Phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

Tóm tắt nội dung bài viết

Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài tập khó thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.
Phương pháp đưa về hằng đẳng thức
Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2
Phương pháp đánh giá
Bài tập giải hệ PT bậc cao

Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài tập khó thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.

Muốn giải được những hệ phương trình bậc cao những em học viên đọc những giải pháp dưới đây .

Phương pháp đưa về hằng đẳng thức

Đây là giải pháp mà tất cả chúng ta nên chú ý quan tâm tiên phong. Chúng ta cần chú ý xem phương trình trong hệ hoàn toàn có thể đổi khác về những hằng đẳng thức đã học hay không .Chúng ta xét những ví dụ dưới đây để hiểu về chiêu thức này .

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

Bạn đang đọc: Phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

a) $\left\{ \begin{array}{l}\left( 3-x \right)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0\\\sqrt[3]{x+2}+2\sqrt{y+2}=5\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}=2{{x}^{4}}+{{x}^{6}}\\\left( x+2 \right)\sqrt{y+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.$

Giải

a) Điều kiện: $x\le 2,y\ge \frac{1}{2}$ . Phương trình (1) tương đương:

$\left( 2-x \right)\sqrt{2-x}+\sqrt{2-x}=\left( 2y-1 \right)\sqrt{2y-1}+\sqrt{2y-1}$

Đặt $a=\sqrt{2-x},b=\sqrt{2y-1}$ . Ta có phương trình: $\displaystyle {{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b$ ⇔ $\displaystyle \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1 \right)=0$ . Do ${{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1={{\left( a+\frac{b}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}+1>0″ class=”ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format” height=”27″ src=”https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-7737f24a8ce855e366dd18493136cdfa_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”321″/> suy ra phương trình cho ta <img loading=$

$\sqrt{2y-1}=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=3-2y$ thay vào ta có: $\sqrt[3]{5-2y}+2\sqrt{y+2}=5\Leftrightarrow$ Đặt $a=\sqrt[3]{5-2y};b=\sqrt{y+2}$ ta có hệ phương trình sau:

$\left\{ \begin{array}{l}a+2b=5\\{{a}^{3}}+2{{b}^{2}}=9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=1;b=2\\a=\frac{-3-\sqrt{65}}{4};b=\frac{23+\sqrt{65}}{8}\\a=\frac{\sqrt{65}-3}{4};b=\frac{23-\sqrt{65}}{8}\end{array} \right.$ .

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=2\\y=\frac{233+23\sqrt{65}}{32}\\y=\frac{233-23\sqrt{65}}{32}\end{array} \right.$

Vậy hệ có nghiệm

$\left( x;y \right)=\left( -1;2 \right),\left( \frac{23\sqrt{65}-185}{16};\frac{233-23\sqrt{65}}{32} \right),\left( -\frac{23\sqrt{65}+185}{16};\frac{233+23\sqrt{65}}{32} \right)$

b) Điều kiện: $y\ge -1$ .

Ta viết lại phương trình (1) thành: ${{y}^{3}}-{{x}^{6}}+2{{x}^{2}}\left( y-{{x}^{2}} \right)=0$

Xem Thêm Nơi tiếng Anh không dành cho người nói tiếng Anh - BBC News Tiếng Việt

$\Leftrightarrow \left( y-{{x}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+y{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}\\x=y=0\end{array} \right.$

Dễ thấy $x=y=0$ không phải là nghiệm. Khi $y={{x}^{2}}$ thay vào (2) ta được:

$\left( x+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\sqrt{3},y=3\\x=-\sqrt{3},y=3\end{array} \right.$

(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( \pm \sqrt{3};3 \right)$ .

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau

a) $\left\{ \begin{array}{l}{{x}^{5}}+x{{y}^{4}}={{y}^{10}}+{{y}^{6}}\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{{{y}^{2}}+8}=6\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x-1=2{{x}^{3}}\left( 2-y \right)\sqrt{3-2y}\\\sqrt{x+2}=\sqrt[3]{14-x\sqrt{3-2y}}+1\end{array} \right.$

Giải

a) Điều kiện: $x\ge -\frac{5}{4}$ .

Ta thấy $y=0$ không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho ${{y}^{5}}$ ta được:

${{\left( \frac{x}{y} \right)}^{5}}+\frac{x}{y}={{y}^{5}}+y$ . Đặt $a=\frac{x}{y}$ ta có phương trình: ${{a}^{5}}+a={{y}^{5}}+y$ suy ra $\left( a-y \right)\left( {{a}^{4}}+{{a}^{3}}y+{{a}^{2}}{{y}^{2}}+a{{y}^{3}}+1 \right)=0\Leftrightarrow y=a\Leftrightarrow x={{y}^{2}}$

$\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=\pm 1$ . Từ đó tính được $y=\pm 1$

Vậy hệ đã cho có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( 1;\pm 1 \right)$ .

b) Điều kiện: $x\ge -2;y\le \frac{3}{2}$ .Ta thấy khi thì hệ không có nghiệm.

Chia phương trình (1) cho ${{x}^{2}}\ne 0$ :

$\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2-\frac{4}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}=\left( 4-2y \right)\sqrt{3-2y}$

$\Leftrightarrow {{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}^{3}}+\left( 1-\frac{1}{x} \right)={{\left( \sqrt{3-2y} \right)}^{3}}+\sqrt{3-2y}$

Đặt $\displaystyle a=1-\frac{1}{x},b=\sqrt{3-2y}$ . Ta có ${{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b$ ⇒ $a=b$ ⇔ $\sqrt{3-2y}=1-\frac{1}{x}$ .

Thay vào (2) ta được: $x+2-\sqrt[3]{15-x}=1\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{15-x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-14=0$ .

⇔ $x=7\Rightarrow y=\frac{111}{98}$ . Vậy hệ có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( 7;\frac{111}{98} \right)$ .

Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến hóa x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau :* Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp* Nếu Δ không chẵn ta thường giải quyết và xử lý theo cách :+ Cộng hoặc trừ những phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có chẵn hoặc tạo thành những hằng đẳng thức+ Dùng điều kiện kèm theo Δ ≥ 0 để tìm miền giá trị của biến x, y. Sau đó nhìn nhận phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được :Minh họa cách làm này qua những ví dụ dưới đây .

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau

Xem Thêm Ăn nhiều móng giò có béo không? Ăn bao nhiêu là đủ?

a) $\left\{ \begin{array}{l}xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}\\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+3x-2y+1=0\\4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}\end{array} \right.$

Giải

Xét phương trình ( 1 ) của hệ ta có :

$xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x(y+1)-2{{y}^{2}}-y=0$ . Ta coi đây là phương trình bậc 2 của $x$ thì ta có: $\Delta ={{(y+1)}^{2}}+8{{y}^{2}}+4y={{(3y+1)}^{2}}$ . Từ đó suy ra

Xem thêm: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

$\left[ \begin{array}{l}x=\frac{y+1-(3y+1)}{2}=-y\\x=\frac{y+1+(3y+1)}{2}=2y+1\end{array} \right.$

Trường hợp 1: $x=-y$ . Từ phương trình của hệ ta có điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\y\ge 0\end{array} \right.$ suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: $x=2y+1$ thay vào phương trình thứ hai ta có:

$\begin{array}{l}(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2y+2\Leftrightarrow y\sqrt{2y}+\sqrt{2y}=2(y+1)\\\Leftrightarrow (y+1)\left( \sqrt{2y}-2 \right)=0\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=5\end{array}$

Vậy hệ có một cặp nghiệm: $(x;y)=(5;2)$

b ) Xét phương trình ( 1 ) của hệ ta có :

$2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+3x-2y+1=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x(3-3y)+{{y}^{2}}-2y+1=0$

Coi đây là phương trình bậc 2 của ta có :

$\Delta ={{(3-3y)}^{2}}-8\left( {{y}^{2}}-2y+1 \right)={{y}^{2}}-2y+1={{(y-1)}^{2}}$

Suy ra $\left[ \begin{array}{l}x=\frac{3y-3-(y-1)}{4}=\frac{y-1}{2}\\x=\frac{3y-3+(y-1)}{4}=y-1\end{array} \right.$

Trường hợp 1: $y=x+1$ thay vào phương trình (2) ta thu được:

$\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\\\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x+(x+1-\sqrt{3x+1})+(x+2-\sqrt{5x+4})=0\end{array}$

⇔ $\left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ 3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}} \right]=0$

Do $x\ge -\frac{1}{3}$ nên $3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}>0″ class=”ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format” height=”27″ src=”https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e706e57583775e5408c6662d66c89cd5_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”252″/></p> <p>⇒ <img loading=$

Trường hợp 2: $y=2x+1$ thay vào phương trình (2) ta thu được:

$3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x+4}\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+\sqrt{5x+4}+3x-3=0$

Giải tương tự như trên ta được $x=0$ .

Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: $(x;y)=(0;1),(1;2)$

Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ $x,y$ .

Ngoài ra ta cũng hoàn toàn có thể dùng hàm số để tìm GTLN, GTNN từ đó có hướng nhìn nhận, so sánh tương thích .

Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau

a) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9}\end{array} \right.$

b) $\left\{ \begin{array}{l}x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+{{x}^{2}}=2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}\\76{{x}^{2}}-20{{y}^{2}}+2=\sqrt[3]{4x\left( 8x+1 \right)}\end{array} \right.$

Giải

a) Điều kiện: $0\le x,y\le \frac{1}{2}$ .

Đặt $a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y;a,b\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right]$ .

Ta có: $VT=\frac{1}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}\le \sqrt{2\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}} \right)}$ .

Ta sử dụng bổ đề với $a,b>0″ class=”ql-img-inline-formula quicklatex-auto-format” height=”16″ src=”https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6e116d57097571d63b4cbcd069c291d2_l3.png” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” width=”57″/> và <img loading=$ ta có bất đẳng thức:

Xem Thêm Cách phân bố thời gian làm bài thi THPT quốc gia môn Tiếng Anh như thế nào?

$\frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}}\le \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( ab-1 \right)}{\left( 1+ab \right)\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}\le 0$ (đúng).

Vậy $VT\le \frac{2}{\sqrt{1+ab}}=VP$ .

Đẳng thức xảy ra khi $x=y$ . Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ $\left( x;y \right)=\left( \frac{9-\sqrt{73}}{36};\frac{9-\sqrt{73}}{36} \right),\left( \frac{9+\sqrt{73}}{36};\frac{9+\sqrt{73}}{36} \right)$ .

b) Điều kiện: $x\ge {{y}^{2}}\ge 0$ .

Phương trình (1) tương đương: ${{x}^{3}}+x\left( x-{{y}^{2}} \right)-2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}=0$ .

Đặt $\sqrt{x-{{y}^{2}}}=u$ phương trình (1) thành:

$\displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}$

Thay vào (2) ta được: $96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}$ .

Ta có $96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}=\sqrt[3]{1.1.\left( 32{{x}^{2}}+4x \right)}\le \frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}$

$\Leftrightarrow 3\left( 96{{x}^{2}}-20x+2 \right)\le 32{{x}^{2}}+4x+2\Leftrightarrow {{\left( 16x-2 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{8}$

Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm $\left( x;y \right)=\left( \frac{1}{8};\pm \frac{\sqrt{7}}{8} \right)$ .

Bài tập giải hệ PT bậc cao

Bài 1: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\\{{x}^{2}}-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\end{array} \right.$

Bài 2: Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}\left| xy-2 \right|=4-{{y}^{2}}(1)\\{{x}^{2}}-xy+1=0(2)\end{array} \right.$

Bài 3: Giải hệ phương trình $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8x-y=6\\{{x}^{2}}-y=-6\end{array} \right.$

Xem thêm: Một Loại Rau Muống Trong Tiếng Anh Là Gì, Rau Muống In English

Bài 4: Giải hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2x}-y=6\\\frac{1}{x}+2y=-4\end{array} \right.$

Bài 5: Tìm $\displaystyle x;y$ thỏa mãn : $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+\sqrt{2015+{{x}^{2}}})(y+\sqrt{2015+{{y}^{2}}})=2015\\3{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-12xy=23\end{array} \right.$