Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất cực hay

Lý thuyết & Phương pháp giải

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là

ax + by = c   (1)

trong đó a, b, c là các thông số, với điều kiện kèm theo a và b không đồng thời bằng 0 .
CHÚ Ý
a. Khi a = b = 0 ta có phương trình 0 x + 0 y = c. Nếu c ≠ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số ( x0 ; y0 ) đều là nghiệm .
b. Khi b ≠ 0, phương trình ax + by = c trở thành
y = ( – a / b ) x + c / b ( 2 )
Cặp số ( x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình ( 1 ) khi và chỉ khi điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng ( 2 ) .
Tổng quát, người ta chứng tỏ được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình ( 1 ) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy .

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y là hai ẩn ; các chữ số còn lại là thông số .
Nếu cặp số ( x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì ( x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình ( 1 ) .
Giải hệ phương trình ( 1 ) là tìm tập nghiệm của nó
Công thức nghiệm : Quy tắc Crame .

Xét D		Kết quả
D ≠ 0		Hệ có nghiệm duy nhất x = Dx/D, y = Dy/D
D = 0	Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0	Hệ vô nghiệm.
	Dx = Dy = 0	Hệ có vô số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ta hoàn toàn có thể dùng các cách giải đã biết như : chiêu thức thế, giải pháp cộng đại số .
Biểu diễn hình học của tập nghiệm :
Nghiệm ( x ; y ) của hệ ( I ) là tọa độ điểm M ( x ; y ) thuộc cả 2 đường thẳng :
( d1 ) : a1x + b11y = c1 và ( d2 ) : a2x + b2y = c2
+ Hệ ( I ) có nghiệm duy nhất ⇔ ( d1 ) và ( d2 ) cắt nhau .
+ Hệ ( I ) vô nghiệm ⇔ ( d1 ) và ( d2 ) song song với nhau .
+ Hệ ( I ) có vô số nghiệm ⇔ ( d1 ) và ( d2 ) trùng nhau .

3. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là
ax + by + cz = d
trong đó x, y, z là ba ẩn ; a, b, c, d là các thông số và a, b, c không đồng thời bằng 0
Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là

Trong đó x, y, z là ba ẩn ; các chữ còn lại là các thông số .
Mỗi bộ ba số ( x0, y0, z0 ) nghiệm đúng của ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình ( 2 ) .
Phương pháp giải
Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng hoàn toàn có thể dùng các giải pháp cộng đại số, giải pháp thế như so với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn .

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn:

Ta có :

Đẳng thức xảy ra khi a = 1/2

Bài 2: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

ĐK : xy ≠ 0. Khi đó

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình

 vô nghiệm

Hướng dẫn:

Ta có ax + y = 2 ⇒ y = 2 – ax
Thay vào phương trình 6 x + by = 6 có
6 x + b ( 2 – ax ) = 6 ⇔ x ( 6 – ab ) + 2 b – 6 = 0
Hệ vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình x ( 6 – ab ) + 2 b – 6 = 0 vô nghiệm

Do ( a ; b ) nguyên nên ( a ; b ) = { ( 6 ; 1 ) ; ( 1 ; 6 ) ; ( – 6 ; – 1 ) ; ( – 1 ; – 6 ) ; ( – 2 ; – 3 ) ; ( – 3 ; – 2 ) ; ( 3 ; 2 ) }

Bài 4: Gọi (x0; y0; z0) là nghiệm của hệ phương trình 

Tính giá trị của biểu thức P = x0y0z0

Hướng dẫn:

Ta có 

Phương trình ( 3 ) ⇔ z = 24 – 3 x – 2 y. Thay vào ( 1 ) và ( 2 ) ta được hệ phương trình

Suy ra z = 24 – 3.4 – 2.5 = 2
Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x ; y ; z ) = ( 4 ; 5 ; 2 ) → P = 4.5.2 = 40

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

có duy nhất một nghiệm.

Hướng dẫn:

Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra

Hệ phương trình

Có nghiệm duy nhất khi ( 1 ; – 2 ) là nghiệm của phương trình 2 mx + 5 y – m = 0 tức là 2 m. 1 + 5. ( – 2 ) – m = 0 ⇔ m = 10

Bài 6: Giải hệ phương trình

Hướng dẫn:

a. Ta có : y = 1 – √ 2 x ⇒ 3 x + √ 2 ( 1 – √ 2. x ) = 2 ⇒ x = 2 – √ 2 ⇒ y = 3 – 2 √ 2
b. Ta có : Thế y = 4 – 2 x vào phương trình y + z = 2 + √ 2 ta được – 2 x + z = – 2 + √ 2

Giải hệ  ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp