Bất phương trình logarit – Đầy đủ lý thuyết và bài tập tuyển chọn

Bất phương trình Logarit là một nội dung vô cùng quan trọng trong chương trình toán 12. Vì vậy, hiểu rõ được thực chất và những cách giải bất phương Logarit là điều cực kỳ thiết yếu .

Để nắm được lý thuyết và cách giải bài tập về bất phương trình Logarit hãy tìm hiểu kiến thức tổng quát về bất phương trình Logarit trước nhé. Xem tại bảng dưới đây:

1. Phương trình và bất phương trình Logarit

1.1. Phương trình Logarit

Phương trình Logarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu Logarit, có dạng $log_{a}x=b (a> b; a\neq 1; x> 0)$ trong đó, x là ẩn số cần đi tìm. 

Chứng minh phương trình trên có nghiệm :
– Áp dụng định nghĩa Logarit ta có : USD log_ { a } x = b \ Leftrightarrow x = a ^ { b } $
– Minh họa bằng đồ thị hàm số, ta có :

Ta hoàn toàn có thể thấy đồ thị của những hàm số USD y = log_ { a } x USD và y = b luôn cắt nhau tại một điểm $ \ forall b \ in R USD
Như vậy, phương trình Logarit $ log_ { a } x = b ( a > b ; a \ neq 1 ; x > 0 ) USD luôn có nghiệm duy nhất là USD x = a ^ { b } $ với mọi b
– Ví dụ : USD log_ { 3 } x = 2 \ Leftrightarrow x = 3 ^ { 2 } = 9 USD

1.2. Bất phương trình Logarit

Tương tự như phương trình Logarit, bất pt Logarit có dạng USD log_ { a } x > b ; log_ { a } x \ geqslant b ; log_ { a } x < b ; log_ { a } x \ leqslant b USD với điều kiện kèm theo USD a > 0 ; a \ neq 1 ; x > 0 USD
Chứng minh bất phương trình Logarit $ log_ { a } x > b USD có nghiệm
– Xét bất phương trình Loga, ta có :
+ Trường hợp USD a > 1 : log_ { a } x > b \ Leftrightarrow x > a ^ { b } $

+ Trường hợp $0 b \Leftrightarrow 0< x<  a^{b}$

– Minh họa bất phương trình USD log_ { a } x > b USD bằng đồ thị với 2 trường hợp, ta có :

Như vậy :
+ Trường hợp a > 1 : USD log_ { a } x > b USD khi và chỉ khi USD x > a ^ { b } $

+ Trường hợp 0 b$ khi và chỉ khi $0< x<  a^{b}$

– Kết luận : Nghiệm của bất phương trình Logarit $ log_ { a } x > b USD gồm có

USD log_ { a } x > b USD	USD a > 0 USD	USD a < 0 < 1 USD
Nghiệm	USD x > a ^ { b } $	USD 0 < x < a ^ { b } $

Ví dụ : USD log_ { 3 } x > 5 \ Leftrightarrow x > 3 ^ { 5 } \ Leftrightarrow x = 243 USD
Xem thêm : Bất phương trình Logarit cơ bản – khá đầy đủ và dễ hiểu nhất

2. Các cách giải bất phương trình logarit 

Để giải những bất pt Logarit, tất cả chúng ta có những cách sau :

2.1. Giải bất PT Logarit bằng giải pháp đưa về cùng cơ số

Ví dụ 1: (THPT Hàm Rồng 2019) Bất phương trình $log_{4}(x+7)> log_{2}(x+1)$ có bao nhiêu nghiệm nguyên

A. 3          B.1          C.4          D.2

Lời giải : Chọn D
Điều kiện xác lập của bất phương trình Logarit là :

$\left\{\begin{matrix}x+7> 0 &  & \\ x+1> 0 &  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x> -7 &  & \\ x> -1&  & \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x> -1$

Ta có : USD log_ { 4 } ( x + 7 ) > log ^ { 2 } ( x + 1 ) \ Leftrightarrow \ frac { 1 } { 2 } log_ { 2 } ( x + 7 ) > log ^ { 2 } ( x + 1 ) \ Leftrightarrow log_ { 2 } ( x + 7 ) > log_ { 2 } ( x + 1 ) ^ { 2 } $
USD \ Leftrightarrow x ^ { 2 } + x-6 < 0 \ Leftrightarrow - 3 < x < 2 USD Kết hợp điều kiện kèm theo bpt logarit ta được : USD - 1 < x < 2 USD Vì USD x \ in Z $ nên tìm được x = 0, x = 1

Ví dụ 2: (THPT Hai Bà Trưng – Huế – 2019) Có tất cả bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bpt logarit $log_{\frac{1}{2}}[log_{2}(2-x^{2})]> 0$

A. Vô số          B.1          C.0          D.2

Lời giải : Chọn C
USD log_ { \ frac { 1 } { 2 } } [ log_ { 2 } ( 2 – x ^ { 2 } ) ] > 0 USD

$\Leftrightarrow 0< log_{2}(2-x^{2})< 1$

USD \ Leftrightarrow 1 < 2 - x ^ { 2 } < 2 USD USD \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } 2 - x ^ { 2 } < 2 và và \ \ 2 - x ^ { 2 } > 1 và và \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x ^ { 2 } > 0 và và \ \ x ^ { 2 } < 1 và và \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } x \ neq 0 và và \ \ - 1 < x < 1 và và \ end { matrix } \ right. $ Kết hợp với giả thiết x là số nguyên, ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn nhu cầu bpt logarit USD log_ { \ frac { 1 } { 2 } } [ log_ { 2 } ( 2 - x ^ { 2 } ) ] > 0 USD
Từ 2 ví dụ trên cho thấy, để vận dụng chiêu thức đưa về cùng cơ số, ta chỉ cần nghiên cứu và phân tích, đổi khác những cơ số về thành cơ số chung. Từ đó ta đưa về dạng bất phương trình cơ bản và giải như thông thường .

2.2. Giải bất phương trình Logarit bằng giải pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S của bpt logarit $log_{2}^{2}x-5log_{2}x+4\geqslant 0$

A. $S=(-\infty;1]\cup [4;+\infty ]$

B. $S=[2;16]$

C. $S=(0;2]\cup [16;+\infty]$

D. $S= (-\infty;2)\cup[16;+\infty)$

Lời giải : Chọn C
– Điều kiện x > 0
– BPT tương tự : USD log_ { 2 } x \ geqslant 4 USD hoặc USD log _ { 2 } x \ geqslant 1 log _ { 2 } x \ geqslant 1 USD
USD x \ geqslant 16 USD hoặc USD x \ leqslant 2 USD
– Kết hợp điều kiện kèm theo ta có : USD S = ( 0 ; 2 ] \ cup [ 16 ; + \ infty ] $

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $log_{x}2(2+log_{2}x)> \frac{1}{log_{2x}2}$

Lời giải :
Điều kiện $ \ left \ { \ begin { matrix } x > 0 và và \ \ x \ neq 1 và và \ \ x \ neq \ frac { 1 } { 2 } và và \ end { matrix } \ right. $
( 4 ) USD log_ { x } 2 ( 2 + log_ { 2 } x ) > log_ { 2 } ( 2 x ) \ Leftrightarrow log_ { x } 2 ( 2 + log_ { 2 } x ) > 1 + log_ { 2 } x USD
Đặt USD t = log_ { 2 } x USD, ta có :
USD \ frac { 1 } { t } ( 2 + t ) > 1 + t \ Leftrightarrow \ frac { 2 + t-t ( 1 + t ) } { t } > 0 \ Leftrightarrow \ frac { – t ^ { 2 } + 2 } { t } > 0 $ khi và chỉ khi : USD 0 < t < \ sqrt { 2 } $ hoặc USD t < - \ sqrt { 2 } $ + Với trường hợp USD 0 < t < \ sqrt { 2 } \ Rightarrow 0 < log_ { 2 } x < \ sqrt { 2 } \ Leftrightarrow 1 < x < 2 ^ { \ sqrt { 2 } } $ + Với trường hợp USD t < - \ sqrt { 2 } \ Rightarrow log_ { 2 } x < - \ sqrt { 2 } \ Leftrightarrow 0 < x < 2 ^ { - \ sqrt { 2 } } $ Vậy tập nghiệm của BPT ( 4 ) là USD x \ in ( 0 ; 2 ^ { - \ sqrt { 2 } } ) \ cup ( 1 ; 2 ^ { \ sqrt { 2 } } ) USD Từ những ví dụ minh họa trên, ta hoàn toàn có thể thấy mục tiêu của chiêu thức này chính là quy đổi bất pt logarit ở đề bài về những dạng bất phương trình logarit đại số quen thuộc. Để làm được như vậy, tất cả chúng ta chỉ cần nghiên cứu và phân tích và tìm ra điểm chung giữa những cơ số. Sau đó đặt tên cho cơ số chung rồi đưa về dạng bất phương trình USD ax ^ { 2 } + bx + c \ geqslant 0 USD rồi giải như thông thường .

2.3. Giải bất phương trình Logarit bằng giải pháp hàm số

Ví dụ 1: Cho bất phương trình: $x+ log_{2}\sqrt{x+1}+log_{3}\sqrt{x+9}> 1 (5)$

Lời giải :
Điều kiện USD x > – 1 USD
Bất pt Logarit
USD \ Leftrightarrow x + \ frac { 1 } { 2 } log_ { 2 } ( x + 1 ) + \ frac { 1 } { 2 } log_ { 3 } ( x + 9 ) > 1 \ Leftrightarrow g ( x ) = 2 x + log_ { 2 } ( x + 1 ) + log_ { 3 } ( x + 9 ) > 2 USD
USD g ‘ ( x ) = 2 + \ frac { 1 } { ( x + 1 ) In2 } + \ frac { 1 } { ( x + 9 ) In3 } > 0 \ Rightarrow g ( x ) USD đồng biến trên USD ( – 1 ; + \ infty ) USD
BPT $ \ Leftrightarrow g ( x ) > g ( 0 ) \ Leftrightarrow x > 0 USD
Vậy nghiệm của BPT là USD ( 0 ; + \ infty ) USD

Ví dụ 2: Cho bpt logarit $2x^{2}-10x+10> log_{2}\frac{2x-2}{(x-2)^{2}}$ (6)

Lời giải
Điều kiện : USD x > \ frac { 1 } { 2 } ; x \ neq 2 USD
Khi đó BPT $ \ Leftrightarrow 2 ( x-2 ) ^ { 2 } + log_ { 2 } ( x-2 ) ^ { 2 } > 2. \ frac { 2 x – 1 } { 2 } + log_ { 2 } \ frac { 2 x – 1 } { 2 } $
Ta có : USD f [ ( x-2 ) ^ { 2 } ) ] > g \ frac { 2 x – 1 } { 2 } \ Leftrightarrow ( x-2 ) ^ { 2 } > \ frac { 2 x – 1 } { 2 } $
Đáp số : USD x > \ frac { 5 + \ sqrt { 7 } } { 2 } ; \ frac { 5 – \ sqrt { 7 } } { 2 } > x > \ frac { 1 } { 2 } $

Bên cạnh giải pháp đưa về cùng cơ số hoặc đặt ẩn phụ, tất cả chúng ta trọn vẹn hoàn toàn có thể vận dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm ra tập nghiệm của những bất phương trình Logarit .

Xem thêm : Cách giải bất phương trình Logarit – có ví dụ dễ hiểu

3. Các bài tập về 

bất pt Logarit

hay nhất, có lời giải 

Tải trọn bộ đề + đáp án bài tập Bất phương trình logarit tại : Tuyển chọn BT bất phương trình logarit

Bạn cũng có thể xem thêm livestream Bất phương trình logarit của thầy Thành Đức Trung để nắm trọn các dạng bài phần kiến thức này nhé: 

Trên đây là những công thức cũng như bài tập vận dụng về bất phương trình Logarit mà các em có thể tham khảo. Chúc em học tốt!

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp