Tóm tắt nội dung bài viết
Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài tập khó thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.
Muốn giải được những hệ phương trình bậc cao những em học viên đọc những giải pháp dưới đây .
Phương pháp đưa về hằng đẳng thức
Đây là giải pháp mà tất cả chúng ta nên chú ý quan tâm tiên phong. Chúng ta cần chú ý xem phương trình trong hệ hoàn toàn có thể đổi khác về những hằng đẳng thức đã học hay không .Chúng ta xét những ví dụ dưới đây để hiểu về chiêu thức này .
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau
Bạn đang đọc: Phương pháp giải hệ phương trình bậc cao
a)
b)
Giải
a) Điều kiện: . Phương trình (1) tương đương:
Đặt . Ta có phương trình: ⇔ . Do
thay vào ta có: Đặt ta có hệ phương trình sau:
.
Vậy hệ có nghiệm
b) Điều kiện: .
Ta viết lại phương trình (1) thành:
Dễ thấy không phải là nghiệm. Khi thay vào (2) ta được:
(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm .
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau
a)
b)
Giải
a) Điều kiện: .
Ta thấy không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho ta được:
. Đặt ta có phương trình: suy ra
. Từ đó tính được
Vậy hệ đã cho có nghiệm .
b) Điều kiện: .Ta thấy khi thì hệ không có nghiệm.
Chia phương trình (1) cho :
Đặt . Ta có ⇒ ⇔ .
Thay vào (2) ta được: .
⇔ . Vậy hệ có nghiệm .
Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2
Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến hóa x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau :* Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp* Nếu Δ không chẵn ta thường giải quyết và xử lý theo cách :+ Cộng hoặc trừ những phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành những hằng đẳng thức+ Dùng điều kiện kèm theo Δ ≥ 0 để tìm miền giá trị của biến x, y. Sau đó nhìn nhận phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được :Minh họa cách làm này qua những ví dụ dưới đây .
Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau
a)
b)
Giải
Xét phương trình ( 1 ) của hệ ta có :
. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của thì ta có: . Từ đó suy ra
Trường hợp 1: . Từ phương trình của hệ ta có điều kiện: suy ra phương trình vô nghiệm
Trường hợp 2: thay vào phương trình thứ hai ta có:
Vậy hệ có một cặp nghiệm:
b ) Xét phương trình ( 1 ) của hệ ta có :
Coi đây là phương trình bậc 2 của ta có :
Suy ra
Trường hợp 1: thay vào phương trình (2) ta thu được:
⇔
Do nên
Trường hợp 2: thay vào phương trình (2) ta thu được:
Giải tương tự như trên ta được .
Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm:
Phương pháp đánh giá
Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ .
Ngoài ra ta cũng hoàn toàn có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng nhìn nhận, so sánh tương thích .
Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau
a)
b)
Giải
a) Điều kiện: .
Đặt .
Ta có: .
Ta sử dụng bổ đề với ta có bất đẳng thức:
(đúng).
Vậy .
Đẳng thức xảy ra khi . Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của phương trình.
Nghiệm của hệ .
b) Điều kiện: .
Phương trình (1) tương đương: .
Đặt phương trình (1) thành:
Thay vào (2) ta được: .
Ta có
Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm .
Bài tập giải hệ PT bậc cao
Bài 1: Giải hệ phương trình
Bài 2: Giải hệ phương trình
Bài 3: Giải hệ phương trình
Bài 4: Giải hệ phương trình:
Bài 5: Tìm thỏa mãn :
Đại số 9 – Tags: bồi dưỡng hsg toán 9, hệ phương trình, toán nâng cao
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận