Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và cắt hai đường thẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

Cách 1:

Bước 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1
Bước 2 : Tìm giao điểm A = ( α ) ∩ d2
Bước 3 : Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, A

Cách 2:

Bước 1 : Viết phương trình mặt phẳng ( α ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1
Bước 2 : Viết phương trình mặt phẳng ( β ) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2
Bước 3 : Đường thẳng cần tìm d = ( α ) ∩ ( β )

Cách 3:

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d và d1, d và d2
Đường thẳng d đi qua M nên A, B, M thẳng hàng

=>
cùng phương =>

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng Δ đi

qua điểm A(0; 2; -4) và cắt hai đường thẳng d1 và d2

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d1

Đường thẳng d1 qua B( 2 ; 1 ; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d2

Đường thẳng d2 qua C( -1; 3; -2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. )

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2 : Phương trình đường thẳng Δ đi qua và cắt cả hai đường thẳng
là :

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A .

Đường thẳng d đi qua điểm B( 1;0 ;3) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d ’

Đường thẳng d’ qua C( 0; -1; 2) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có

vectơ chỉ phương là
và đi qua A nên có

phương trình tham số là:

Chọn D.

Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M (1; 1; 0) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Quảng cáo

Hướng dẫn giải

Cách 1:

– Một điểm thuộc d1 là : A ( 1 ; 0 ; 0 )

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng ( α ) là : 0. ( x – 1 ) + 0. ( y – 1 ) + 1. ( z – 0 ) = 0 hay z = 0
– Giao điểm B = ( α ) ∩ d2 là ( 0 ; 0 ; 0 )
– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 2:

– Tương tự cách 1 : Phương trình mặt phẳng ( α ) là : z = 0
– Một điểm thuộc d2 là : A ( 0 ; 0 ; 0 )

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng ( β ) là : ( – 1 ). ( x – 1 ) + 1. ( y – 1 ) + 0. ( z – 0 ) = 0 hay – x + y = 0
– Đường thẳng cần tìm d = ( α ) ∩ ( β )

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Cách 3:

Gọi A là giao điểm của d và d1 => A ( 1 + t_1 ; – t_1 ; 0 )
Gọi B là giao điểm của d và d2 => B ( 0 ; 0 ; 2 + t_2 )

=>

theo đề bài =>
cùng phương

=>

=>

=>
là 1 vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Ví dụ 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (1; 2; 3) và cắt hai đường

thẳng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

– đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
. Một điểm M thuộc d1 là M (0; -1; 2)

=>

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

– Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
. Một điểm thuộc d2 là N (0; -2; 0)

=>

Mặt phẳng ( β ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là

=>

– Đường thẳng cần tìm d = ( α ) ∩ ( β )

Vectơ chỉ phương của d là

=>

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (3; 3; -2) và cắt hai

đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác

Hướng dẫn giải

-Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
. Một điểm thuộc d1 là : A (1; 2; 0)

=>

Mặt phẳng ( α ) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng ( α ) là : 7. ( x – 1 ) – 4. ( y – 2 ) + 5. ( z – 0 ) = 0 hay 7 x – 4 y + 5 z + 1 = 0
– Giao điểm B = ( α ) ∩ d2 là ( – 1 ; 1 ; 2 )
– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B
Vectơ chỉ phương của d là : ( BM ) ⃗ = ( 4 ; 2 ; – 4 ) hay chọn vectơ chỉ phương của d là :

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ 6 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm I(1 ;1 ;2) hai đường thẳng

. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và

cắt hai đường thẳng d1 ; d2 là.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Gọi ( P ) là mặt phẳng qua I và chứa d1
Đường thẳng d1 đi qua M1 ( 3 ; – 1 ; 4 ) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi ( Q. ) là mặt phẳng qua I và chứa d2
Đường thẳng d2 đi qua M2 ( – 2 ; 0 ; 2 ) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm I ( 1 ; 1 ; 2 ) và có vectơ chỉ phương :

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D .

Ví dụ 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; -2), đường thẳng
và mặt phẳng
. Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có
.

Do A ( 1 ; 1 ; – 2 ) là trung điểm của MN nên tọa độ N ( 1 – 2 t ; t + 3 ; – 4 – 3 t ) .

Mặt khác

Khi đó Δ đi qua A(1; 1; -2) và

Chọn D.

Ví du 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; 3; 2); B ( 3; 3; 0) và đường thẳng
. Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (1;1;1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Tọa độ trung điểm của AB là : M ( 2 ; 3 ; 1 )
Gọi ( P ) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M1 (0 ; -2 ;1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi ( Q. ) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H ( 1 ; 1 ; 1 ) và có vectơ chỉ phương :

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz. Cho đường thẳng

. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua

điểm A( 1; 2;0) và cắt hai đường thẳng d1 và d2

A.

B.

C.

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
+ Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d1

Đường thẳng d1 qua B(0 ; -1 ;1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto phap tuyến là :

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d2

Đường thẳng d2 qua C( 1; -2; 0) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Khi đó đường thẳng Δ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P ) và ( Q. ) .

=> Một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Do vậy phương trình Δ là:

Chọn A.

Câu 2:

Phương trình đường thẳng Δ đi qua A( -1 ; 0 ; 0) và cắt cả hai đường thẳng
là :

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa đường thẳng d và đi qua điểm A .

Đường thẳng d đi qua điểm B(0 ; 2 ; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có :

Mặt phẳng (P) có một vecto pháp tuyến là :

+ Gọi ( Q. ) là mặt phẳng đi qua A và chứa d ’

Đường thẳng d’ qua C( 1;1; -1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Mặt phẳng (Q) có một vecto phap tuyến là :

+ Đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) nên đường thẳng Δ có

vectơ chỉ phương là
và đi qua A nên có phương trình tham số là:

Chọn D.

Câu 3:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua M ( 3; 3; 3) và cắt hai đường thẳng:

A.

B.

C.

D. Tất cả sai
Hiển thị lời giải
– Một điểm thuộc d1 là : A ( 0 ; – 2 ; 2 )

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

Phương trình mặt phẳng ( α ) là : – 3. ( x – 3 ) + 1. ( y – 3 ) + 4. ( z – 3 ) = 0 hay – 3 x + y + 4 z – 6 = 0
– Giao điểm B = ( α ) ∩ d2 là ( t ; t ; 2 ) thay vào phương trình ( α ) ta được : – 3 t + t + 4.2 – 6 = 0 ⇔ – 2 t + 2 = 0 ⇔ t = 1 => B ( 1 ; 1 ; 2 )
– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là :

Chọn A

Câu 4:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm A (2; 1; 0) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

– đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
. Một điểm M thuộc d1 là M ( 1; -1; 2)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

=>

– Đường thẳng d2 có vecto chỉ phương
. Một điểm thuộc d2 là N ( 4; -2; 3)

=>

Mặt phẳng (β) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d2 có vectơ pháp tuyến là

=>

– Đường thẳng cần tìm d = ( α ) ∩ ( β )

Vectơ chỉ phương của d là
chọn ( 3; -6; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn B.

Câu 5:

Viết phương trình đường thẳng d biết d đi qua điểm M (2;1;1) và cắt hai đường thẳng

A.

B.

C:

D.Đáp án khác
Hiển thị lời giải

-Đường thẳng d1 có vecto chỉ phương
. Một điểm thuộc d1 là : A (1; 0; 1)

=>

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1 có vectơ pháp tuyến là

Phương trình mặt phẳng ( α ) là : 1. ( x – 2 ) – 1. ( y – 1 ) + 0. ( z – 1 ) = 0 hay x – y – 1 = 0

– Giao điểm B = (α)∩d2 là ( – t; 1+ 2t; 2+ t) thay tọa độ B vào phương trình (α) ta được

– t- 1- 2t- 1= 0 ⇔ – 3t – 2= 0 nên

– Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua 2 điểm M, B

Vectơ chỉ phương của d là:
hay chọn vectơ chỉ phương của d là:

Vậy phương trình đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; cho điểm O(0; 0; 0) hai đường thẳng
. Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1 ; d2 là.

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Gọi ( P ) là mặt phẳng qua O và chứa d1

Đường thẳng d1 đi qua M1(1 ; -2 ; 3) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi ( Q. ) là mặt phẳng qua O và chứa d2

Đường thẳng d2 đi qua M2(1 ; -1 ; 2) và có vectơ chỉ phương

.

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng d đi qua điểm O ( 0 ; 0 ; 0 ) và có vectơ chỉ phương :

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn B .

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 2; 1; 3), đường thẳng

và mặt phẳng (α): 2x+ 3y- z+ 1= 0. Đường thẳng Δ cắt d và (α) lần lượt tại M; N sao cho A là trung điểm của MN có phương trình là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Ta có
.

Do A ( 2 ; 1 ; 3 ) là trung điểm của MN nên tọa độ N ( 2 – t ; 2 – t ; 5 – 2 t )

Mặt khác

⇔ 4-2t+ 6 – 3t- 5 + 2t + 1= 0 ⇔ – 3t + 6= 0

⇔ t=2⇒M( 4;2;5)

Khi đó Δ đi qua A(2; 1; 3) và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ:

Chọn A.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(0; 1; 0); B ( 2; 1; 4) và đường thẳng
.Gọi M là trung điểm của AB. Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua H (2; 1; – 1) và cắt hai đường thẳng d và OM?

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Tọa độ trung điểm của AB là : M ( 1 ; 1 ; 2 )
Gọi ( P ) là mặt phẳng qua H và chứa d

Đường thẳng d đi qua M1 (0 ; 3 ; 1) có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến:

Gọi ( Q. ) là mặt phẳng qua H và chứa OM

Đường thẳng OM đi qua O (0; 0 ; 0) và có vectơ chỉ phương

Mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến

Đường thẳng Δ đi qua điểm H(2; 1; -1) và có vectơ chỉ phương:

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn D .

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp