Cực trị của hàm số bậc 4: Tìm hiểu công thức và Bài tập

Cực trị của hàm số bậc 4 là một trong những chủ đề trọng tâm trong chương trình toán 12 và thi THPT Quốc Gia. Vậy cực trị của hàm số bậc 4 là gì? Lý thuyết và Bài tập cực trị của hàm số bậc 4? Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương?… Trong bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề trên, cùng tìm hiểu nhé!

Cực trị của hàm số là gì?

Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục và xác lập trên khoảng chừng \ ( ( a ; b ) \ ) và điểm \ ( x_0 \ in ( a ; b ) \ )

• Hàm số \( f(x) \) đạt cực đại tại \( x_0 \) nếu tồn tại số \( h>0 \) sao cho \( f(x) < f(x_0) \) với mọi \( x \in (x_0-h;x_0+h) \) và \(x \neq x_0\)

  Bạn đang đọc: Cực trị của hàm số bậc 4: Tìm hiểu công thức và Bài tập

• Hàm số \ ( f ( x ) \ ) đạt cực tiểu tại \ ( x_0 \ ) nếu sống sót số \ ( h > 0 \ ) sao cho \ ( f ( x ) > f ( x_0 ) \ ) với mọi \ ( x \ in ( x_0-h ; x_0 + h ) \ ) và \ ( x \ neq x_0 \ )

Định lý :

Cho hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục, xác lập và có đạo hàm cấp 2 trên khoảng chừng \ ( ( a ; b ) \ ). Khi đó

• Nếu \ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ‘ ( x_0 ) = 0 \ \ f ” ( x_0 ) > 0 \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow \ ) \ ( x_0 \ ) là điểm cực tiểu của hàm số \ ( f \ )
• Nếu \ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ‘ ( x_0 ) = 0 \ \ f ” ( x_0 ) < 0 \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow \ ) \ ( x_0 \ ) là điểm cực lớn của hàm số \ ( f \ )

Xem chi tiết >>> Cực trị của hàm số là gì? 

Cực trị của hàm số bậc 4?

Định nghĩa cực trị của hàm bậc 4 

Cho hàm số bậc 4 : \ ( y = f ( x ) = ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e \ ) với \ ( a \ neq 0 \ )
Đạo hàm \ ( y ’ = 4 ax ^ 3 + 3 bx ^ 2 + 2 cx + d \ )
Hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) hoàn toàn có thể có một hoặc ba cực trị .
Điểm cực trị là điểm mà qua đó thì đạo hàm \ ( y ’ \ ) đổi dấu

Số điểm cực trị của hàm bậc 4

Xét đạo hàm \ ( y ’ = 4 ax ^ 3 + 3 bx ^ 2 + 3 cx + d \ )

• Nếu \ ( y ’ = 0 \ ) có đúng 1 nghiệm thì hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) có đúng 1 cực trị ( hoàn toàn có thể là cực lớn hoặc cực tiểu ) .
• Nếu \ ( y ’ = 0 \ ) có 2 nghiệm ( gồm 1 nghiệm đơn, 1 nghiệm kép ) thì hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) có đúng 1 cực trị ( hoàn toàn có thể là cực lớn hoặc cực tiểu ) .
• Nếu \ ( y ’ = 0 \ ) có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) có 3 cực trị ( gồm cả cực lớn và cực tiểu ) .

Ví dụ:

Chứng minh rằng hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4 + mx ^ 3 + mx ^ 2 + mx + 1 \ ) không hề đồng thời có cả cực lớn và cực tiểu với mọi \ ( m \ in \ mathbb { R } \ )

Cách giải:

Để chứng tỏ hàm số đã cho không có đồng thời cực lớn lẫn cực tiểu thì ta chứng tỏ hàm số ấy chỉ có duy nhât 1 cực trị với mọi \ ( m \ in \ mathbb { R } \ )
Xét đạo hàm \ ( f ’ ( x ) = 4 x ^ 3 + m ( 3 x ^ 2 + 2 x + 1 ) \ )
Xét phương trình \ ( f ‘ ( x ) = 0 \ Leftrightarrow 4 x ^ 3 + m ( 3 x ^ 2 + 2 x + 1 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ frac { 4 x ^ 3 } { 3 x ^ 2 + 2 x + 1 } + m = 0 \ )
Xét hàm số \ ( g ( x ) = \ frac { 4 x ^ 3 } { 3 x ^ 2 + 2 x + 1 } + m \ )
Ta có :
\ ( g ‘ ( x ) = \ frac { 12 x ^ 2 ( 3 x ^ 2 + 2 x + 1 ) – 4 x ^ 3 ( 6 x + 2 ) } { ( 3 x ^ 2 + 2 x + 1 ) ^ 2 } \ )
\ ( = \ frac { 4 x ^ 2 ( 3 x ^ 2 + 4 x + 3 ) } { ( 3 x ^ 2 + 2 x + 1 ) ^ 2 } \ geq 0 \ ; \ ; \ ; \ ; \ forall x \ in \ mathbb { R } \ )
\ ( \ Rightarrow \ ) hàm số \ ( g ( x ) \ ) đồng biến
\ ( \ Rightarrow \ ) phương trình \ ( g ( x ) = 0 \ ) có đúng 1 nghiệm duy nhất
Như vậy phương trình \ ( f ‘ ( x ) = 0 \ ) có đúng 1 nghiệm duy nhất
\ ( \ Rightarrow \ ) hàm số \ ( f ( x ) \ ) có duy nhất một điểm cực trị

Cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

Định nghĩa hàm số trùng phương là gì ?

Hàm số trùng phương là hàm số bậc 4 có dạng :
\ ( y = f ( x ) = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c \ )
Như vậy hoàn toàn có thể coi đây là một hàm số bậc 2 với ẩn là \ ( x ^ 2 \ )

Điều kiện cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

Ví dụ:

Cho hàm số \ ( f ( x ) = 3 mx ^ 4 + ( m-2 ) x ^ 2 + m-1 \ ). Tìm \ ( m \ ) để hàm số đã cho có ba điểm cực trị

Cách giải:

Để hàm số \ ( f ( x ) \ ) có 3 điểm cực trị thì
\ ( 3 m ( m-2 ) < 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow m \ in ( 0 ; 2 ) \ )

Công thức cực trị của hàm bậc 4 trùng phương

Xét hàm số trùng phương \ ( f ( x ) = ax ^ 4 + bx ^ 2 + c \ ) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân \ ( ABC \ ) đỉnh \ ( A \ )

Tọa độ những đỉnh :

• \ ( A ( 0 ; c ) \ )
• \ ( B ( – \ sqrt { \ frac { – b } { 2 a } } ; – \ frac { \ Delta } { 4 a } ) \ )
• \ ( C ( \ sqrt { \ frac { – b } { 2 a } } ; – x \ frac { \ Delta } { 4 a } ) \ )

Để xử lý nhanh những bài toán về hàm bậc 4 trùng phương trong những bài toán trắc nghiệm thì ta có những công thức sau đây
\ ( \ cos \ widehat { BAC } = \ frac { b ^ 3 + 8 a } { b ^ 3-8 a } \ )
Diện tích \ ( \ Delta ABC = \ frac { b ^ 2 } { 4 | a | }. \ sqrt { – \ frac { b } { 2 a } } \ )

Ví dụ:

Cho hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4-2 mx ^ 2 + 3 \ ). Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) \ ) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có độ dài cạnh bên bằng 2 lần độ dài cạnh đáy

Cách giải:

Để hàm số có 3 điểm cực trị thì \ ( – 2 m < 0 \ Leftrightarrow m > 0 \ )
Theo định lý Cosin ta có :
\ ( BC ^ 2 = AB ^ 2 + AC ^ 2-2 AB.AC. \ cos \ widehat { BAC } \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ cos \ widehat { BAC } = \ frac { AB ^ 2 + AC ^ 2 – BC ^ 2 } { 2AB. AC } \ )
Vì \ ( \ Delta ABC \ ) cân tại \ ( A \ Rightarrow AB = AC \ )

Theo đề bài ta có \( AB=2BC \)

Thay vào ta được
\ ( \ cos \ widehat { BAC } = \ frac { 7 } { 8 } \ )
Áp dụng công thức \ ( \ cos \ widehat { BAC } \ ) ta có :
\ ( \ frac { 7 } { 8 } = \ cos \ widehat { BAC } = \ frac { b ^ 3 + 8 a } { b ^ 3 + 8 a } = \ frac { – 8 m ^ 3 + 8 } { – 8 m ^ 3-8 } \ )
\ ( \ Leftrightarrow m ^ 3 = 15 \ Leftrightarrow m = \ sqrt [ 3 ] { 15 } \ ) ( thỏa mãn nhu cầu )
Vậy \ ( m = \ sqrt [ 3 ] { 15 } \ )

Bài tập cực trị của hàm bậc 4 trùng phương 

Bài 1:

Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) = 2 x ^ 4 – m ^ 2 x ^ 2 + m ^ 2-1 \ ) có 3 điểm cực trị \ ( A, B, C \ ) sao cho bốn điểm \ ( O, A, B, C \ ) là 4 đỉnh của một hình thoi
A. \ ( m = \ pm \ sqrt { 2 } \ )
B. \ ( m = \ pm \ sqrt { 3 } \ )
C. \ ( m = \ pm 2 \ )
D. \ ( m = \ pm 3 \ )
\ ( \ Rightarrow A \ )

Bài 2 :

Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4-2 m ^ 2 x ^ 2 + m ^ 4 + 1 \ ) có 3 điểm cực trị \ ( A, B, C \ ) sao cho bốn điểm \ ( O, A, B, C \ ) cùng nằm trên một đường tròn
A. \ ( m = \ pm 1 \ )
B. \ ( m = \ pm 2 \ )
C. \ ( m = 1 \ )
D. \ ( m = – 1 \ )
\ ( \ Rightarrow A \ )

Bài 3 :

Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4-2 mx ^ 2 + m \ ) có 3 điểm cực trị \ ( A, B, C \ ) tạo thành tam giác có nửa đường kính đường tròn nội tiếp lớn hơn 1
A. \ ( m \ in ( 2 ; + \ infty ) \ )
B. \ ( m \ in ( – 2 ; + \ infty ) \ )
C. \ ( m \ in ( – \ infty ; 2 ) \ )
D. \ ( m \ in ( – \ infty ; – 2 ) \ )
\ ( \ Rightarrow A \ )

Bài 4 :

Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4-2 x ^ 2 + m + 2 \ ) có 3 điểm cực trị \ ( A, B, C \ ) tạo thành tam giác có trọng tâm là \ ( O \ )
A. \ ( m = – \ frac { 2 } { 3 } \ )
B. \ ( m = – \ frac { 4 } { 3 } \ )
C. \ ( m = \ frac { 2 } { 3 } \ )
D. \ ( m = \ frac { 4 } { 3 } \ )
\ ( \ Rightarrow B \ )

Bài 5:

Tìm \ ( m \ ) để đồ thị hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 4-2 ( 1 – m ^ 2 ) x ^ 2 + m + 1 \ ) có 3 điểm cực trị \ ( A, B, C \ ) tạo thành tam giác có diện tích quy hoạnh lớn nhất
A. \ ( m = – 1 \ )
B. \ ( m = 1 \ )
C. \ ( m = 0 \ )
D. \ ( m = 2 \ )
\ ( \ Rightarrow C \ )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và bài tập về chuyên đề cực trị của hàm bậc 4 cũng như các phương pháp giải. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề cực trị của hàm số bậc 4. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem thêm >>> Chuyên đề cực trị của hàm số bậc 3

Xem thêm >>> Tìm m để hàm số có 3 cực trị

3.2
/
5
(
4
bầu chọn

)

Please follow and like us :

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật