Kết luận: Vậy bất phương trình có nghiệm là . – Tài liệu text

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản khá đầy đủ của tài liệu tại đây ( 617.67 KB, 54 trang )

Khãa luËn tèt nghiÖp

Tr­êng §HSP Hµ Néi 2

Ta nhớ lại rằng: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó nếu

biểu thức không âm, bằng số đối của nó nếu biểu thức âm.

| | =

A nếu A  0

A

nếu A < 0 Các phương pháp để khử dấu giá trị tuyệt đối: + Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng định nghĩa giá trị tuyệt đối. + Sử dụng phép biến đổi tương đương bằng tính chất của giá trị tuyệt đối. + Sử dụng phép biến đổi tương đương bình phương hai vế của biểu thức. Khi thực hiện khử dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét xem giá trị của biến làm cho biểu thức âm hay không âm. Nếu biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối là nhị thức bậc nhất ta cần nhớ định lí sau : * Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax  b  a  0  : Cùng dấu với a với các giá trị của x lớn hơn nghiệm của nhị thức . Trái dấu với a với các giá trị của x nhỏ hơn nghiệm của nhị thức. Việc sử dụng dấu nhị thức bậc nhất để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối được gọi là phương pháp chia khoảng. Ngoài ra, trong một số trường hợp, có thể giải nhanh hơn cách dùng phương pháp chia khoảng nói trên bởi các biến đổi tương đương sau : * Dạng 1: Với a là số dương, ta có: f ( x )  a   a  f ( x )  a f ( x)  g ( x)   g ( x)  f ( x)  g ( x) NguyÔn Linh Chi 25 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 * Dạng 2 :  f ( x)  a Với số a dương ta có: f ( x)  a    f ( x)  a  f ( x)   g ( x) f ( x)  g ( x)    f ( x)  g ( x) 2 2 * Dạng 3 : f ( x )  g ( x )   f ( x )    g ( x )  * Ví dụ : Giải bất phương trình: 3 2 x  1  2 x  1 (1) Hướng dẫn: Cách 1: (Theo phương pháp chia khoảng ) 1 * Xét khoảng x , (1) có dạng: 2 31  2 x   2 x  1  3  6 x  2 x  1  8x  2  x  Nghiệm của bất phương trình trong khoảng x  1 4 1 1 1 là  x  4 2 2 1 * Xét khoảng x , (1) có dạng : 2 3  2 x  1  2 x  1  6 x  3  2 x  1  4 x  4  x  1 Nghiệm của bất phương trình trong khoảng này là 1  x 1 2 1 Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là  x  1 4 Cách 2:( Phương pháp biến đổi tương đương) Biến đổi thành phương trình tương đương theo dạng 1 ta có: 3 2 x  1    2 x  1 3 2x 1  2x  1   3 2 x  1  2 x  1 NguyÔn Linh Chi 26 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 6 x  3  2 x  1 8 x  2   6 x  3  2 x  1 4 x  4 1  1 x   4   x 1 4  x  1 1 Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là  x  1 4 2.2.5. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai * Khái niệm: Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai với các dạng cơ bản là: f ( x )  g ( x ); f ( x )  g ( x ); f ( x )  g ( x ); f ( x)  g ( x) . Phương pháp giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức bậc hai bao gồm phương pháp biến đổi tương đương và phương pháp đặt ẩn phụ. * Phương pháp biến đổi tương đương: Nội dung của phương pháp này là sử dụng các tính chất của lũy thừa và các phép biến đổi tương đương của bất phương trình nhằm đưa các bất phương ban đầu về bất phương trình đã biết cách giải. 1, Dạng

f ( x )  g ( x ); f ( x )  g ( x )  g ( x)  0  f ( x)  g ( x)   f ( x)  0  2  f ( x)  g ( x)  g ( x)  0  f ( x )  g ( x)   f ( x )  0  f ( x)  g 2 ( x)  * Ví dụ: Giải phương trình: 2 x2  6 x  1  x  2 (1) Hướng dẫn: NguyÔn Linh Chi 27 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 x  2  0  (1)  2 x 2  6 x  1  0  2 2 2 x  6 x  1   x  2  x  2  x  3  7  2  x  3  7  2  2 x  2x  3  0 Kết luận: Nghiệm của bất phương trình đã cho là 2, Dạng 3 7  x3 2 f ( x )  g ( x ); f ( x )  g ( x )   f ( x)  0   g ( x)  0 f ( x)  g ( x)    g ( x)  0     f ( x)  g 2 ( x)   g ( x)  0   f ( x)  0 f ( x)  g ( x)    g ( x)  0     f ( x)  g 2 ( x) * Ví dụ: Giải bất Phương trình:   2 x 2  16  x  3  7  x (1) Hướng dẫn: Để giải được bất phương trình này học sinh cần biến đổi để đưa bất phương trình về dạng:  f ( x)  g ( x) .  Ta có: (1)  2 x 2  16  10  2 x   x 2  16  0   x5 10  2 x  0       x  10  10  2 x  0  10  34  x  5   2 2   2( x  16)  (10  2 x )  34  Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = 10  34;  . NguyÔn Linh Chi 28 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 * Lưu ý: i, Với các bất phương trình có chứa tham số ta thực hiện theo các bước: Bước 1: Đặt điều kiện (nếu cần) Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương chuyển bất phương trình về hệ bất phương trình đại số, từ đó xác định nghiệm x. Bước 3: Kiểm tra điều kiện cho nghiệm x tìm được. Bước 4: Kết luận. ii, g( x) thường là nhị thức bậc nhất  ax  b  nhưng có một số trường hợp   g( x) là tam thức bậc hai a 2  bx  c, khi đó tuỳ theo từng bài ta có thể mạnh dạn đặt điều kiện cho g( x) rồi bình phương 2 vế đưa bất phương trình về dạng quen thuộc. * Phương pháp đặt ẩn phụ: Là phương pháp đặt ẩn số phụ cho bài toán để đưa bất phương trình về dạng đơn giản hơn đã biết cách giải. Đối với phương pháp này khi thực hiện đặt ẩn phụ cho bài toán cần chú ý đến các điều kiện của ẩn. * Ví dụ: Giải bất phương trình: 2 x x 2  2 x  x 2  1 Để giải được bài toán này trước hết học sinh phải biến đổi bất phương trình về dạng f ( x)  g ( x) . Khi giải bài toán này học sinh thường mắc phải sai lầm là không tìm điều kiện của bất phương trình do đó khi kết luận nghiệm sẽ dẫn đến kết luận nghiệm sai do học sinh lấy cả những giá trị mà tại đó bất phương trình không xác định. Hướng dẫn: Đặt t  x 2  2 x ; Điều kiện: t  0 Bất phương trình có dạng: x 2  2tx  1  0 Coi vế trái là một tam thức f ( x) bậc 2 theo x ta có: NguyÔn Linh Chi 29 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2   t 2  1  x 2  2 x  1   x  1 2  x  t  x 1 Khi đó f ( x)  0 có các nghiệm:  x  t  x 1 Tức là (1) được biến đổi về dạng:  x  t  x  1 x  t  x  1  0   x2  2x  1  x2  2x  2x  1  0 x2  2 x  2 x  1  0  x2  2 x  2 x  1  2 x  1  0  2 2 0  x  2 x   2 x  1 1  2 x  1  0 x  2     x0   x2  2 x  0 x0   2 3 x  2 x  1  0   x  2 Kết luận: Vậy bất phương trình có nghiệm là x  0 . 2.3. Hệ thống bài tập về bất phương trình Bài 1: Giải bất phương trình : x  2 x  5 x  8 x  11    89 86 83 80 (1)  Hướng dẫn: x  2 x  5 x  8 x  11    (1) 89 86 83 80  x  2   x  5   x  8   x  11    1    1    1    1  89   86   83   80   x  91 x  91 x  91 x  91    89 86 83 80  1 1 1 1   x  91       0 .  89 86 83 80   x  91  0  x  91 Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: T   ; 91 NguyÔn Linh Chi 30 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2  Nhận xét: * Sai lầm thường gặp: + Sai lầm của học sinh có thể mắc phải với bài tập này là học sinh sẽ vận dụng cách làm một cách máy móc đó là quy đồng, rút gọn rồi mới giải bất phương trình, làm như vậy thì các em sẽ khá vất vả với mẫu số lớn. + Một sai lầm nữa mà học sinh cũng rất dễ mắc phải là sẽ tách các biểu thức của bất phương trình thành: x 2 x 5 x 8 x 11        89 89 86 86 83 83 80 80 Làm như vậy cũng khiến bài toán bất phương trình trở nên phức tạp hơn. Đặc điểm của bài toán bất phương trình này là có các biểu thức ở hai vế của bất phương trình đều là những phân thức trong đó số hạng tự do ở tử thức cộng với mẫu thức đều bằng nhau. Từ đặc điểm này của bài toán mà ta có thể dựng lên rất nhiều bài toán bất phương trình tương tự với bài toán giải bất phương trình (1) ở trên. * Bài toán tương tự: Giải bất phương trình: x2  5x  1 x2  5x  2 x2  5x  2 x2  5x  3    (*) 3 2 6 7 Hướng dẫn: Thực hiện tương tự cách giải bất phương trình (1) ta có:  x 2  5x  4   x 2  5x  4   x 2  5x  4   x2  5x  4  (2)       3 2 6 7         1 1 1 1  x2  5x  4       0 3 2 6 7      x 2  5 x  4  0 (**) Nghiệm của bất phương trình (*) chính là nghiệm của bất phương trình (*). NguyÔn Linh Chi 31 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 Giải bất phương trình (**) suy ra tập nghiệm của bất phương trình (**) là: x   ; 4   1;   . Kết luận: Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: T   ; 4    1;   Bài 2: x 2  2mx  3m  2 Tìm m sao cho: 1 2 x 2  mx  2 (2) nghiệm đúng với x  R  Hướng dẫn: Vế trái tồn tại với x  R  2 x 2  mx  2  0 Tức là phương trình 2 x 2  mx  2  0 vô nghiệm:    0  m 2  16  0  4  m  4 Suy ra 2 x 2  mx  2  0 ;  x  R nên bất phương trình (2) có nghiệm với x  R khi và chỉ khi hệ bất phương trình: 4  m  4  2 2  x  2mx  3m  2  2 x  mx  2 (*) có nghiệm với x  R . 4  m  4 (*)   2 có nghiệm với x  R  x  mx  3m  0  4  m  4 4  m  4   4  m  0  2  12  m  0    m  12  0  Kết luận: Vậy với m   4;0 thì bất phương trình (2) có nghiệm với x  R .  Nhận xét: *Sai lầm thường gặp: Với bài toán này học sinh dễ dàng mắc phải những sai lầm là: + Nhân hai vế của bất phương trình (*) với 2 x 2  mx  2 khi chưa biết dấu của biểu thức này chẳng hạn như: NguyÔn Linh Chi 32 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2   x 2  2 mx  3m  2  1 2 x 2  mx  2  x 2  mx  3m  0 Đây là sai lầm rất hay thường gặp do học sinh chưa nắm được các phép biến đổi tương đương bất phương trình. + Một sai lầm nữa là học sinh không tìm điều kiện của bất phương trình và khi kết luận nghiệm của bất phương trình học sinh lấy cả những giá trị mà tại đó bất phương trình không xác định. * Cách giải khác: Điều kiện: 2 x 2  mx  2  0, x  R . Tức là phương trình 2 x 2  mx  2  0 vô nghiệm    0  m 2  16  0  4  m  4  x 2  2mx  3m  2  2 x 2  mx  2 (2)   2 x 2  mx  2  0 x 2  mx  3m 0 2 x 2  mx  2   x 2  mx  3m  0    2 x 2  mx  2  0    x 2  mx  3m  0  2   2 x  mx  2  0 (I ) ( II ) Tập nghiệm của bất phương trình (2) là hợp của hai tập nghiệm của hai hệ bất phương trình (I) và (II). Giải hệ bất phương trình (I) ta có :  x 2  mx  3m  0 (I )  có nghiệm với x  R 2 2 x  mx  2  0 1  m2  12m  0 12  m  0     4  m  0. 2  4  m  4   2  m  16  0 NguyÔn Linh Chi 33 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 Hệ bất phương trình (II) vô nghiệm. Kết luận: Với m   4;0 thì bất phương trình (2) có nghiệm với x  R * Bài toán tương tự: Tìm giá trị của m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giái trị của x : x 2  8 x  20 0 mx 2  2(m  1) x  9m  4 (*) Hướng dẫn: Ta thấy tam thức bậc hai ( x 2  8 x  20) có a  1  0 và     4  0 suy ra ( x 2  8 x  20)  0;  x  R. Do đó bài toán trở thành tìm giá trị của m để bất phương trình mx 2  2( m  1) x  9 m  4  0 (*) đúng với mọi x  R . + Nếu m  0 bất phương trình (*) trở thành 2 x  4  0, bất phương trình chỉ nghiệm đúng với x  2 nên m  0 không thỏa mãn. + Nếu m  0 bất phương trình (*) đúng với mọi x khi và chỉ khi m  0  2   (m  1)  m(9m  4)  0 Ta thấy tam thức   8m 2  2m  1 có hai nghiệm là m1   m2  1 và 2 1 1 1 nên   0  m   hoặc m . Kết hợp với điều kiện m  0, suy 4 2 4 1 ra các giá trị cần tìm của m là m   . 2 * Bài toán khái quát: Qua cách giải bài toán bất phương trình (2) và bài toán tương tự ở trên ta có thể áp dụng để giải bài toán bất phương trình dạng f ( x)  0 ( 0) , g ( x) trong đó f ( x), g ( x) là những tam thức bậc hai. NguyÔn Linh Chi 34 Líp K35E To¸n Khãa luËn tèt nghiÖp Tr­êng §HSP Hµ Néi 2 Bài 3: Tìm giá trị của m để bất phương trình: x 2  2 mx  m  0 (3) thỏa mãn với mọi x thuộc khoảng (1;2) .  Hướng dẫn: Đặt f ( x )  x 2  2 mx  m Vì hệ số a  1  0 thỏa mãn với mọi x thuộc khoảng (1; 2) nên f ( x)  0 có hai nghiệm phân biệt và x1  1  2  x2 m  0  m 1 2 m  m  0     0   1 4   a. f (1)  0  3m  1  0  m    m   . 3 5 a. f (2)  0 5m  4  0    4  m   5  Kết luận: Vậy với m   4 thì bất phương trình đã cho thỏa mãn với mọi x 5 thuộc khoảng (1; 2).  Nhận xét: *Bài toán liên quan: Tìm m để bất phương trình bậc hai dạng ax 2  bx  c  0(  0) vô nghiệm hay nghiệm đúng với mọi x  R . * Khái quát: Qua cách giải bài toán bất phương trình (3) ở trên ta có thể khái quát lên: Để bất phương trình bậc hai dạng f ( x )  ax 2  bx  c  0; a  0 thỏa mãn a  0   0  với mọi x  ( ;  ) thì điều kiện cần và đủ là  a. f ( )  0 a. f (  )  0 NguyÔn Linh Chi 35 Líp K35E To¸n

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp