dạng đặc biệt quan trọng ở mục 2. e )Dễ thấy USD x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình $ \ Rightarrow $ $ x \ ne 0 USD. Lúc này chia hai vế của phương trình cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 USD ta được :$ \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } + 3 } \ right ) \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } – 5 } \ right ) = 9 \ Leftrightarrow { \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } } \ right ) ^ 2 } – 2 \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } } \ right ) – 24 = 0 USDUSD \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x – \ frac { 2 } { x } = 6 \ \ x – \ frac { 2 } { x } = – 4 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } – 6 x – 2 = 0 \ \ { x ^ 2 } + 4 x – 2 = 0 \ end { array } \ right. \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 3 \ pm \ sqrt { 11 } \ \ x = – 2 \ pm \ sqrt 6 \ end { array } \ right. $ ( thỏa mãn nhu cầu )Vậy phương trình có tập nghiệm $ S = \ left \ { { 3 \ pm \ sqrt { 11 } ; – 2 \ pm \ sqrt 6 } \ right \ } $ .h ) “ Lớp vỏ ” ngụy trang cho phương trình này là dạng phân thức và dạng tích. Khi quy đồng lên ta được : $ \ left ( { { x ^ 2 } + x + l } \ right ) x \ left ( { x + 1 } \ right ) = 12 USD .Khai triển phương trình này để giải thì không khó, nhưng nếu quan tâm dạng tích khi ta phân phối vào : $ \ left ( { { x ^ 2 } + x + l } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) = 12 $, ta sẽ xử lý bài toán được một cách nhanh gọn hơn .Trình bày : Điều kiện USD x \ ne 0 USD. Phương trình đã cho tương tự với :USD \ begin { array } { l } \ left ( { { x ^ 2 } + x + 1 } \ right ) x \ left ( { x + 1 } \ right ) = 12 \ Leftrightarrow ( { x ^ 2 } + x + 1 ) \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) = 12 \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) ^ 2 } + \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) – 12 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } { x ^ 2 } + x – 3 \ \ { x ^ 2 } + x = – 4 \ left ( { vo \, nghiem } \ right ) \ end { array } \ right. \ \ \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 13 } } } { 2 } \ end { array } $Bài 2 .a ) Cách 1 : Dùng máy tính bỏ túi dò được hai nghiệm $ { x_1 } \ approx 2,618033989 $ và $ { x_2 } \ approx 0,3819660113 $USD \ left \ { \ begin { array } { l } { x_1 } + { x_2 } = 3 = \ frac { { – b } } { a } \ \ x { { \ kern 1 pt } _1 } { x_2 } = 1 = \ frac { c } { a } \ end { array } \ right. \ Rightarrow $ chọn USD a = 1 \ Rightarrow b = – 3 ; c = 1 $ $ \ Rightarrow $ nhân tử $ \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) $ $ \ Rightarrow $ nghiên cứu và phân tích được $ \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x + 1 } \ right ) \ left ( { 2 { x ^ 2 } + x + 2 } \ right ) = 0 USD .Cách 2 : Nếu dùng cách giải phương trình hồi quy :xét USD x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu $ \ Rightarrow $ $ x \ ne 0 USD. Lúc đó phương trình tương tự :USD \ begin { array } { l } 2 { x ^ 2 } – 5 x + l – \ frac { 5 } { x } + { \ rm { } } 2 = 0 \ Leftrightarrow 2 { \ left ( { x + \ frac { 1 } { x } } \ right ) ^ 2 } – 5 \ left ( { x + \ frac { 1 } { x } } \ right ) – 3 = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x + \ frac { 1 } { x } = 3 \ Leftrightarrow { x ^ 2 } – 3 x + 1 = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ \ x + \ frac { 1 } { x } = – \ frac { 1 } { 2 } \ Leftrightarrow 2 { x ^ 2 } + x + 2 = 0, vo \, nghiem \ end { array } \ right. \ end { array } $Vậy phương trình có nghiệm là USD x = \ frac { { 3 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } $ .b ) Chuyển vế được phương trình : $ { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + x + 1 = 0 \ left ( * \ right ) USD .Hướng 1 : Dùng máy tính bỏ túi dò nghiệm $ { x_1 } \ approx 3,112566159 $ ( gán vào biến $ A $ ), rồi liên tục SOLVE phương trình $ \ frac { { { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + x + 1 } } { { \ left ( { x – A } \ right ) } } = 0 $ thì được nghiệm $ { x_2 } \ approx 0,4468083242 $ ( gán vào biến USD B USD ), lại liên tục SOLVE phương trình $ \ frac { { { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + x + 1 } } { { \ left ( { x – A } \ right ) \ left ( { x – B } \ right ) } } = 0 \ to $ nghiệm $ { x_3 } \ approx – 0,3212783115 $ ( gán vào biến USD C USD ), đến đây nếu muốn hoàn toàn có thể SOLVE $ \ frac { { { x ^ 4 } – { x ^ 3 } – 7 { x ^ 2 } + x + 1 } } { { \ left ( { x – A } \ right ) \ left ( { x – B } \ right ) \ left ( { x – C } \ right ) } } = 0 USD ra nghiệm $ { x_4 } \ approx – 2,238096172 $ ( gán vào biến USD D USD ). Thử ngay được $ AC = – 1 USD, nhưng $ \ left ( { A + C } \ right ) USD thì lại lẻ, tựa như $ BD = – 1 $ nhưng $ \ left ( { B + D } \ right ) USD lại lẻ \ [ \ to USD hướng này không khả thi .Hướng 2 : Nhận thấy phương trình có dạng phản hồi quy nên ta trình diễn :– Xét $ x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình .– Với USD x \ ne 0 USD, chia hai vế của ( * ) cho $ { x ^ 2 } \ ne 0 $, ta được :USD \ begin { array } { l } { x ^ 2 } – x – 7 + \ frac { 1 } { x } + \ frac { 1 } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { x – \ frac { 1 } { x } } \ right ) ^ 2 } – \ left ( { x – \ frac { 1 } { x } } \ right ) – 5 = 0 \ Leftrightarrow x – \ frac { 1 } { x } = \ frac { { 1 \ pm \ sqrt { 21 } } } { 2 } \ \ \ Leftrightarrow x = \ frac { { 1 + \ sqrt { 21 } \ pm \ sqrt { 38 + \ sqrt { 21 } } } } { 4 } \ vee x = \ frac { { 1 – \ sqrt { 21 } \ pm \ sqrt { 38 – 2 \ sqrt { 21 } } } } { 4 } \ end { array } $Tập nghiệm $ S = \ left \ { { \ frac { { 1 + \ sqrt { 21 } \ pm \ sqrt { 38 + \ sqrt { 21 } } } } { 4 } ; \ frac { { 1 – \ sqrt { 21 } \ pm \ sqrt { 38 – 2 \ sqrt { 21 } } } } { 4 } } \ right \ } $Hướng 3 : Dùng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát ( bạn đọc tự làm ) .c ) Phương trình có dạng $ \ left ( { x + l } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { x + 3 } \ right ) = 6 $, trong đó $ \ left ( { 1 + 3 } \ right ) = \ left ( { 2 + 2 } \ right ) USD ( dạng ở mục 2. d ) nên ta trình diễn nhanh :Phương trình đã cho tương tự với :USD \ begin { array } { l } \ left ( { x + 4 x + 3 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 4 } \ right ) = 6 \ Leftrightarrow { \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x } \ right ) ^ 2 } + 7 \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x } \ right ) + 6 = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 6 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 1 } \ right ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + 4 x + 1 = 0 \ left ( { do \ left ( { { x ^ 2 } + 4 x + 6 } \ right ) = { { \ left ( { x + 2 } \ right ) } ^ 2 } + 2 > 0 } \ right ) \ Leftrightarrow x = – 2 \ pm \ sqrt 3 \ end { array } $Vậy phương trình có hai nghiệm USD = – 2 \ pm \ sqrt 3 $ .Chú ý : Ngoài ra nếu khai triển phương trình thu được phương trình bậc 4 thì trọn vẹn hoàn toàn có thể giải quyết và xử lý được theo hướng dùng máy tính bỏ túi hoặc dùng cách giải phương trình bậc 4 tổng quát .d ) Thoạt nhìn vào phương trình thì chắc là sẽ nhiều người đi theo hướng khai triển phương trình và giải nó, đây trọn vẹn là tư duy thông thường và hoàn toàn có thể xử lí được bài toán. Nhưng chú ý chút : $ \ left ( { x + 2 } \ right ) + \ left ( { x + 3 } \ right ) = \ left ( { 2 x + 5 } \ right ) USD, thì ta đã có một hướng xử lí mới cho bài toán này : Đặt USD a = \ left ( { x + 2 } \ right ) USD và USD b = \ left ( { x + 3 } \ right ) USD thì phương trình trở thành :USD \ begin { array } { l } { a ^ 4 } + { b ^ 4 } = { ( a + b ) ^ 4 } \ Leftrightarrow 4 ab + 6 { a ^ 2 } { b ^ 2 } + 4 a { b ^ 2 } = 0 \ Leftrightarrow 2 ab ( 2 a + 3 ab + 2 { b ^ 2 } ) = 0 \ \ \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } a = 0 \ Rightarrow x = – 2 \ \ b = 0 \ Rightarrow x = – 3 \ \ 2 { a ^ 2 } + 3 ab + 2 { b ^ 2 } = 0 \ Rightarrow 7 { x ^ 2 } + 35 x + 44 = 0 \ left ( { vo \, nghiem } \ right ). \ end { array } \ right. \ end { array } $Vậy phương trình có hai nghiệm $ x = – 2 $ và $ x = – 3 $ .e ) Chuyển vế ta thu được phương trình : $ { x ^ 4 } – 5 { x ^ 3 } + { \ rm { } } 2 { x ^ 2 } + 10 x + 4 = 0 USD .– Hướng 1 : Dùng máy tính dò nghiệm, ta phát hiện được hai nhân tử là $ \ left ( { { x ^ 2 } – 3 x – 2 } \ right ) USD và $ \ left ( { { x ^ 2 } – 2 x – 2 } \ right ) USD .– Hướng 2 : Kiểm tra USD a = 1, b = – 5, c = 2, d = 10, e = 4 USD thấy USD k = \ frac { { – d } } { b } = \ sqrt { \ frac { e } { a } } $ nên phương trình có dạng phản hồi quy lan rộng ra .xét USD x = 0 $ không thỏa mãn nhu cầu phương trình USD x \ ne 0 USD. Lúc đó chia hai vế của phương trình cho $ { x ^ 2 } $ ta được :USD \ begin { array } { l } { x ^ 2 } – 5 x + 2 + \ frac { { 10 } } { x } + \ frac { 4 } { { { x ^ 2 } } } = 0 \ Leftrightarrow \ left ( { { x ^ 2 } – 4 + \ frac { 4 } { { { x ^ 2 } } } } \ right ) – 5 \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } } \ right ) + 6 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } } \ right ) ^ 2 } – 5 \ left ( { x – \ frac { 2 } { x } } \ right ) + 6 = 0 \ Leftrightarrow x – \ frac { 2 } { x } = 2 \ vee x – \ frac { 2 } { x } = 3 \ \ \ Leftrightarrow x = 1 \ pm \ sqrt 3 \ vee x = \ frac { { 3 \ pm \ sqrt { 17 } } } { 2 } \ end { array } $Tập nghiệm của phương trình $ S = \ left \ { { 1 \ pm \ sqrt 3 ; \ frac { { 3 \ pm \ sqrt { 17 } } } { 2 } } \ right \ } $f ) Hướng 1 : Biến đổi phương trình được USD 2 { x ^ 4 } + 4 { x ^ 3 } – 9 { x ^ 2 } – 11 x + 15 = 0 USD. Đến đây sử dụng máy tính bỏ túi hoặc sử dụng cách giải phương trình bậc bốn tổng quát ta đưa về phương trình tích :$ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + 2 x – 5 } \ right ) \ left ( { { x ^ 2 } + x – 3 } \ right ) = 0 USD .Hưởng 2 : Dạng tích của phương trình bậc 4 “ luôn đáng được hoài nghi ”. Thật vậy cái vỏ “ tích của hai biểu thức bậc nhất ” thường là cái vỏ ngụy trang cái chất bên trong của nó, thử nghiên cứu và phân tích :$ \ left ( { x + 2 } \ right ) \ left ( { 1 – x } \ right ) = – { x ^ 2 } – x + 2 USD, đến đây thì tỉ lệ thông số trước $ { x ^ 2 } $ và x là USD 1 : 1 USD, đúng bằng tỉ lệ thông số trước $ { x ^ 2 } $ và x ở $ \ left ( { 2 { x ^ 2 } + 2 x – 7 } \ right ) USD, vậy nên thực chất của phương trình đã cho là phương trình bậc hai với ẩn USD t = { x ^ 2 } + x USD .Trình bày : Phương trình đã cho tương tự với :USD \ begin { array } { l } \ left ( { – { x ^ 2 } – x + 2 } \ right ) \ left ( { 2 { x ^ 2 } + 2 x – 7 } \ right ) = 1 \ Leftrightarrow – 2 { \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) ^ 2 } + 11 \ left ( { { x ^ 2 } + x } \ right ) – 15 = 0 \ \ \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + x = 3 \ vee { x ^ 2 } + x = \ frac { 5 } { 2 } \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 13 } } } { 2 } \ vee x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 11 } } } { 2 } \ end { array } $Tập nghiệm của phương trình là $ S = \ left \ { { \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 13 } } } { 2 } ; \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 11 } } } { 2 } } \ right \ } $g ) Gợi ý : Phân tích nhân tử :USD ( 3 { x ^ 2 } + 7 x + l ) ( 5 { x ^ 2 } – 8 x – 9 ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { – 7 \ pm \ sqrt { 37 } } } { 6 } \ vee x = \ frac { { 4 \ pm \ sqrt { 61 } } } { 5 } $h ) Phương trình đã cho tương tự :USD ( { x ^ 2 } – x – 1 ) ( 4 { x ^ 2 } + x – 9 ) = 0 \ Leftrightarrow x = \ frac { { 1 \ pm \ sqrt 5 } } { 2 } \ vee x = \ frac { { – 1 \ pm \ sqrt { 145 } } } { 8 } $Bài 3 : Với nhu yếu chứng tỏ phương trình vô nghiệm trên $ R $ thì giải pháp nhóm bình phương luôn tỏ ra hiệu suất cao “ trông thấy ” .a ) $ { x ^ 4 } – 2 { x ^ 3 } + 2 { x ^ 2 } – 6 x + { \ rm { } } 10 = { \ left ( { { x ^ 2 } – x } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 2 } + 1 > 0 \ forall x \ in R $ .USD \ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm ( đpcm ) .b ) $ { x ^ 4 } – 3 { x ^ 3 } + 6 { x ^ 2 } – 5 x + 3 = { \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { { 3 x } } { 2 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { { 15 } } { 4 } { \ left ( { { x ^ 2 } – \ frac { 2 } { 3 } } \ right ) ^ 2 } + \ frac { 4 } { 3 } > 0 USDUSD \ Rightarrow $ phương trình đã cho vô nghiệm ( đpcm ) .Ngoài ra hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích vế trái thành nhân tử :
$\left( {{x^2} – x + 1} \right)\left( {{x^2} – 2x + 3} \right) = \left[ {{{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2} + \frac{3}{4}} \right]\left[ {{{\left( {x – 1} \right)}^2} + 2} \right] > 0$
Tốt nghiệp cử nhân ngôn từ Anh năm 2010, với hơn 10 năm kinh nghiệm tay nghề trong việc giảng dạy về Tiếng Anh. Nguyễn Võ Mạnh Khôi là một trong những biên tập viên về mảng ngoại ngữ tốt nhất tại VerbaLearn. Mong rằng những chia sẽ về kinh nghiệm tay nghề học tập cũng như kiến thức và kỹ năng trong từng bài giảng sẽ giúp fan hâm mộ giải đáp được nhiều vướng mắc .
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận