Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp chi tiết nhất – Toán lớp 11
1. Lý thuyết
– Hoán vị của n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.
– Chỉnh hợp chập k của n ( 0 ≤ k ≤ n ) : Ank = n ! ( n − k ) !
– Tổ hợp chập của n ( 0 ≤ k ≤ n ) : Cnk = n ! ( n − k ) ! k ! = Ankk !
– Tính chất của tổ hợp :
Cnk = Cnn − k, ( 0 ≤ k ≤ n ) Cn + 1 k + 1 = Cnk + Cnk + 1, ( 1 ≤ k ≤ n )
2. Phương pháp giải
Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về những phương trình, bất phương trình đã học và xử lý .
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải phương trình:
a ) 2A x2 = Cxx − 1 + 23 x
b ) 3A n2 − A2n2 + 42 = 0
c ) Cx + 1 x − 2 + 2C x − 13 = 7 ( x − 1 )
Lời giải
a ) 2A x2 = Cxx − 1 + 23 x
Điều kiện : x ≥ 2 x ∈ ℕ
Phương trình trên tương tự với :
2 x ! ( x − 2 ) ! = x ! ( x − 1 ) !. 1 ! + 23 x
⇔ 2 xx − 1 = x + 23 x ⇔ 2×2 − 2 x − 24 x = 0 ⇔ 2×2 − 26 x = 0 ⇔ x2 − 13 x = 0 ⇔ x = 0 ( Loại ) x = 13
Vậy nghiệm của phương trình là x = 13 .
b ) 3. An2 − A2n2 + 42 = 0
Điều kiện : n ≥ 2 n ∈ ℕ
Phương trình trên tương tự với
3 n ! ( n − 2 ) ! − ( 2 n ) ! ( 2 n − 2 ) ! + 42 = 0 ⇔ 3 n ( n − 1 ) − 2 n ( 2 n − 1 ) + 42 = 0 ⇔ 3 n2 − 3 n − 4 n2 + 2 n + 42 = 0 ⇔ − n2 − n + 42 = 0 ⇔ − n + 7 n − 6 = 0 ⇔ n = 6 n = − 7 ( Loại )
Vậy nghiệm của phương trình là : n = 6 .
c ) Cx + 1 x − 2 + 2C x − 13 = 7 ( x − 1 )
Điều kiện : x − 1 ≥ 3 x ∈ ℕ ⇔ x ≥ 4 x ∈ ℕ
Ví dụ 2: Giải bất phương trình
a ) An3 + 15 < 15 n
b) An3
Lời giải
a ) Điều kiện : n ≥ 3, n ∈ ℕ
Ta có : An3 + 15 < 15 n
⇔ n ! ( n − 3 ) ! + 15 − 15 n < 0 ⇔ n ( n − 1 ) ( n − 2 ) − 15 ( n − 1 ) < 0 ⇔ ( n − 1 ) n2 − 2 n − 15 < 0 ⇔ ( n − 1 ) ( n + 3 ) ( n − 5 ) < 0
Vì nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0
Kết hợp với điều kiện kèm theo, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn nhu cầu .
Vậy nghiệm của bất phương trình : n = 3 ; n = 4 .
b ) Điều kiện : n ≥ 3, n ∈ N .
An3
Kết hợp với điều kiện kèm theo, ta có n = 3 thỏa mãn nhu cầu .
Vậy nghiệm của bất phương trình : n = 3 .
Ví dụ 3. Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?
Lời giải
Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện : n ∈ ℕ và n > 3 .
Vậy số cạnh của đa giác cũng là n .
Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên là Cn2 đoạn thẳng
Do đó số đường chéo của đa giác là Cn2-n .
Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có :
Cn2 − n = 2 n ⇔ n ! 2 !. ( n − 2 ) ! = 3 n ⇔ n ( n − 1 ) 2 = 3 n ⇔ n2 − n = 6 n ⇔ n2 − 7 n = 0 ⇔ n = 0 ( Loại ) n = 7
Vậy đa giác có 7 cạnh .
4. Bài tập tự luyện
Câu 1. Nghiệm của phương trình: Cn3=10 là
A. 6
B. 5
C. 3
D. 4
Câu 2. Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trình Ax2−Ax1=3 là
A.{-1}
B. {3}
C.{-1;3}
D.{1}
Câu 3. Nghiệm của phương trình Ax3+Cxx−2=14x là
A. Một số khác.
B. x = 6
C. x = 5
D. x = 4
Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trình Cx2+Cx3= 4x.
A.{0}
B.{-5; 5}
C.{5}
D.{-5; 0; 5}
Câu 5. Cho số tự nhiên n thỏa mãn Cn2+An2=9n. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. n chia hết cho 7
B. n chia hết cho 5
C. n chia hết cho 2
D. n chia hết cho 3
Câu 6. Nghiệm của phương trình Ax10+Ax9=9Ax8 là
A. x = 5
B. x = 11
C. x = 11; x = 5
D. x = 10; x = 2
Câu 7. Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãn 1Cn1−1Cn+12=76Cn+41 là
A. 13
B. 11
C. 10
D. 12
Câu 8. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn An2−3Cn2=15−5n
A. 13
B. 10
C. 12
D. 11
Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An2=Cn2+Cn1+4n+6. Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thức Px=x2+3xn bằng
A. 18564
B. 64152
C. 192456
D. 194265
Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn của n2x+x22nx≠0, biết số nguyên dương n thỏa mãn Cn3+An2=50.
A. 2951.
B. 297512.
C. 9712.
D. 279215.
Câu 11. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn+12Cn2≥310n là
A. 0≤n≤2
B. 1≤n≤5
C. 2≤n≤5
D. 2≤n<4
Câu 12. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) An+13+Cn+1n−1<14(n+1) là
A. 2≤n≤5
B. 0≤n≤2
C. 1≤n≤5
D. 2≤n<4
Câu 13. Nghiệm của phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên) Cn+2n−1+Cn+2n>52An2 là
A. n≥2
B. n≥3
C. n≥5
D. n≥4
Câu 14. Nghiệm bất phương trình sau: 12A2x2−Ax2≤6xCx3+10 là
A. x = 3; x = 4
B. x = 3
C. x = 2; x = 3; x = 4
D. x = 4
Câu 15. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là
A. 10
B. 7
C. 8
D. 9
Bảng đáp án
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| B | B | C | C | A | B | B | D | C | B | C | D | A | A | B |
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:
Xác định biến cố và tính Phần Trăm của biến cố cụ thể nhất
Trọn bộ công thức tính xác suất đầy đủ, chi tiết nhất
Phương pháp quy nạp toán học và cách giải
Dãy số và cách giải những dạng bài tập
Cấp số cộng và cách giải những dạng bài tập
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận