Công thức nghiệm của phương trình

Vào thiên niên kỉ thứ hai trước Công nguyên, người Babylon và Trung Quốc cổ đại đã sử dụng chiêu thức phần bù bình phương để giải phương trình bậc hai với những nghiệm dương, nhưng họ không có công thức tổng quát. Nhà toán học Hy Lạp Euclides đã giải phương trình bậc hai bằng hình học vào khoảng chừng năm 300 TCN.Vào thế kỉ thứ VII, nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta được xem là người tiên phong sử dụng công thức đại số tổng quát, được cho phép tìm được những nghiệm dương và âm. Sau đó, đến thế kỉ thứ IX, nhà bác học người Ba Tư, Al-Khwarizmi đã tăng trưởng một cách độc lập công thức nghiệm của phương trình bậc hai bằng giải pháp tách ra một bình phương nhờ một minh họa hình học .

Công thức nghiệm [edit]

Bài này sẽ giúp ta tìm hiểu cách tìm ra nghiệm của một phương trình bậc hai bằng cách biến đổi từ phương trình tổng quát:

Ta có :

Trường hợp 1 : \ ( \ Delta > 0 \ )Vế trái là bình phương của một tổng, vế phải là 1 số ít. Đặt \ ( \ Delta = b ^ 2-4 ac \ ) ( được gọi là biệt thức ) .
Vế phải của phương trình \ ( ( 2 ) \ ) là một số dương, khai căn hai vế, ta được :
\ ( x + \ dfrac { b } { 2 a } = \ pm \ sqrt { \ dfrac { b ^ 2-4 ac } { 4 a ^ 2 } } \ )\ ( \ Leftrightarrow x + \ dfrac { b } { 2 a } = \ pm \ dfrac { \ sqrt { b ^ 2-4 ac } } { 2 a } \ )\ ( \ Leftrightarrow x = – \ dfrac { b } { 2 a } \ pm \ dfrac { \ sqrt { b ^ 2-4 ac } } { 2 a } \ )\ ( \ Leftrightarrow x = \ dfrac { – b \ pm \ sqrt { b ^ 2-4 ac } } { 2 a } \ ) hay \ ( x = \ dfrac { – b \ pm \ sqrt { \ Delta } } { 2 a }. \ )Vậy phương trình \ ( ( 1 ) \ ) có hai nghiệm phân biệt là : \ ( x_1 = \ dfrac { – b + \ sqrt { \ Delta } } { 2 a } \ ) và \ ( x_2 = \ dfrac { – b – \ sqrt { \ Delta } } { 2 a }. \ )
Trường hợp 2 : \ ( \ Delta = 0 \ )
Khi đó phương trình \ ( ( 2 ) \ ) trở thành :
\ ( \ left ( x + \ dfrac { b } { 2 a } \ right ) ^ 2 = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow x + \ dfrac { b } { 2 a } = 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow x = – \ dfrac { b } { 2 a }. \ )Vậy phương trình \ ( ( 1 ) \ ) có nghiệm kép là : \ ( x_1 = x_2 = – \ dfrac { b } { 2 a }. \ )Trường hợp 3 : \ ( \ Delta < 0 \ ) Khi đó vế trái của \ ( ( 2 ) \ ) là bình phương của một tổng còn vế phải là một số âm. Không có giá trị nào của \ ( x \ ) thỏa mãn nhu cầu điều đó nên phương trình \ ( ( 2 ) \ ) vô nghiệm .

Tổng quát:

\ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ) với \ ( a \ neq 0 \ ), biệt thức \ ( \ Delta = b ^ 2-4 ac \ )
\ ( \ Delta > 0 \ )	Phương trình có hai nghiệm phân biệt Xem thêm: Trong “từ điển” của người trưởng thành, không có khái niệm của 2 từ “hiểu chuyện”: Hiểu chuyện là giả, chịu đựng mới là thật \ ( x_1 = \ dfrac { – b + \ sqrt { \ Delta } } { 2 a } \ ) và \ ( x_2 = \ dfrac { – b – \ sqrt { \ Delta } } { 2 a }. \ )
\ ( \ Delta = 0 \ )	Phương trình có nghiệm kép \ ( x_1 = x_2 = – \ dfrac { b } { 2 a }. \ )
\ ( \ Delta < 0 \ )	Phương trình vô nghiệm .

Như vậy, để giải một phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, ta cần xác định các hệ số \ ( a, \ b \ ) và \ ( c \ ) rồi tính biệt thức \ ( ( \ Delta = b ^ 2-4 ac ) \ ).Như vậy, để giải một phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm, ta cần xác lập những hệ sốvàrồi tính biệt thức

Ví dụ: Giải phương trình \(x^2+4a-1=0\)

Giải:

Ta có \ ( a = 1, \ b = 4, \ c = – 1. \ )Khi đó, \ ( \ Delta = b ^ 2-4 ac = 4 ^ 2-4. 1. ( – 1 ) = 16 + 4 = 20 > 0. \ )Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là :

\ ( x_1 = \ dfrac { – 4 + \ sqrt { 20 } } { 2.1 } = \ dfrac { – 4 + 2 \ sqrt { 5 } } { 2 } = – 2 + \ sqrt { 5 } ; \ )

\ ( x_2 = \ dfrac { – 4 – \ sqrt { 20 } } { 2.1 } = \ dfrac { – 4-2 \ sqrt { 5 } } { 2 } = – 2 – \ sqrt { 5 }. \ )Vậy phương trình có hai nghiệm \ ( x_1 = – 2 + \ sqrt { 5 }, \ x_2 = – 2 – \ sqrt { 5 }. \ )Nhận thấy công thức nghiệm đã giúp giải phương trình bậc hai nhanh và đơn thuần hơn .

Chú ý:

Biệt thức \ ( \ Delta = b ^ 2-4 ac. \ )Nếu \ ( a \ ) và \ ( c \ ) trái dấu thì ta có \ ( a. c < 0 \ )Khi đó \ ( - ac > 0 \ Leftrightarrow \ Delta = b ^ 2-4 ac > 0. \ )Vậy phương trình \ ( ax ^ 2 + bx + c = 0 \ ( a \ neq 0 ) \ ) luôn có hai nghiệm phân biệt khi \ ( a, \ c \ ) trái dấu .

Có thể em chưa biết? [edit]

                    Brahmagupta (597-668)

Brahmagupta là một nhà thiên văn học và nhà toán học người Ấn Độ cổ đại, sống từ năm 597 sau công nguyên đến năm 668 sau công nguyên. Ông sinh ra ở thành phố Bhinmal ở Tây Bắc Ấn Độ. Cha của ông, tên là Jisnugupta, là một nhà chiêm tinh. Ông là người tiên phong tò mò công thức để giải những phương trình bậc hai \ ( ax ^ 2 + bx = c \ ) nhưng được viết bằng lời thay vì kí hiệu như sau : “ Nhân số tự do ( thông số \ ( c \ ) ) với \ ( 4 \ ) lần thông số bình phương ( thông số \ ( a \ ) ), cộng với bình phương thông số của số hạng ở giữa ( thông số \ ( b \ ) ) ; căn bậc hai hàng loạt, trừ đi thông số của số hạng ở giữa, rồi chia cho hai lần thông số bình phương được giá trị cần tìm ( nghiệm ) ” Điều này tương tự với :\ ( x = \ dfrac { \ sqrt { 4 ac + b ^ 2 } – b } { 2 a } \ )Ông cũng là người tiên phong trong lịch sử vẻ vang xác lập những thuộc tính của số không ; thiết lập ra những quy tắc để thống kê giám sát với số dương và số âm mà vẫn được sử dụng đến thời nay. Brahmagupta có nhiều góp phần quan trọng cho nền toán học !