Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính

Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Phương trình x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 là phương trình đường tròn nếu :

a2 + b2 – c > 0. Khi đó; phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(a;b) và bán kính
R =

+ Phương trình ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R2 là đường tròn tâm I ( a ; b ) và nửa đường kính R .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho phương trình x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 (1). Điều kiện để (1) là phương trình của đường tròn là

A. a2 + b2 – 4c > 0.
   B. a2+ b2 – c > 0.
   C. a2+ b2 – c2 > 0.
   D. a2+ b2 – 2c > 0.

Lời giải

Ta có : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0Tương đương : ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = a2 + b2 – cVậy điều kiện để ( 1 ) là phương trình đường tròn : a2 + b2 – c > 0 .

Chọn B.

Ví dụ 2. Để x2+ y2- ax – by + c = 0 là phương trình đường tròn, điều kiện cần và đủ là

A. 2a2 + 2b2 – c > 0.
   B. a2 + b2 – 2c > 0.
   C. a2 + b2 – 4c > 0.
   D. a2 + b2 + c > 0.

Lời giải

Ta có :x2 + y2 – ax – by + c = 0 ( 1 )

Vậy điều kiện để ( 1 ) là phương trình đường tròn :

– c > 0 hay a2 + b2 – 4c > 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn?

(I) x2 + y2 – 4x + 15y – 12 = 0.

(II) x2 + y2 – 3x + 4y + 20 = 0.

(III) 2×2 + 2y2 – 4x + 6y + 1 = 0 .

A. Chỉ (I).
   B. Chỉ (II).
   C. Chỉ (III).
   D. Chỉ (I) và (III).

Lời giải

Ta xét những giải pháp :

(I) có: a2 + b2 – c = 4 +
+ 12 =
> 0

(II) có: a2 + b2 – c =
+
– 20 = –
< 0

( III ) tương tự : x2 + y2 – 2 x – 3 y + 0,5 = 0 .

phương trình này có: a2 + b2 – c = 1 +
–
=
> 0

Vậy chỉ ( I ) và ( III ) là phương trình đường tròn .

Chọn D.

Ví dụ 4. Mệnh đề nào sau đây đúng?
(1) Đường tròn (C1) : x2+ y2 – 2x + 4y – 4 = 0 có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3.
(2) Đường tròn (C2) x2+ y2 – 5x + 3y – 0,5 = 0 có tâm
I(

; –
) bán kính R = 3.

A. Chỉ (1).
   B. Chỉ (2).
   C. cả hai
   D. Không có.

Lời giải

Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
= 3

Vậy ( 1 ) đúng

Đường tròn ( C2): a =
, b = –
⇒ I(
; –
); R =
= 3

Vậy ( 2 ) đúng .

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5. Đường tròn 3×2 + 3y2 – 6x + 9y – 9 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. 2,5
   B. 3
   C. 2
   D. 4

Lời giải

Ta viết lại phương trình đường tròn : x2 + y2 – 2 x + 3 y – 3 = 0

Suy ra a = 1; b = -1,5 và c = -3 và bán kính R =

Chọn A.

Ví dụ 6. Cho đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + 3 = 0. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

A. tâm I( 2; 0)
   B. bán kính R = 1

C. (C) cắt trục 0x tại 2 điểm.
   D. (C) cắt trục Oy tại 2 điểm.

Lời giải

Cho x = 0 ta được : y2 + 3 = 0 phương trình vô nghiệm .Vậy ( C ) không có điểm chung nào với trục tung .

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho đường tròn (C) : x2+ y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. (C) không đi qua điểm O.
   B. tâm I( -4 ; -3).

C. bán kính R = 4.
   D. (C) đi qua điểm M(-1 ; 0) .

Lời giải

+ Ta có a = – 4 ; b = – 3 ; c = 9 và a2 + b2 – c = 16 + 9 – 9 = 16 > 0Suy ra ( C ) là đường tròn tâm I ( – 4 ; – 3 ) và R = 4Vậy B ; C đúng .+ Thay O vào ( C ) ta có : 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 phi lí. Vậy A đúng .+ Thay M ( – 1 ; 0 ) vào ( C ) ta có : ( – 1 ) 2 + 02 + 8. ( – 1 ) + 6.0 + 9 = 0 ( vô lý ). Vậy D sai .

Chọn D.

Ví dụ 8. Đường tròn x2 + y2 – 10x – 11 = 0 có bán kính bằng bao nhiêu?

A. 6
   B. 2
   C. 4
   D. √6

Lời giải

Ta có hệ số a = 5; b = 0 và c = -11 nên bán kính là R =

= 6

Chọn A.

Ví dụ 9: Cho phương trình: x2 + y2 – 2mx + 4y + 4 = 0. Tìm điều kiện của
m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1
   B. m > 0
   C. m ≠ 0
   D. m > -1 hoặc m < 2

Lời giải

Phương trình x2 + y2 – 2 mx + 4 y + 4 = 0 có a = m ; b = – 2 và c = 4 .Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu :a2 + b2 – c > 0 hay mét vuông + ( – 2 ) 2 – 4 > 0⇔ mét vuông > 0 ⇔ m ≠ 0

Chọn C.

Ví dụ 10: Cho phương trình x2 + y2 – 2mx + 4ny – 4 = 0. Tìm m và
n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(2; 4)?

A. m = 1; n = -2
   B. m = 2; n = -2
   C. m = 4; n = -4
   D. m = -2; n = 2

Lời giải

Phương trình x2 + y2 – 2 mx + 4 ny – 4 = 0 có :a = m ; b = – 2 n và c = – 4Ta có : a2 + b2 – c = mét vuông + 4 n2 + 4 > 0 với mọi m và n .⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I ( m ; – 2 n ) .Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I ( 2 ; 4 ) khi và chỉ khi :

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho phương trình x2 + y2 + 2x – my + 1 = 0. Tìm m để phương
trình đã cho là phương trình đường tròn có bán kính R = 2?

A. m = ± 8
   B. m = 6
   C. m = 10
   D. m = ± 4

Lời giải

Phương trình x2 + y2 + 2 x – my + 1 = 0 có :

a = -1; b =
và c = 1

Để phương trình trên là phương trình đường tròn nếu : a2 + b2 – c > 0

⇔ 1 +
– 1 > 0 ⇔
> 0 ⇔ m ≠ 0.

Với điều kiện m ≠ 0 thì phương trình trên là phương trình đường tròn có nửa đường kính là :

R =

Theo đề bài ta có: R = 2 nên
= 2

⇔
( thỏa mãn điều kiện )

Chọn A.

Ví dụ 12. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. 4×2 + y2 – 10x – 6y – 22 = 0
   B. x2 + y2 – 2x – 8y + 20 = 0

C. x2 + 2y2 – 4y – 8y + 1 = 0
   D. x2 + y2 – 4x + 6y – 12 = 0

Lời giải

Xét phương trình dạng : x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0 lần lượt tính những thông số a ; b ; c. Để phương trình trên là phương trình đường tròn điều kiện là a2 + b2 – c > 0 .+ Xét giải pháp D : có a = 2 ; b = 3 và c = – 12⇒ a2 + b2 – c = 4 + 9 + 12 = 25 > 0⇒ Phương trình x2 + y2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 là phương trình đường tròn .+ Các phương trình 4×2 + y2 – 10 x – 6 y – 2 = 0 và x2 + 2 y2 – 4 x – 8 y + 1 = 0 không có dạng đã nêu loại những đáp án A và C.+ Phương án x2 + y2 – 2 x – 8 y + 20 = 0 không thỏa mãn nhu cầu điều kiện a2 + b2 – c > 0 .

Chọn D.

Ví dụ 13. Cho phương trình x2 + y2 + 2mx + 2(m-1)y + 2m2 = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. m <
   B. m ≤
   C. m > 1
   D. m = 1

Lời giải

Ta có : trình x2 + y2 + 2 mx + 2 ( m-1 ) y + 2 mét vuông = 0⇒ a = – m ; b = 1 – m ; c = 2 mét vuôngĐể phương trình trên là phương trình đường tròn thì :a2 + b2 – c > 0 ⇔ mét vuông + ( 1 – m ) 2 – 2 mét vuông > 0⇔ mét vuông + 1 – 2 m + mét vuông – 2 mét vuông > 0

⇔ 1 – 2m > 0 ⇔ m <

Chọn A.

Ví dụ 14. Cho phương trình x2 + y2 – 2mx – 4(m – 2)y + 6 – m = 0 (1).
Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.

A. đúng mọi m
   B. m ∈( -∞; 1) ∪ ( 2; +∞)

C. m ∈ ( -∞; 1] ∪ [2; +∞)
   D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có : x2 + y2 – 2 mx – 4 ( m – 2 ) y + 6 – m = 0 có :a = m ; b = 2 m – 4 ; c = 6 – mĐể phương trình trên là phương trình đường tròn ⇔ a2 + b2 – c > 0 .⇔ mét vuông + ( 2 m – 4 ) 2 – ( 6 – m ) > 0⇔ mét vuông + 4 mét vuông – 16 m + 16 – 6 + m > 0⇔ 5 mét vuông – 15 m + 10 > 0 ⇔ m ∈ ( – ∞ ; 1 ) ∪ ( 2 ; + ∞ )

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 4 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (8; -4)
   B. ( 4; -2)
   C. ( -4; 2)
   D. (2; -1 )

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta viết lại phương trình đường tròn : x2 + y2 – 4 x + 2 y – 4 = 0

Ta có:
nên tâm I( 2; -1) .

Câu 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình của một đường tròn?

A. x2 + y2 + 2x – 4y + 9 = 0
   B. x2 + y2 – 6x + 4y + 13 = 0

C. 2×2 + 2y2 – 8x – 4y – 6 = 0
   D. 5×2 + 4y2 + x – 4y + 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta xét những giải pháp :+ Phương án D loại vì không có dạng x2 + y2 – 2 ax – 2 by + c = 0+ Phương án A : có a = – 1 ; b = 2 và c = 9

⇒ a2 + b2 – c = 1 + 4 – 9 = – 4 < 0

⇒ Phương án A không là phương trình đường tròn .+ Phương án B : có a = 3 ; b = – 2 ; c = 13⇒ a2 + b2 – c = 9 + 4 – 13 = 0⇒ loại B .+ Phương án C :2×2 + 2 y2 – 8 x – 4 y – 6 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4 x – 2 y – 3 = 0Có a = 2 ; b = 1 ; c = – 3⇒ a2 + b2 – c = 4 + 1 + 3 = 8 > 0⇒ Đây là phương trình đường tròn

Câu 3: Cho đường cong (C) : x2 + y2 – 8x + 10y + m = 0. Với giá trị nào
của m thì (C) là đường tròn có bán kính bằng 7 ?

A. m = 4
   B. m = 8
   C. m = -8
   D. m = -2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có a = 4 ; b = – 5 và c = m .

Bán kính đường tròn là: R =

Để bán kính đường tròn là 7 thì:
= 7 ⇔
= 7.

⇔ 41 – m = 49 ⇔ m = – 8

Câu 4: Phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0
là phương trình đường tròn khi và chỉ khi

A. m < 0    B. m < 1    C. m > 1
   D. m < - 1 hoặc m > 1.

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có :x2 + y2 – 2 ( m + 1 ) x – 2 ( m + 2 ) y + 6 m + 7 = 0 ( 1 )⇔ x2 – 2 ( m + 1 ) x + ( m + 1 ) 2 + y2 – 2 ( m + 2 ) y + ( m + 2 ) 2 – ( m + 1 ) 2 – ( m + 2 ) 2 + 6 m + 7 = 0⇔ [ x – ( m + 1 ) ] 2 + [ y – ( m + 2 ) ] 2 = 2 mét vuông – 2 )

Vậy điều kiện để (1) là phương trình đường tròn: 2m2 – 2 > 0 ⇔

Câu 5: Tìm m để phương trình x2 + y2 – 2mx + 4y + 8 = 0 không phải là phương
trình đường tròn.

A. m < - 2 hoặc m > 2.
   B. m > 2
   C. -2 ≤ m ≤ 2
   D. m < - 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : x2 + y2 – 2 mx – 4 y + 8 = 0 ( 1 )⇔ x2 – 2 mx + mét vuông + y2 – 2.2. y + 22 – mét vuông – 22 + 8 = 0 ⇔ ( x – m ) 2 + ( y – 2 ) 2 = mét vuông – 4Vậy điều kiện để ( 1 ) không phải là phương trình đường tròn :mét vuông – 4 ≤ 0 ⇔ – 2 ≤ m ≤ 2

Câu 6: Cho hai mệnh đề

(I) (x – a)2 + (y – b)2 = R2 là phương trình đường tròn tâm I (a; b), bán kính R.

(II) x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 là phương trình đường tròn tâm I(a; b).

Hỏi mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ (I).
   B. Chỉ (II).

C. Cả (I) và (II) đều sai.
   D. Cả (I) và (II).

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

( I ) đúng, ( II ) sai vì thiếu điều kiện a2 + b2 – c > 0 .

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?

(I) Đường tròn (C1) có tâm I( 1; -2) bán kính R = 3.

(II) Đường tròn (C2) có tâm bán kính R = 3.

A. Chỉ (I).
   B. Chỉ (II).
   C. (I) và (II).
   D. Không có.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: đường tròn (C1) : a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =
= 3

Vậy ( 1 ) đúng

Đường tròn ( C2): a =
, b = –
⇒ I(
; –
); R =
= 3

Vậy ( 2 ) đúng .

Câu 8: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 8x + 6y + 9 = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. ( C) không đi qua điểm O(0 ; 0) .
   B. ( C) có tâm I( -4 ; -3) .

C. ( C) có bán kính R = 4.
   D. ( C ) đi qua điểm M( -1 ; 0) .

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Đường tròn ( C ) có :

a = -4, b = -3 ⇒ I(-4; -3); R =
= 4. Vậy B; C đúng.

Thay O ( 0 ; 0 ) vào ( C ) ta có : 02 + 02 + 8.0 + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 9 = 0 ( vô lý ) .⇒ đường tròn ( C ) không đi qua điểm O. Vậy A đúng .Thay M ( – 1 ; 0 ) vào ( C ) ta có : ( – 1 ) 2 + 02 + 8. ( – 1 ) + 6.0 + 9 = 0 ⇔ 2 = 0 ( vô lý ) .⇒ Đường tròn ( C ) không đi qua điểm M ( – 1 ; 0 ). Vậy D sai .

Câu 9: Cho đường tròn (C)2×2 + 2y2 – 4x + 8y + 1 = 0. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ( C) không cắt trục Oy.
   B. ( C) cắt trục Ox tại hai điểm.

C. ( C) có tâm I (2 ; -4) .
   D. ( C) có bán kính R = √19 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Ta viết lại phương trình đường tròn(C) ⇔ x2 + y2 – 2x + 4y +

= 0

⇒ a = 1, b = -2 ⇒ I(1; -2); R =

Vậy C ; D sai .

+ Cho x = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

Do đó ( C ) cắt trục Oy tại hai điểm phân biệt. Vậy A sai

+ Cho y = 0 thì (C): 2y2 + 8y + 1 = 0 ⇔ y =

hoặc y =

Do đó ( C ) cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt. Vậy B đúng

Câu 10: Đường tròn x2 + y2 – 6x – 8y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. 10
   B. 25
   C. 5
   D. √10.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn x2 + y2 – 6 x – 8 y = 0 có a = 3 ; b = 4 và c = 0⇒ a2 + b2 – c = 9 + 16 – 0 = 25 > 0⇒ Phương trình đã cho là phương trình đường tròn có nửa đường kính là :

R =
= 5 .

Câu 11: Đường tròn x2 + y2 – 5y = 0 có bán kính bằng bao nhiêu ?

A. √5
   B. 25
   C.
   D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Đường tròn có a = 0; b =
và c = 0.

⇒ Bán kính đường tròn là : R =
=

Câu 12: Đường tròn x2 + y2 +

– √3 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây ?

A. (0;
)
   B. (-
; 0)
   C. (√2; √3)
   D. (
; 0)

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Ta có:
nên tâm I(-
; 0) .

Câu 13: Đường tròn 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 1 = 0 có tâm là điểm nào trong các điểm sau đây?

A. (-2; 1)
   B. (8; -4)
   C. (-8; 4)
   D. (2; -1)

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Ta có ( C) : 2×2 + 2y2 – 8x + 4y – 1 = 0 ⇔ x2 + y2 – 4x + 2y –

= 0

⇒ a = 2 ; b = – 1 nên tâm đường tròn là I ( 2 ; – 1 ) .

Câu 14: Cho phương trình: x2 + y2 – 8mx + 6y + 9 = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình trên là phương trình đường tròn?

A. m > 1
   B. m > 0
   C. m ≠ 0
   D. m > -1 hoặc m < 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình x2 + y2 – 8 mx + 6 y + 9 = 0 có a = 4 m ; b = – 3 và c = 9 .Để phương trình đã cho là phương trình đường tròn nếu :a2 + b2 – c > 0 hay ( 4 m ) 2 + ( – 3 ) 2 – 9 > 0⇔ 16 mét vuông > 0 ⇔ m ≠ 0

Câu 15: Cho phương trình x2 + y2 – 6mx + 8ny – 1 = 0. Tìm m và n để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm I(-6; 8)?

A. m = 1; n = -2
   B. m = -2; n = -2
   C. m = 4; n = -4
   D. m = -2; n = 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Phương trình x2 + y2 – 6 mx + 8 ny – 1 = 0 có :a = 3 m ; b = – 4 n và c = – 1Ta có : a2 + b2 – c = 9 mét vuông + 16 n2 + 1 > 0 với mọi m và n .⇒ Phương trình trên luôn là phương trình đường tròn tâm I ( 3 m ; – 4 n ) .Để phương trình là phương trình đường tròn tâm I ( 2 ; 4 ) khi và chỉ khi :

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn ?

A. x2 + y2 – x – y + 9 = 0.
   B. x2 + y2 – x = 0

C. x2 + y2 – 2xy – 1 = 0
   D. x2 – y2 – 2x + 3y – 1 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Loại C vì có số hạng – 2 xy .

Phương án A: a = b =
, c = 9 ⇒ a2 + b2 – c < 0 nên không phải phương trình đường tròn.

Phương án D : loại vì có – y2 .

Phương án B: a =
,b = 0, c = 0 ⇒ a2 + b2 – c > 0 nên là phương trình đường tròn.

Câu 17: Cho phương trình x2 + y2 – 2x + 2my + 10 = 0 (1). Có bao nhiêu giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để (1) là phương trình của đường tròn?

A. Không có.
   B. 6
   C. 7
   D. Vô số

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Phương trình : x2 + y2 – 2 x + 2 my + 10 = 0 có : a = 1 ; b = – m và c = 10Để phương trình trên là phương trình đường tròn khi và chỉ khi :a2 + b2 – c > 0 ⇔ 1 + mét vuông – 10 > 0

⇔ m2 – 9 > 0 ⇔

⇒ Các giá trị m nguyên dương không vượt quá 10 để ( 1 ) là phương trình của đường tròn là : m ∈ { 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; … ; 10 }

Câu 18: Cho phương trình x2 + y2 – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0 (1). Với giá trị nào của m để (1) là phương trình đường tròn có bán kính nhỏ nhất?

A. m = 2
   B. m = -1
   C. m = 1
   D. m = -2

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Phương trình x2 + y2 – 2 ( m + 1 ) x + 4 y – 1 = 0 có thông số :a = m + 1 ; b = – 2 và c = – 1Để ( 1 ) là phương trình đường tròn thì : a2 + b2 – c > 0⇔ ( m + 1 ) 2 + 4 + 1 > 0 ⇔ ( m + 1 ) 2 + 5 > 0 luôn đúng với mọi m vì ( m + 1 ) 3 ≥ 0Vậy với mọi m ( 1 ) luôn là phương trình đường tròn có nửa đường kính :

R =

⇒ Rmin khi và chỉ khi ( m + 1 ) 2 + 5 min⇔ m + 1 = 0 hay m = – 1
Chuyên đề Toán 10 : rất đầy đủ kim chỉ nan và những dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không lấy phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không tính tiền trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp