chuyên đề phương trình và bất phương trình lớp 8

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (770.65 KB, 16 trang )

MỤC LỤC
PHẦN I: MỞ ĐẦU Trang 2
1/ Lí do chọn đề tài Trang 2
2/ Mục đích nghiên cứu Trang 2
3/ Nhiệm vụ nghiên cứu Trang 3
4/ Pham vi và đối tượng nghiên cứu Trang 3
5/ Phương pháp nghiên cứu
Trang 3
PHẦN II: NỘI DUNG Trang 3
CHƯƠNG I: Cơ sở lý luận và thực tiễn Trang 3
1/ Cơ sở lý luận Trang 3
2/ Cơ sở thực tiễn Trang 4
CHƯƠNG II: Các biện pháp Trang 5
1/ Những giải pháp mới của đề tài. Trang 5
2/ Các phương trình thường gặp Trang 5
3/ Các dạng bất phương trình thường gặp Trang 15
CHƯƠNG III: Thực nghiệm sư phạm Trang 22
1/ Mục đích thực nghiệm Trang 22
2/ Nội dung thực nghiệm Trang 22
3/ Kết quả thực nghiệm và một số chú ý Trang 31
PHẦN III: KẾT LUẬN Trang 33
Tài lệu tham khảo Trang 35
Trang 1
Chương II. Các biện pháp
1. Những giải pháp mới của đề tài

Đề tài đưa ra các giải pháp như sau:
– Sắp xếp các dạng phương trình bất phương trình theo các mức độ.
– Xây dựng các phương pháp giải cơ bản theo từng dạng phương trình và bất phương
trình.
– Sửa chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán.

– Củng cố các phép biến đổi và hoàn thiện các kỹ năng giải phương trình và bất
phương trình.
– Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán.
a) Đối với học sinh yếu, kém: Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0.
+ Phương pháp giải phương trình tích.
+ Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.
+Bất phương trình dạng: (hoặc, ,
)
b) Đối với học sinh đại trà: Phát triển tư duy, kỹ năng giải phương trình và
phương trình
+ Phát triển kỹ năng giải các dạng phương, khai thác bài toán.(nâng cao)
+ Đưa ra cách giải hay, sáng tạo, cho các dạng phương trình và bất phương trình
thường gặp
2. Các phương trình thường gặp
a. Củng cố kiến thức cơ bản về phương trình
 Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 (hoặc ax = c).

Dạng1: Phương trình chứa dấu ngoặc:
Phương pháp chung:
– Thực hiện bỏ dấu ngoặc.
– Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.
 Chú ý: Nếu a
≠
0, phương trình có nghiệm x =
c
a
Nếu a = 0, c
≠
0, phương trình vô nghiệm

Nếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệm
Ví dụ 1: Giải phương trình: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x) (BT-11c)-SGK-tr13)
Trang 2
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Giải: 5 – (x – 6) = 4(3 – 2x)
⇔
5 – x + 6 = 12 – 8x
⇔
– x + 8x = 12 – 11
⇔
7x = 1
⇔
x =
1
7
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x =
1
7
Ví dụ 2: Giải phương trình: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x (2) (BT-17f)-SGK-tr14)
Gợi ý: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Lời giải sai: (x – 1) – (2x – 1) = 9 – x
⇔
x – 1 – 2x – 1 = 9 – x (bỏ dấu ngoặc sai)
⇔
x – 2x – x = 9 – 2 (chuyển vế không đổi dấu)
⇔
–2x = 7 (sai từ trên)
⇔
x = 7 – 2 = 5 (tìm nghiệm sai)
Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là:

Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai: không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặc
Thực hiện chuyển vế sai: không đổi dấu hạng tử đã chuyển vế
Tìm nghiệm sai: số ở vế phải trừ số ở vế trái
Lời giải đúng: (2)
⇔
x – 1 – 2x + 1 = 9 – x

⇔
x – 2x + x = 9

⇔
0x = 7
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Qua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học sinh:
Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, phương pháp thu gọn và
chú ý về cách tìm nghiệm của phương trình.

Dạng 2: Phương trình chứa mẫu là các hằng số:
Phương pháp chung:
– Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1.
– Thực hiện cách giải như dạng 1.
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =
(3) (ví dụ 4 Sgk-tr12)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.

Lời giải sai:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =

Trang 3
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12
6 6
x x x
− + − − −
=
(sai ở hạng tử thứ ba)
⇔

3( 1) 2( 1) 1 12x x x
− + − − − =
(sai từ trên)
⇔

4 18x
=
(sai từ trên)
⇔

4,5x

=
(sai từ trên)
Sai lầm của học ở đây là:
Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng.
Lời giải đúng:
1 1 1
2
2 3 6
x x x
− − −
+ − =

⇔

3( 1) 2( 1) ( 1) 12
6 6
x x x
− + − − −
=

⇔

3 3 2 2 1 12x x x
− + − − + =

⇔

4 16x
=

⇔

4x
=
Vậy: S =
{ }
4
Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh:
Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khi
tử và mẫu của phân thức là những đa thức.
 Chú ý: Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 1: (3)
⇔

1 1 1
( 1) 2
2 3 6
x
 
− + − =
 ÷
 

⇔

4
( 1) 2
6
x
− =

⇔

1 3x
− =

⇔
x = 4
Vậy: S =
{ }
4
Cách 2: Đặt t = x -1
(3)
⇔

2
2 3 6
t t t
+ − =
⇔

3 2 2.6t t t
+ − =
⇔

3t
=
⇒

1 3x

− =

⇔
x = 4 Vậy: S =
{ }
4
Ví dụ 4: Giải phương trình:
2 1 2
0,5 0,25
5 4
x x
x
+ −
− = +
(4) (BT-18b)-SGK-tr14)
Gợi ý: Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm.
Cách giải 1: (4)
⇔

4(2 ) 20 0,5 5(1 2 ) 20 0,25x x x
+ − × = − + ×

⇔

8 4 10 5 10 5x x x
+ − = − +

⇔
4x = 2

⇔
x = 0,5
Vậy: S =
{ }
0,5

Ở ví dụ trên học sinh có thể giải theo cách khác như sau:
Cách 2: Chuyển phương trình về phân số
Trang 4
(4)
⇔

2 1 2 1
5 2 4 4
x x x
+ −
− = +
⇔

2 1
5 2 2
x x x
+ −
− =

⇔

2 1
5 2
x+

=

Cách 3: Chuyển phương trình về số thập phân
(4)
⇔

0,2 (2 ) 0,5 0,25 (1 2 ) 0,25x x x
× + − = × − +
⇔
0,4 0,2 0,5 0,5 0,5x x x
+ − = −
⇔
0,2 0,1x
=
 Phương trình tích
Phương pháp chung:
Dạng tổng quát A(x).B(x).C(x) … = 0, với A(x), B(x), C(x) là các biểu thức.
Cách giải: A(x).B(x).C(x) … = 0
⇔
A(x) = 0 hoặc B(x) = 0 hoặc C(x) = 0
 Chú ý: Để có dạng A(x).B(x).C(x) … = 0. Ta thường biến đổi như sau:
Bước 1: Đưa phương trình về dạng tích.
– Chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0.
– Thu gọn, tìm cách phân tích vế trái thành nhân tử.
Bước 2: Giải phương trình tích nhận được và kết luận.
Ví dụ 5: Giải phương trình (3x – 2)(4x + 5)

= 0 (BT- 21a)-Sgk-tr17)
Lời giải: (3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3x – 2 = 0 hoặc 4x + 5

= 0
⇔
3x = 2 hoặc 4x

= – 5
⇔
x =
2
3
hoặc x

=
5
4
−

Vậy S =
2 5
;
3 4
 
−
 
 
 Chú ý: Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học sinh làm quen với kí hiệu sau:
(3x – 2)(4x + 5)

= 0
⇔
3 2 0
4 5 0
x
x
− =


+ =


2
3
5
4
x
x

=



= −


* Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biến
đổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích.
Ví dụ 6: Giải phương trình x

2
– x = –2x + 2 (6) (BT-23b)-Sgk-tr17)
– Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau:
(6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0
⇔
x
2
+ x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về
phương trình tích đối với học sinh trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần định
hướng cho học sinh cách giải hợp lý.
Trang 5
Chuyển vế các hạng tử rồi nhóm
Cách 1: (6)
⇔
x
2
– x + 2x – 2 = 0

⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0

⇔
(x – 1)(x + 2) = 0

⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =
 
⇔
 
+ = = −
 

Vậy S =
{ }
1 ; 2
−
Nhóm các hạng tử rồi chuyển vế
Cách 2: (6)
⇔
x(x – 1) = – 2(x – 1)
⇔
x(x – 1) + 2(x – 1) = 0
⇔
(x – 1)(x + 2) = 0
⇔

1 0 1
2 0 2
x x
x x
− = =

 
⇔
 
+ = = −
 

Vậy S =
{ }
1 ; 2
−
Ví dụ 7: Giải phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x
2
+ 4x + 4 (7) (BT-28f)-Sgk-tr7)
– Trong ví dụ trên học sinh thông thường biến đổi như sau: Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế các
hạng tử, thu gọn hai vế phương trình.
(7)
⇔
–4x
2
– 5x + 6 – x
2
– 4x – 4 = 0
⇔
–5x
2
– 9x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trình
tích. Giáo viên định hướng gợi ý cách phân tích hợp lý.
Giải: (7)
⇔
(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)

2

⇔
(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)
2
= 0

⇔
(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0

⇔

2
2 0
1
5 1 0
5
x
x
x
x
= −

+ =


⇔



− + =
=



Vậy S =
1
2 ;
5
 
−
 
 
Giáo viên củng cố cho học sinh kinh nghiệm khi đưa phương trình về dạng tích:
Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến đổi phương trình
và đặt ngay nhân tử chung ấy.
Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sử
dụng ngay phương pháp hằng đẳng thức để phân tích thành nhân tử.
Khi đã chuyển vế mà ta thấy không thể phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rút
gọn rồi tìm cách phân tích thành nhân tử.
 Phương trình chứa ẩn ở mẫu
Phương pháp chung
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều
kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 8: Giải phương trình
2 1 2
2 ( 2)

x
x x x x
+
− =
− −
(8) (BT 52b)-Sgk-tr33)
Trang 6
Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học sinh thường mắc các sai lầm sau:
Lời giải sai: ĐKXĐ: x
≠
2 ; x
≠
0
(8)
⇔

( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+ − −
=
− −
⇔
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (dùng ký hiệu
⇔
là không chính xác)
⇔
x
2

+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0 0
1 0 1
x x
x x
= =
 
⇔
 
+ = = −
 
Vậy S =
{ }
0 ; 1
−
(kết luận dư nghiệm)
Sai lầm của học sinh là: Dùng ký hiệu “
⇔
”không chính xác
Không kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện
Lời giải đúng: ĐKXĐ: x
≠

2 ; x
≠
0
(8)
⇔

( 2) 1( 2) 2
( 2) ( 2)
x x x
x x x x
+ − −
=
− −
⇒
x(x + 2) – 1(x – 2) = 2 (8’)
⇔
x
2
+ 2x – x + 2 = 2
⇔
x
2
+ x = 0
⇔
x(x + 1) = 0
⇔

0 0
1 0 1
x x

x x
= =
 
⇔
 
+ = = −
 
Vậy S =
{ }
1
−

Giáo viên cần củng cố cho học sinh:
Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên ta
dùng ký hiệu “
⇒
” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình (8’) chưa chắc là tập
nghiệm của phương trình (8).
Kiểm tra các nghiệm tìm được với điều kiện rồi mới kết luận.
Ví dụ 9: Giải phương trình
1 3
3
2 2
x
x x
−
+ =
− −
(9) (BT 30a)-Sgk-tr23)
– Trước hết cho học sinh nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chung

của phương trình, rồi tìm ĐKXĐ.
– Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm.
Giải: ĐKXĐ: x
≠
2
(9)
⇔

1 3( 2) 3
2 2
x x
x x
+ − −
=
− −

Trang 7

⇒
1 + 3(x – 2) = 3 – x

⇔
1 + 3x – 6 = 3 – x

⇔
4x = 8

⇔
x = 2 (không thỏa mãn điều kiện)
Vậy phương trình vô nghiệm

Qua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học sinh và rèn các kỹ năng sau:
– Tìm ĐKXĐ của phương trình:
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu đều khác 0. (Cho các mẫu thức khác 0)
* Tìm các giá trị của ẩn để các mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. (Cho các mẫu thức bằng 0)
– Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện của phương trình nên cho
học sinh tìm trước mẫu thức chung (MTC) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện xác định
(ĐKXĐ) của phương trình.
– Rèn cho học sinh về kỹ năng thực hiện ở các bước giải phương trình, kỹ năng về phân
tích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, các quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấu
ngoặc và việc triển khai tích có dấu trừ ở đàng trước.
– Rèn ở học sinh về kỹ năng nhận dạng các phương trình có mẫu là các đa thức dạng x
2
+
1; 3x
2
+ 2; x
2
+ x + 3;… hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôn
dương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải các mẫu thức có dạng này ta không cần
phải đặt điều kiện cho mẫu thức đó khác 0.
Ví dụ 10: Giải phương trình
2
3 2
1 2 5 4
1 1 1
x
x x x x
−
+ =
− − + +

(10)
Lời giải: ĐKXĐ: x
≠
1 ; x
2
+ x + 1 > 0
(10)
⇔

2 2
2 2
1 2 5 4( 1)
( 1)( 1) ( 1)( 1)
x x x x
x x x x x x
+ + + − −
=
− + + − + +

⇒
3x
2
+ x – 4 = 4x – 4
⇔
3x
2
– 3x = 0
⇔
3x(x – 1) = 0
⇔

3 0 0
1 0 1
x x
x x
= =
 
⇔
 
− = =
 
Vậy S =
{ }
0
b. Phát triển tư duy và kỹ năng giải phương trình
Ví dụ 11: Giải phương trình
3 4
3
5
5
2
1
15 5
x
x
x
x
x
−
−

−
−
= − +
(Sách Bổ trợ-Nâng cao)
– Đối với bài tập này gợi ý cách giải: Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần.
Lần 1: Mẫu chung là 15
Lần 2: Mẫu chung là 10
Trang 8
Hướng dẫn: (11)
⇔

3 4 9 3
15 15 15
5 2
x x
x x x
− −
− = − − +
⇔

10 2(3 4) 5(9 3 ) 150x x x
− − = − − +
(học sinh giải tiếp)
Ví dụ 12: Giải phương trình
1 2 3 4
9 8 7 6
x x x x+ + + +
+ = +
(12)
– Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau:

Cách 1: (12)
⇔

56.( 1) 63.( 2) 72.( 3) 84.( 4)x x x x
+ + + = + + +

⇔
56x + 56 + 63x + 126 = 72x + 216 + 84x + 336

⇔
37x = –370

⇔
x = –10
Vậy S =
{ }
10
−
– Với cách giải này thì ta không thể khai thác được gì ở bài toán này, đôi khi gặp phải bài
toán có mẫu lớn thì học sinh sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn hơn. Do đó giáo viên
cần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta có thể rút ra cách giải tổng quát
cho các bài tập có dạng tương tự.
Ta có nhận xét: Nhận thấy rằng các phân thức có tính chất đặc biệt sau:
x + 1 + 9 = x +10 Tử thức cộng mẫu thức của các phân thức đều
x + 2 + 8 = x + 10
x + 3 + 7 = x + 10
x + 4 + 6 = x + 10
Khi đó ta có cách giải như sau:
 Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử:
Cách 2: (12)

⇔

1 2 3 4
1 1 1 1
9 8 7 6
x x x x+ + + +
       
+ + + = + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       

⇔

10 10 10 10
9 8 7 6
x x x x
+ + + +
+ = +

⇔

1 1 1 1
( 10) 0
9 8 7 6
x
 
+ + − − =
 ÷
 

⇔
x + 10 = 0

⇔
x = –10 Vậy S =
{ }
10
−
– Với cách giải này thì ta có thể có cách giải tổng quát cho các bài toán tương tự. Do đó
giáo viên cần hướng học sinh có cách nhìn tổng quát đối với bài toán, trên cơ sở đó ta đề
xuất các bài tập có dạng tương tự, phức tạp hơn.
-Khai thác bài toán:
* Thay các mẫu 9; 8; 7; 6 bởi mẫu 2009; 2008; 2007; 2006 ta có bài toán hay sau:
1)
1 2 3 4
2009 2008 2007 2006
x x x x
+ + + +
+ = +
* Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau:
Trang 9
2)
1 2 3 4
2006
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
− − − −
+ + + = +

3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + + + = −
Hướng dẫn: 2)
1 2 3 4
1 1 1 1 2006 4
2011 2012 2013 2014
x x x x
x
− − − −
+ + + + + + + = + +
⇔

2010 2010 2010 2010 ( 2010)
0
2011 2012 2013 2014 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + − =
3)
1 2 3 2009 2010
2010
2010 2009 2008 2 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + + + = −

⇔

2011 2011 2011 2011 2011
0
2010 2009 2008 2 1
x x x x x
+ + + + +
+ + + + + =
 Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử:
Ví dụ 13: Giải phương trình (x + 2)(2x
2
– 5x) – x
3
= 8 (13) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
Gợi ý phân tích: Chuyển số 8 về vế trái, nhóm x
3
và 8
Hướng dẫn: (13)
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x
3
+ 8) = 0
⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x) – (x + 2)(x
2
– 2x + 4) = 0

⇔
(x + 2)(2x
2
– 5x – x
2
+ 2x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x
2
+ x – 4x – 4) = 0
⇔
(x + 2)(x + 1)(x – 4) = 0 (học sinh giải tiếp)
– Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học sinh phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử và cho học sinh nhắc lại về “Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều
hạng tử khác” để đưa về dạng tích mà các em đã học.
Bài tốn tổng quát:
Để phân tích đa thức dạng ax
2
+ bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành
b
1
x + b
2
x sao cho b
1
b
2
= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
Bước 1: Tìm tích ac.

Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách.
Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.

Chú ý trường hợp đặc biệt: Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0
Trang 10
Ví dụ 14 Giải phương trình
3 2 1
( 1)( 2) ( 3)( 1) ( 2)( 3)x x x x x x
+ =
− − − − − −
(BT.31.b/23)
Hướng dẫn: ĐKXĐ: x
≠
1; x
≠
2; x
≠
3
(14)
⇒
3(x – 3) + 2(x – 2) = x – 1 (học sinh giải tiếp)
– Với bài tập này việc giải phương trình đối với các em là dễ dàng. Nhưng vấn đề ở đây
không phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc độ khác, khía cạnh khác
thì việc giải phương trình của chúng ta sẽ lý thú hơn.
-Khai thác bài toán:
* Bài toán (14) trên chính là bài toán phức tạp sau:
1) Ta có: (14)
⇔

2 2 2

3 2 1
3 2 4 3 6 5x x x x x x
+ =
− + − + − +

* Ta có bài toán tương tự như sau:
2)
4 3 2 1
0
( 1)( 2)( 3) ( 1)( 2)( 4) ( 1)( 3)( 4) ( 2)( 3)( 4)x x x x x x x x x x x x
+ + + =
− − − − − − − − − − − −
3)
1 1 1 1 1 1
( 1)( 2) ( 2)( 3) ( 3)( 4) ( 4)( 5) ( 5)( 6) 10x x x x x x x x x x
+ + + + =
− − − − − − − − − −
(*)
Hướng dẫn:
1 1 1
( 1)( 2) 2 1x x x x
= −
− − − −
;
1 1 1
( 2)( 3) 3 2x x x x
= −
− − − −
; …
(*)

⇔
1 1 1
6 1 10x x
− =
− −
 Phương pháp đặt ẩn phụ:
Ví dụ 15: Giải phương trình
2
2
3 1
3 4 0x x
x x
− + − + =
(15) (Sách Bổ trợ-Nâng cao)
– Đối với bài tập này nếu học sinh thực hiện quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phương
trình là vô cùng khó khăn (phương trình bậc 4). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh
có cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn.
Giải: ĐKXĐ: x
≠
0
(15)
⇔
2
2
1 1
3( ) 4 0x x
x x
+ − + + =
Đặt
1

x y
x
+ =

⇒

2 2
2
1
2x y
x
+ = −
Phương trình trở thành y
2
– 3y + 2 = 0
⇔
(y – 1)(y – 2) =0
⇔
y = 1 hoặc y = 2
Khi đó
1
1x
x
+ =

⇔
x
2
– x + 1 = 0 (vô nghiệm)

1
2x
x
+ =
⇔
x
2
– 2x + 1 = 0
⇔
(x – 1)
2

⇔
x = 1 (nhận)
Vậy S =
{ }
1
3. Các dạng bất phương trình thường gặp
Trang 11
Định nghĩa : Bất phương trình dạng:
(hoặc, , ) trong đó a và b là hai số đã
cho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn.
Hoạt động 1
Trong các bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất phương
trình bậc nhất một ẩn:
a) 2x – 3 < 0; b) 0.x + 5 > 0; c) 5x – 15 ≥ 0; d) x
2
> 0.
ĐA: Bất phương trình d)
Hai quy tắc biến đổi bất phương trình

Quy tắc chuyển vế
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc chuyển vế) để biến
đổi tương đương bất phương trình:
Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia ta
phải đổi dấu hạng tử đó.

VÍ DỤ 1 Giải các bất phương trình sau:

Lời giải a) Ta có:

Hoạt động 2 Giải các bất phương trình sau:

Quy tắc nhân với một số
Từ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau (gọi là quy tắc nhân) để biến đổi
tương đương bất phương trình:
Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số khác 0, ta phải:
• Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương;
• Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm.
• VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: a) 0,5x < 3; b) (có biểu diễn
tập nghiệm trên trục số).
Trang 12
Lời giải a) Ta có:
0,5x < 3 0,5x.2 < 3.2 (Nhân cả hai vế với 2)
x < 6.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S=.
b) Ta có:
(Nhân cả hai vế với -4 và đổi chiều)
x > -12.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là.
Tập nghiệm này được biểu diễn trên trục số như sau:

Hoạt động 3

Giải các bất phương trình sau (dùng quy tắc nhân):
a) 2x < 24; b) -3x < 27.
Hoạt động 4

Giải thích sự tương đương:
a) x + 3 < 7 x - 2 < 2; b) 2x < - 4 -3x > 6.
Giải bất phương trình bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2x – 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Lời giải Ta có: Hoạt động 5 CHÚ Ý: Để cho gọn khi trình bày, ta có thể:
• Không ghi câu giải thích;
• Khi có kết quả x < 1,5 (ở ví dụ 3) thì coi là giải xong và viết đơn giản:
Trang 13
“Nghiệm của bất phương trình 2x – 3 < 0 là x < 1,5".
VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình -4x + 12 < 0. Lời giải Ta có: Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩn
VÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3x + 5 < 5x - 7. Lời giải Ta có:
Hoạt động 6 Giải bất phương trình -0,2x – 0,2 > 0,4x – 2.

Ta có -0,2x-0.4x > 0.2 – 2  -0.6x > -1,8
 x <
1,8
3
0,6
−
=
−
=> x < 3
BÀI TẬP
8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Kể ba bất phương trình
có cùng tập nghiệm).
a)
b)
9. Kiểm tra xem giá trị x = -2 có là nghiệm của bất phương trình sau không:
a)
b)
Tập nghiệm của bất phương trình
Tập hợp tất cả các nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bất
phương trình.
Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó.
Trang 14
VÍ DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp các số lớn hơn 3, tức là tập
hợp
Để dễ hình dung, ta biểu diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau:
(Trong hình vẽ trên, tất cả các điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ).
Hoạt động 2 Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3,
bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3.

VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp các số nhỏ hơn hoặc bằng 7,
tức là tập hợp. Tập hợp này được biểu diễn trên trục số như sau:
(Trong hình vẽ trên, các điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại).
Hoạt động 3 Viết và biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình sau trên các trục
số khác nhau:

Bất phương trình tương đương
Bất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là.
Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tương
đương và dùng kí hiệu ” ” để chỉ sự tương đương đó.
VÍ DỤ 3..
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương
trình sau đây:
a) 2x + 3 < 9;
b) -4x > 2x +
5;
c) 5 – x > 3x – 12.
Trang 15
2. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau:
a) x < 4;
b) x ≤
-2;
c) x >
-3;
d) x ≥ 1.
3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào? (Chỉ cần nêu một bất
phương trình).
a)
b)

c)
d)
Trên đây là một vài ví dụ điển hình giúp các em học sinh giải quyết những khúc
mắc trong quá trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời gian có hạn nên
không đi sâu vào một số phương trình và bất phương trình khác như phương trình và bất
phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối,vv………
Bài tập kiểm tra
Giải các phương trình và bất phương trình sau
Bài 1
a/ (x+5)(x-1) = 2x(x-1)
b/ 5(x+3)(x-2) -3 (x+5)(x-2) = 0
c/ 2x
3
+ 5x
2
-3x = 0.
d/ (x-1)
2
+2 (x-1)(x+2) +(x+2)
2
=0
e/ x
2
+2x +1 =4(x
2
-2x+1)
f/
1 2 3 4
.
99 98 97 96

x x x x
+ + + +
+ = +
g/
109 107 105 103
4 0.
91 93 95 97
x x x x
− − − −
+ + + + =
Bài 2
a. Giải các bất phương trình (x – 2)
2
< x
2
+ 5 và 4x + 1 < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệm
của chúng trên trục số.
b. Hai bất phương trình trên có tương đương với nhau không? Tại sao?
Trang 16
– Củng cố những phép biến hóa và triển khai xong những kỹ năng và kiến thức giải phương trình và bấtphương trình. – Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán. a ) Đối với học viên yếu, kém : Củng cố kỹ năng và kiến thức cơ bản + Phương pháp giải phương trình đưa được về dạng ax + b = 0. + Phương pháp giải phương trình tích. + Phương pháp giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. + Bất phương trình dạng : ( hoặc, , b ) Đối với học viên đại trà phổ thông : Phát triển tư duy, kiến thức và kỹ năng giải phương trình vàphương trình + Phát triển kiến thức và kỹ năng giải những dạng phương, khai thác bài toán. ( nâng cao ) + Đưa ra cách giải hay, phát minh sáng tạo, cho những dạng phương trình và bất phương trìnhthường gặp2. Các phương trình thường gặpa. Củng cố kiến thức và kỹ năng cơ bản về phương trình  Phương trình đưa được về dạng ax + b = 0 ( hoặc ax = c ). Dạng1 : Phương trình chứa dấu ngoặc : Phương pháp chung : – Thực hiện bỏ dấu ngoặc. – Thực hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phương trình về dạng ax = c.  Chú ý : Nếu a0, phương trình có nghiệm x = Nếu a = 0, c0, phương trình vô nghiệmNếu a = 0, c = 0, phương trình có vô số nghiệmVí dụ 1 : Giải phương trình : 5 – ( x – 6 ) = 4 ( 3 – 2 x ) ( BT-11c ) – SGK-tr13 ) Trang 2G ợi ý : Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Giải : 5 – ( x – 6 ) = 4 ( 3 – 2 x ) 5 – x + 6 = 12 – 8 x – x + 8 x = 12 – 117 x = 1 x = Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = Ví dụ 2 : Giải phương trình : ( x – 1 ) – ( 2 x – 1 ) = 9 – x ( 2 ) ( BT-17f ) – SGK-tr14 ) Gợi ý : Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Lời giải sai : ( x – 1 ) – ( 2 x – 1 ) = 9 – xx – 1 – 2 x – 1 = 9 – x ( bỏ dấu ngoặc sai ) x – 2 x – x = 9 – 2 ( chuyển vế không đổi dấu ) – 2 x = 7 ( sai từ trên ) x = 7 – 2 = 5 ( tìm nghiệm sai ) Sai lầm của học yếu kém thường gặp ở đây là : Thực hiện bỏ dấu ngoặc sai : không đổi dấu hạng tử trong dấu ngoặcThực hiện chuyển vế sai : không đổi dấu hạng tử đã chuyển vếTìm nghiệm sai : số ở vế phải trừ số ở vế tráiLời giải đúng : ( 2 ) x – 1 – 2 x + 1 = 9 – xx – 2 x + x = 90 x = 7V ậy phương trình đã cho vô nghiệmQua ví dụ này, giáo viên củng cố cho học viên : Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc nhân, quy tắc chuyển vế, chiêu thức thu gọn vàchú ý về cách tìm nghiệm của phương trình. Dạng 2 : Phương trình chứa mẫu là những hằng số : Phương pháp chung : – Thực hiện quy đồng mẫu ở hai vế rồi khử mẫu, đưa phương trình về dạng 1. – Thực hiện cách giải như dạng 1. Ví dụ 3 : Giải phương trình : 1 1 12 3 6 x x x − − − + − = ( 3 ) ( ví dụ 4 Sgk-tr12 ) Gợi ý : Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Lời giải sai : 1 1 12 3 6 x x x − − − + − = Trang 33 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 126 6 x x x − + − − − ( sai ở hạng tử thứ ba ) 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) 1 12 x x x − + − − − = ( sai từ trên ) 4 18 x ( sai từ trên ) 4,5 x ( sai từ trên ) Sai lầm của học ở đây là : Sai lầm ở trên là cách đưa dấu trừ của phân thức lên tử thức chưa đúng. Lời giải đúng : 1 1 12 3 6 x x x − − − + − = 3 ( 1 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) 126 6 x x x − + − − − 3 3 2 2 1 12 x x x − + − − + = 4 16×4 xVậy : S = { } Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học viên : Cách quy đồng mẫu, cách chuyển dấu trừ của phân thức lên tử hoặc xuống mẫu khitử và mẫu của phân thức là những đa thức.  Chú ý : Ở ví dụ trên học viên hoàn toàn có thể giải theo cách khác như sau : Cách 1 : ( 3 ) 1 1 1 ( 1 ) 22 3 6   − + − =  ÷   ( 1 ) 2 − = 1 3 x − = x = 4V ậy : S = { } Cách 2 : Đặt t = x – 1 ( 3 ) 2 3 6 t t t + − = 3 2 2.6 t t t + − = 3 t1 3 x − = x = 4 Vậy : S = { } Ví dụ 4 : Giải phương trình : 2 1 20,5 0,255 4 x x + − − = + ( 4 ) ( BT-18b ) – SGK-tr14 ) Gợi ý : Quy đồng-khử mẫu, bỏ dấu ngoặc, chuyển vế, thu gọn, tìm nghiệm. Cách giải 1 : ( 4 ) 4 ( 2 ) 20 0,5 5 ( 1 2 ) 20 0,25 x x x + − × = − + × 8 4 10 5 10 5 x x x + − = − + 4 x = 2 x = 0,5 Vậy : S = { } 0,5 Ở ví dụ trên học viên hoàn toàn có thể giải theo cách khác như sau : Cách 2 : Chuyển phương trình về phân sốTrang 4 ( 4 ) 2 1 2 15 2 4 4 x x x + − − = + 2 15 2 2 x x x + − − = 2 15 2 x + Cách 3 : Chuyển phương trình về số thập phân ( 4 ) 0,2 ( 2 ) 0,5 0,25 ( 1 2 ) 0,25 x x x × + − = × − + 0,4 0,2 0,5 0,5 0,5 x x x + − = − 0,2 0,1 x  Phương trình tíchPhương pháp chung : Dạng tổng quát A ( x ). B ( x ). C ( x ) … = 0, với A ( x ), B ( x ), C ( x ) là những biểu thức. Cách giải : A ( x ). B ( x ). C ( x ) … = 0A ( x ) = 0 hoặc B ( x ) = 0 hoặc C ( x ) = 0  Chú ý : Để có dạng A ( x ). B ( x ). C ( x ) … = 0. Ta thường biến đổi như sau : Bước 1 : Đưa phương trình về dạng tích. – Chuyển tổng thể những hạng tử sang vế trái khi đó vế phải bằng 0. – Thu gọn, tìm cách nghiên cứu và phân tích vế trái thành nhân tử. Bước 2 : Giải phương trình tích nhận được và Kết luận. Ví dụ 5 : Giải phương trình ( 3 x – 2 ) ( 4 x + 5 ) = 0 ( BT – 21 a ) – Sgk-tr17 ) Lời giải : ( 3 x – 2 ) ( 4 x + 5 ) = 03 x – 2 = 0 hoặc 4 x + 5 = 03 x = 2 hoặc 4 x = – 5 x = hoặc xVậy S = 2 53 4        Chú ý : Ở ví dụ trên Giáo viên hướng dẫn học viên làm quen với kí hiệu sau : ( 3 x – 2 ) ( 4 x + 5 ) = 03 2 04 5 0 − = + = = − * Tuy nhiên trong giải toán ta thường gặp phải những phương trình bắt buộc ta phải biếnđổi để đưa phương trình đã cho về phương trình tích. Ví dụ 6 : Giải phương trình x – x = – 2 x + 2 ( 6 ) ( BT-23b ) – Sgk-tr17 ) – Trong ví dụ trên học viên thông thường biến đổi như sau : ( 6 ) – x + 2 x – 2 = 0 + x – 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển vềphương trình tích so với học viên trung bình và yếu kém. Vì vậy giáo viên cần địnhhướng cho học viên cách giải hài hòa và hợp lý. Trang 5C huyển vế những hạng tử rồi nhómCách 1 : ( 6 ) – x + 2 x – 2 = 0 x ( x – 1 ) + 2 ( x – 1 ) = 0 ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 01 0 12 0 2 x xx x − = =     + = = −   Vậy S = { } 1 ; 2N hóm những hạng tử rồi chuyển vếCách 2 : ( 6 ) x ( x – 1 ) = – 2 ( x – 1 ) x ( x – 1 ) + 2 ( x – 1 ) = 0 ( x – 1 ) ( x + 2 ) = 01 0 12 0 2 x xx x − = =     + = = −   Vậy S = { } 1 ; 2V í dụ 7 : Giải phương trình ( x + 2 ) ( 3 – 4 x ) = x + 4 x + 4 ( 7 ) ( BT-28f ) – Sgk-tr7 ) – Trong ví dụ trên học viên thông thường biến đổi như sau : Bỏ dấu ngoặc, chuyển vế cáchạng tử, thu gọn hai vế phương trình. ( 7 ) – 4 x – 5 x + 6 – x – 4 x – 4 = 0 – 5 x – 9 x + 2 = 0 đây là phương trình rất khó chuyển về phương trìnhtích. Giáo viên khuynh hướng gợi ý cách phân tích hợp lý. Giải : ( 7 ) ( x + 2 ) ( 3 – 4 x ) = ( x + 2 ) ( x + 2 ) ( 3 – 4 x ) – ( x + 2 ) = 0 ( x + 2 ) ( 3 – 4 x – x – 2 ) = 02 05 1 0 = − + = − + = Vậy S = 2 ;       Giáo viên củng cố cho học viên kinh nghiệm tay nghề khi đưa phương trình về dạng tích : Nếu nhận thấy hai vế phương trình có nhân tử chung thì ta biến hóa phương trìnhvà đặt ngay nhân tử chung ấy. Nếu nhận thấy một trong hai vế của phương trình có dạng hằng đẳng thức thì ta sửdụng ngay giải pháp hằng đẳng thức để nghiên cứu và phân tích thành nhân tử. Khi đã chuyển vế mà ta thấy không hề nghiên cứu và phân tích vế trái thành nhân tử thì nên rútgọn rồi tìm cách nghiên cứu và phân tích thành nhân tử.  Phương trình chứa ẩn ở mẫuPhương pháp chungBước 1 : Tìm điều kiện kèm theo xác lập của phương trình. Bước 2 : Quy đồng mẫu hai vế của phương trình và khử mẫu. Bước 3 : Giải phương trình vừa nhận được. Bước 4 : ( Kết luận ). Trong những giá trị tìm được ở bước 3, những giá trị thỏa mãn nhu cầu điềukiện xác lập chính là nghiệm của phương trình đã cho. Ví dụ 8 : Giải phương trình2 1 22 ( 2 ) x x x x − = − − ( 8 ) ( BT 52 b ) – Sgk-tr33 ) Trang 6K hi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu học viên thường mắc những sai lầm đáng tiếc sau : Lời giải sai : ĐKXĐ : x2 ; x ( 8 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) x x xx x x x + − − − − x ( x + 2 ) – 1 ( x – 2 ) = 2 ( dùng ký hiệulà không đúng chuẩn ) + 2 x – x + 2 = 2 + x = 0 x ( x + 1 ) = 00 01 0 1 x xx x = =     + = = −   Vậy S = { } 0 ; 1 ( Kết luận dư nghiệm ) Sai lầm của học viên là : Dùng ký hiệu “ ” không chính xácKhông kiểm tra những nghiệm tìm được với điều kiệnLời giải đúng : ĐKXĐ : x2 ; x ( 8 ) ( 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) x x xx x x x + − − − − x ( x + 2 ) – 1 ( x – 2 ) = 2 ( 8 ’ ) + 2 x – x + 2 = 2 + x = 0 x ( x + 1 ) = 00 01 0 1 x xx x = =     + = = −   Vậy S = { } Giáo viên cần củng cố cho học viên : Khi khử mẫu ta chỉ thu được phương trình hệ quả của phương trình đã cho, nên tadùng ký hiệu “ ” hay nói cách khác tập nghiệm của phương trình ( 8 ’ ) chưa chắc là tậpnghiệm của phương trình ( 8 ). Kiểm tra những nghiệm tìm được với điều kiện kèm theo rồi mới Kết luận. Ví dụ 9 : Giải phương trình1 32 2 x x + = − − ( 9 ) ( BT 30 a ) – Sgk-tr23 ) – Trước hết cho học viên nhận xét mẫu thức của phương trình trước, tìm mẫu thức chungcủa phương trình, rồi tìm ĐKXĐ. – Lưu ý quy tắc đổi dấu, bước khử mẫu của phương trình và kiểm tra nghiệm. Giải : ĐKXĐ : x ( 9 ) 1 3 ( 2 ) 32 2 x xx x + − − − − Trang 71 + 3 ( x – 2 ) = 3 – x1 + 3 x – 6 = 3 – x4x = 8 x = 2 ( không thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ) Vậy phương trình vô nghiệmQua ví dụ này giáo viên củng cố lại ở học viên và rèn những kỹ năng và kiến thức sau : – Tìm ĐKXĐ của phương trình : * Tìm những giá trị của ẩn để những mẫu đều khác 0. ( Cho những mẫu thức khác 0 ) * Tìm những giá trị của ẩn để những mẫu bằng 0, rồi loại giá trị đó. ( Cho những mẫu thức bằng 0 ) – Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu để không sót điều kiện kèm theo của phương trình nên chohọc sinh tìm trước mẫu thức chung ( MTC ) và cho MTC khác 0, đây là điều kiện kèm theo xác lập ( ĐKXĐ ) của phương trình. – Rèn cho học viên về kiến thức và kỹ năng thực thi ở những bước giải phương trình, kỹ năng và kiến thức về phântích đa thức thành nhân tử để tìm MTC, những quy tắc dấu như quy tắc đổi dấu, quy tắc dấungoặc và việc tiến hành tích có dấu trừ ở đàng trước. – Rèn ở học viên về kỹ năng và kiến thức nhận dạng những phương trình có mẫu là những đa thức dạng x1 ; 3 x + 2 ; x + x + 3 ; … hoặc là bình phương thiếu của một tổng, một hiệu luôn luôndương với mọi giá trị của x. Do đó khi gặp phải những mẫu thức có dạng này ta không cầnphải đặt điều kiện kèm theo cho mẫu thức đó khác 0. Ví dụ 10 : Giải phương trình3 21 2 5 41 1 1 x x x x + = − − + + ( 10 ) Lời giải : ĐKXĐ : x1 ; x + x + 1 > 0 ( 10 ) 2 22 21 2 5 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) x x x xx x x x x x + + + − − − + + − + + 3 x + x – 4 = 4 x – 43 x – 3 x = 03 x ( x – 1 ) = 03 0 01 0 1 x xx x = =     − = =   Vậy S = { } b. Phát triển tư duy và kiến thức và kỹ năng giải phương trìnhVí dụ 11 : Giải phương trình3 415 5 = − + ( Sách Bổ trợ-Nâng cao ) – Đối với bài tập này gợi ý cách giải : Thực hiện quy đồng khử mẫu hai lần. Lần 1 : Mẫu chung là 15L ần 2 : Mẫu chung là 10T rang 8H ướng dẫn : ( 11 ) 3 4 9 315 15 155 2 x xx x x − − − = − − + 10 2 ( 3 4 ) 5 ( 9 3 ) 150 x x x − − = − − + ( học viên giải tiếp ) Ví dụ 12 : Giải phương trình1 2 3 49 8 7 6 x x x x + + + + + = + ( 12 ) – Thông thường học sinh thực cách giải quy đồng khử mẫu như sau : Cách 1 : ( 12 ) 56. ( 1 ) 63. ( 2 ) 72. ( 3 ) 84. ( 4 ) x x x x + + + = + + + 56 x + 56 + 63 x + 126 = 72 x + 216 + 84 x + 33637 x = – 370 x = – 10V ậy S = { } 10 – Với cách giải này thì ta không hề khai thác được gì ở bài toán này, đôi lúc gặp phải bàitoán có mẫu lớn thì học viên sẽ lúng túng, việc quy đồng khó khăn vất vả hơn. Do đó giáo viêncần định hướng cách giải mới hay hơn, trên cơ sở đó ta hoàn toàn có thể rút ra cách giải tổng quátcho những bài tập có dạng tựa như. Ta có nhận xét : Nhận thấy rằng những phân thức có đặc thù đặc biệt quan trọng sau : x + 1 + 9 = x + 10 Tử thức cộng mẫu thức của những phân thức đềux + 2 + 8 = x + 10 x + 3 + 7 = x + 10 x + 4 + 6 = x + 10K hi đó ta có cách giải như sau :  Phương pháp thêm vào hai vế của phương trình cho cùng một hạng tử : Cách 2 : ( 12 ) 1 2 3 41 1 1 19 8 7 6 x x x x + + + +         + + + = + + +  ÷  ÷  ÷  ÷         10 10 10 109 8 7 6 x x x x + + + + + = + 1 1 1 1 ( 10 ) 09 8 7 6   + + − − =  ÷   x + 10 = 0 x = – 10 Vậy S = { } 10 – Với cách giải này thì ta hoàn toàn có thể có cách giải tổng quát cho những bài toán tựa như. Do đógiáo viên cần hướng học viên có cách nhìn tổng quát so với bài toán, trên cơ sở đó ta đềxuất những bài tập có dạng tương tự như, phức tạp hơn. – Khai thác bài toán : * Thay những mẫu 9 ; 8 ; 7 ; 6 bởi mẫu 2009 ; 2008 ; 2007 ; 2006 ta có bài toán hay sau : 1 ) 1 2 3 42009 2008 2007 2006 x x x x + + + + + = + * Thay đổi cả tử và mẫu ta có bài toán rất hay sau : Trang 92 ) 1 2 3 420062011 2012 2013 năm trước x x x x − − − − + + + = + 3 ) 1 2 3 2009 201020102010 2009 2008 2 1 x x x x x + + + + + + + + + + = − Hướng dẫn : 2 ) 1 2 3 41 1 1 1 2006 42011 2012 2013 năm trước x x x x − − − − + + + + + + + = + + 2010 2010 2010 2010 ( 2010 ) 2011 2012 2013 năm trước 1 x x x x x + + + + + + + + − = 3 ) 1 2 3 2009 201020102010 2009 2008 2 1 x x x x x + + + + + + + + + + = − 2011 2011 2011 2011 20112010 2009 2008 2 1 x x x x x + + + + + + + + + + =  Phương pháp nhóm, thêm bớt, tách hạng tử : Ví dụ 13 : Giải phương trình ( x + 2 ) ( 2 x – 5 x ) – x = 8 ( 13 ) ( Sách Bổ trợ-Nâng cao ) Gợi ý nghiên cứu và phân tích : Chuyển số 8 về vế trái, nhóm xvà 8H ướng dẫn : ( 13 ) ( x + 2 ) ( 2 x – 5 x ) – ( x + 8 ) = 0 ( x + 2 ) ( 2 x – 5 x ) – ( x + 2 ) ( x – 2 x + 4 ) = 0 ( x + 2 ) ( 2 x – 5 x – x + 2 x – 4 ) = 0 ( x + 2 ) ( x + x – 4 x – 4 ) = 0 ( x + 2 ) ( x + 1 ) ( x – 4 ) = 0 ( học viên giải tiếp ) – Trong bài tập này giáo viên cần củng cố ở học viên giải pháp nghiên cứu và phân tích đa thứcthành nhân tử và cho học viên nhắc lại về “ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiềuhạng tử khác ” để đưa về dạng tích mà những em đã học. Bài tốn tổng quát : Để nghiên cứu và phân tích đa thức dạng ax + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thànhx + bx sao cho b = acTrong thực hành ta làm như sau : Bước 1 : Tìm tích ac. Bước 2 : Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Chú ý trường hợp đặc biệt quan trọng : Xét tổng a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0T rang 10V í dụ 14 Giải phương trình3 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) x x x x x x + = − − − − − − ( BT. 31. b / 23 ) Hướng dẫn : ĐKXĐ : x1 ; x2 ; x ( 14 ) 3 ( x – 3 ) + 2 ( x – 2 ) = x – 1 ( học viên giải tiếp ) – Với bài tập này việc giải phương trình so với những em là thuận tiện. Nhưng yếu tố ở đâykhông phải là việc giải được mà là việc nhìn nhận bài toán ở góc nhìn khác, góc nhìn khácthì việc giải phương trình của tất cả chúng ta sẽ lý thú hơn. – Khai thác bài toán : * Bài toán ( 14 ) trên chính là bài toán phức tạp sau : 1 ) Ta có : ( 14 ) 2 2 23 2 13 2 4 3 6 5 x x x x x x + = − + − + − + * Ta có bài toán tựa như như sau : 2 ) 4 3 2 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 1 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) x x x x x x x x x x x x + + + = − − − − − − − − − − − − 3 ) 1 1 1 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 5 ) ( 6 ) 10 x x x x x x x x x x + + + + = − − − − − − − − − − ( * ) Hướng dẫn : 1 1 1 ( 1 ) ( 2 ) 2 1 x x x x = − − − − − 1 1 1 ( 2 ) ( 3 ) 3 2 x x x x = − − − − − ; … ( * ) 1 1 16 1 10 x x − = − −  Phương pháp đặt ẩn phụ : Ví dụ 15 : Giải phương trình3 13 4 0 x xx x − + − + = ( 15 ) ( Sách Bổ trợ-Nâng cao ) – Đối với bài tập này nếu học viên triển khai quy đồng rồi khử mẫu thì việc giải phươngtrình là vô cùng khó khăn vất vả ( phương trình bậc 4 ). Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinhcó cách nhìn tổng quát tìm hướng giải thích hợp hơn. Giải : ĐKXĐ : x ( 15 ) 1 13 ( ) 4 0 x xx x + − + + = Đặtx y + = 2 22 x y + = − Phương trình trở thành y – 3 y + 2 = 0 ( y – 1 ) ( y – 2 ) = 0 y = 1 hoặc y = 2K hi đó1x + = – x + 1 = 0 ( vô nghiệm ) 2 x + = – 2 x + 1 = 0 ( x – 1 ) x = 1 ( nhận ) Vậy S = { } 3. Các dạng bất phương trình thường gặpTrang 11 Định nghĩa : Bất phương trình dạng : ( hoặc, , ) trong đó a và b là hai số đãcho, a ≠ 0, được gọi là bất phương trình bậc nhất một ẩn. Hoạt động 1T rong những bất phương trình sau, hãy cho biết bất phương trình nào không là bất phươngtrình bậc nhất một ẩn : a ) 2 x – 3 < 0 ; b ) 0. x + 5 > 0 ; c ) 5 x – 15 ≥ 0 ; d ) x > 0. ĐA : Bất phương trình d ) Hai quy tắc đổi khác bất phương trìnhQuy tắc chuyển vếTừ liên hệ giữa thứ tự và phép cộng, ta có quy tắc sau ( gọi là quy tắc chuyển vế ) để biếnđổi tương tự bất phương trình : Khi chuyển vế một hạng tử của bất phương trình từ vế này sang vế kia taphải đổi dấu hạng tử đó. VÍ DỤ 1 Giải những bất phương trình sau : Lời giải a ) Ta có : Hoạt động 2 Giải những bất phương trình sau : Quy tắc nhân với một sốTừ liên hệ giữa thứ tự và phép nhân, ta có quy tắc sau ( gọi là quy tắc nhân ) để biến đổitương đương bất phương trình : Khi nhân hai vế của bất phương trình với cùng một số ít khác 0, ta phải : • Giữ nguyên chiều bất phương trình nếu số đó dương ; • Đổi chiều bất phương trình nếu số đó âm. • VÍ DỤ Giải những bất phương trình sau : a ) 0,5 x < 3 ; b ) ( có biểu diễntập nghiệm trên trục số ). Trang 12L ời giải a ) Ta có : 0,5 x < 3 0,5 x. 2 < 3.2 ( Nhân cả hai vế với 2 ) x < 6. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S =. b ) Ta có : ( Nhân cả hai vế với - 4 và đổi chiều ) x > – 12. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là. Tập nghiệm này được màn biểu diễn trên trục số như sau : Hoạt động 3G iải những bất phương trình sau ( dùng quy tắc nhân ) : a ) 2 x < 24 ; b ) - 3 x < 27. Hoạt động 4G iải thích sự tương tự : a ) x + 3 < 7 x - 2 < 2 ; b ) 2 x < - 4 - 3 x > 6. Giải bất phương trình bậc nhất một ẩnVÍ DỤ 3 Giải bất phương trình 2 x – 3 < 0 và biểu diễn tập nghiệm trên trục số. Lời giải Ta có : Hoạt động 5CH Ú Ý : Để cho gọn khi trình diễn, ta hoàn toàn có thể : • Không ghi câu lý giải ; • Khi có hiệu quả x < 1,5 ( ở ví dụ 3 ) thì coi là giải xong và viết đơn thuần : Trang 13 " Nghiệm của bất phương trình 2 x - 3 < 0 là x < 1,5 ". VÍ DỤ 4 Giải bất phương trình - 4 x + 12 < 0. Lời giải Ta có : Giải bất phương trình đưa được về dạng bậc nhất một ẩnVÍ DỤ 5 Giải bất phương trình 3 x + 5 < 5 x - 7. Lời giải Ta có : Hoạt động 6 Giải bất phương trình - 0,2 x - 0,2 > 0,4 x – 2. Ta có – 0,2 x – 0.4 x > 0.2 – 2  – 0.6 x > – 1,8  x < 1,80,6 => x < 3B ÀI TẬP8. Hình vẽ sau biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào ? ( Kể ba bất phương trìnhcó cùng tập nghiệm ). a ) b ) 9. Kiểm tra xem giá trị x = - 2 có là nghiệm của bất phương trình sau không : a ) b ) Tập nghiệm của bất phương trìnhTập hợp toàn bộ những nghiệm của một bất phương trình được gọi là tập nghiệm của bấtphương trình. Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của bất phương trình đó. Trang 14V Í DỤ 1. Tập nghiệm của bất phương trình x > 3 là tập hợp những số lớn hơn 3, tức là tậphợpĐể dễ tưởng tượng, ta trình diễn tập hợp này trên trục số như hình vẽ sau : ( Trong hình vẽ trên, tổng thể những điểm bên trái điểm 3 và cả điểm 3 bị gạch bỏ ). Hoạt động 2 Hãy cho biết vế trái, vế phải và tập nghiệm của bất phương trình x > 3, bất phương trình 3 < x và phương trình x = 3. VÍ DỤ 2. Bất phương trình x ≤ 7 có tập nghiệm là tập hợp những số nhỏ hơn hoặc bằng 7, tức là tập hợp. Tập hợp này được màn biểu diễn trên trục số như sau : ( Trong hình vẽ trên, những điểm bên phải điểm 7 bị gạch bỏ nhưng điểm 7 được giữ lại ). Hoạt động 3 Viết và biểu diễn tập nghiệm của những bất phương trình sau trên những trụcsố khác nhau : Bất phương trình tương đươngBất phương trình x > 3 và bất phương trình 3 < x có cùng tập nghiệm là. Người ta gọi hai bất phương trình có cùng tập nghiệm là hai bất phương trình tươngđương và dùng kí hiệu " " để chỉ sự tương tự đó. VÍ DỤ 3. . BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ1. Kiểm tra xem giá trị x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào trong những bất phươngtrình sau đây : a ) 2 x + 3 < 9 ; b ) - 4 x > 2 x + 5 ; c ) 5 – x > 3 x – 12. Trang 152. Viết và biểu diễn tập nghiệm trên trục số của mỗi bất phương trình sau : a ) x < 4 ; b ) x ≤ - 2 ; c ) x > – 3 ; d ) x ≥ 1.3. Hình vẽ sau đây biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình nào ? ( Chỉ cần nêu một bấtphương trình ). a ) b ) c ) d ) Trên đây là một vài ví dụ nổi bật giúp những em học viên xử lý những khúcmắc trong quy trình giải phương trình và bất phương trình. Vì thời hạn có hạn nênkhông đi sâu vào một số ít phương trình và bất phương trình khác như phương trình và bấtphương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, vv … … … Bài tập kiểm traGiải những phương trình và bất phương trình sauBài 1 a / ( x + 5 ) ( x-1 ) = 2 x ( x-1 ) b / 5 ( x + 3 ) ( x-2 ) – 3 ( x + 5 ) ( x-2 ) = 0 c / 2 x + 5 x – 3 x = 0. d / ( x-1 ) + 2 ( x-1 ) ( x + 2 ) + ( x + 2 ) = 0 e / x + 2 x + 1 = 4 ( x-2x+1 ) f / 1 2 3 499 98 97 96 x x x x + + + + + = + g / 109 107 105 1034 0.91 93 95 97 x x x x − − − − + + + + = Bài 2 a. Giải những bất phương trình ( x – 2 ) < x + 5 và 4 x + 1 < 0. Hãy biểu diễn tập nghiệmcủa chúng trên trục số. b. Hai bất phương trình trên có tương tự với nhau không ? Tại sao ? Trang 16

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp