Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (537.14 KB, 36 trang )

Bạn đang đọc: Chuyên đề Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác – Tài liệu text

Ƅ MỤC LỤC

MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1.

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .

1
1

KIẾN THỨC CẦN NHỚ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
Dạng 2. Tính chẵn lẻ của hàm số. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

2
3
4

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

KIẾN THỨC CẦN NHỚ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
Dạng 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định. .. .. .. .. .
Dạng 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước. . .

10
10

11
11
11

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12

MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15
A

KIẾN THỨC CẦN NHỚ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. .. .. .
Dạng 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. .. .. .. .
Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. .. .. .. .. .. .. .. . .
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx. .. .. .. .. .. . .
Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 20

16
16
17
17

18
19

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 23
A

PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối
với một hàm số lượng giác. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .
Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .

23
23
24
24
25

BÀI TẬP TỰ LUYỆN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 26

ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28
A
Đề số 1. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28
B
Đề số 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 31

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 34

Trang i

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

CHƯƠNG

HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG
TRÌNH LƯỢNG GIÁC
§ 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Hàm số y = sin x
• Tập xác định: D = R.

• Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ sin x ≤ 1,
∀x ∈ R.

− π2
−π

• Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàm
số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

π
2

Đồ thị hàm số y = sin x

• Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T =
2π, nghĩa là sin(x + k2π) = sin x, với k ∈ Z.
2 Hàm số y = cos x
• Tập xác định: D = R.

• Tập giác trị: [−1; 1], tức là −1 ≤ cos x ≤ 1,
∀x ∈ R.
• Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thị
hàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng.

− π2

−π

π
x

π
2

Đồ thị hàm số y = cos x

• Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chu
kì T = 2π, nghĩa là cos(x + k2π) = cos x, với
k ∈ Z.
y

3 Hàm số y = tan x
π
• Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.
2
π
Tập xác định: D = R\
+ kπ, k ∈ Z .
2
• Tập giá trị: R.

−π − π2

• Là hàm số lẻ.

• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa
là tan(x + kπ) = tan x, với k ∈ Z.

Trang 1

π
2

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

4 Hàm số y = cot x
y

• Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.
Tập xác định: D = R \ {kπ, k ∈ Z} .
• Tập giá trị: R.
• Là hàm số lẻ.
• Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π,
nghĩa là cot(x + kπ) = cot x, với k ∈ Z.

3π
2

− π2

−π

π
2

5 Một số trường hợp đặc biệt
Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = sin x
sin

sin

B
cos

sin x = 1 ⇔ x =

π
2

cos

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

+ k2π

A
cos

sin x = 0 ⇔ x = kπ

Các trường hợp đặc biệt cho hàm y = cos x

cos

cos x = 1 ⇔ x = k2π

A
O

sin

cos

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
Phương pháp giải. Ta chú ý một số điều kiện sau:
1. y =

f (x)
xác định ⇔ g(x) = 0.
g(x)

2. y =

f (x) xác định ⇔ f (x)

0, trong đó n ∈ N∗ .

3. y = tan [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) =

π
+ kπ, k ∈ Z.

4. y = cot [u(x)] xác định ⇔ u(x) xác định và u(x) = kπ, k ∈ Z.

Trang 2

B
cos x = 0 ⇔ x =

cos

π
2

+ kπ

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ƙ Ví dụ 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
a) y =

2 sin x + 3
cos x

b) y =

1 + cos x

1 − cos x

c) y =

2 + 3 cos 2x
sin x

d) y =

1 + cos x
1 + sin x

e) y =

sin x − 3
cos x + 1

f) y =

2 sin x + 3
cos x + 2

g) y =

2 sin x + 3
sin x − 1

√
j) y = 3 − 2 cos x.

2 sin x − 3
2 sin x + 3
√
cos x − 2
k) y =
1 + cos x
h) y =

i) y = sin
…
l) y =

x−1
.
x+2

1 + cos x
1 − cos x

Ƙ Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các hàm số sau đây:
a) y = 2 tan x + 3

b) y = 2 tan 2x − 4 sin x

c) y = cot x +

π
+1
4

Ƙ Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số sau có tập xác định R.
a) y =

√
m − cos x

b) y =

√
2 sin x − m

Ƙ Ví dụ 4. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y =
định R.

c) y =

sin x − 1
cos x + m

cos2 x − (2 + m) cos x + 2m có tập xác

DẠNG 2. Tính chẵn lẻ của hàm số
Phương pháp giải. Ta thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định D của hàm số – Tập D phải đối xứng.
2. Tính f (−x) (chỗ nào có biến x, ta thay bởi −x) và thu gọn kết quả. Khi đó
• Nếu f (−x) = f (x): hàm số đã cho là hàm chẵn.
• Nếu f (−x) = − f (x): hàm số đã cho là hàm lẻ.
• Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta kết luận hàm số không chẵn, không lẻ.
CHÚ Ý

① Hàm số y = sin x là hàm số lẻ.

② Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.

③ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ.

④ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ.

Ƙ Ví dụ 5. Xét tinh chẵn lẻ của hàm số
Å
ã
9π
a) y = f (x) = sin 2x +
;
2

b) y = f (x) = tan x + cot x.

Ƙ Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2x · sin 5x.

Trang 3

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất
Phương pháp giải. Ta thường dùng một trong 3 phương pháp sau:
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản
① −1 ≤ sin x ≤ 1, ∀x ∈ R;

② −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x ∈ R;

③ 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀x ∈ R;

④ 0 ≤ | sin x|, | cos x| ≤ 1, ∀x ∈ R.

⑤ Cô – si:

⑥ Bunhiacopxki:

√
a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0
Dấu bằng xảy ra khi a = b.

(ab + cd)2 ≤ (a2 + c2 )(b2 + d 2 )
Dấu bằng xảy ra khi

a c
= .
b d

Sử dụng điều kiện có nghiệm
① sin x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.
② cos x = f (m) có nghiệm khi −1 ≤ f (m) ≤ 1.
③ sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2 .
Sử dụng bảng biến thiên: Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, kết luận.
Ƙ Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau
a) y = 2 sin x + 3

1 − 2sin2 x

b) y =
3

c) y =

d) y = 4 sin x cos x + 1;

e) y = 4 − 3 sin2 2x.

f) y = (3 − sin x)2 + 1

g) y = sin4 x + cos4 x

h) y = sin6 x + cos6 x

√
2 + cos x − 1

Ƙ Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = (sin x + 3)2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất.
√
Ƙ Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất.
Ƙ Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
√
a) y = 3 sin x + cos x
b) y = sin 2x − cos 2x

c) y = 3 sin x + 4 cos x

Ƙ Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số sau
a) y = 2sin2 x − 3 sin x + 1

b) y = 2cos2 x + 3 cos x − 2

c) y = cos 2x − sin x + 3

√
Ƙ Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1.
Ƙ Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y =

sin x + 3 cos x + 1
.
sin x − cos x + 2

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1. Tìm tập xác định D của hàm số y = − tan x.
π
+ kπ, k ∈ Z .
B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}.
A. D = R \
2
Trang 4

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

C. D = R \ {k2π, k ∈ Z}.

D. D = R \

+ k2π, k ∈ Z .
2

Câu 2. Tìm tập xác định của hàm số y = cot x.
π
A. D = R\ k |k ∈ Z .
2
C. D = R\{k2π|k ∈ Z}.

B. D = R\{kπ|k ∈ Z}.
π
+ kπ|k ∈ Z .
D. D = R\
2
1 − 3 cos x
Câu 3. Điều kiện xác định của hàm số y =
là
sin x
π
A. x = + kπ, k ∈ Z.
B. x = k2π, k ∈ Z.
2
kπ
, k ∈ Z.
D. x = kπ, k ∈ Z.
C. x =
2
2 sin x + 1
là
Câu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y =

1 − cos x
π
A. x = k2π.
B. x = kπ.
C. x = + kπ.
D. x =
2
π
Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x −
là
3
π
π
5π
π
A. x = + k .
B. x =
+ kπ.
C. x = + kπ.
D. x =
6
2
12
2

π
+ k2π.
2

5π

π
+k .
12
2

Câu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây?
A. R.
B. (−∞; 0].
C. [0; +∞].

D. [−1; 1].

Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2x là
A. [−2; 2].
B. [0; 2].

C. [−1; 1].

D. [0; 1].

Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn.
C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn.

B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.
D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn.

Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong các hàm số sau:
A. y = sin2 x.
B. y = x cos 2x.

C. y = x sin x.

D. y = cos x.

Câu 10. Tìm điều kiện xác định của hàm số y = tan x + cot x.
π
kπ
, k ∈ Z.
D. x ∈ R.
A. x = kπ, k ∈ Z.
B. x = + kπ, k ∈ Z. C. x =
2
2
2 cos 3x − 1
Câu 11. Tập xác định của hàm số y =
là
cos x + 1
A. D = R \ {π + kπ; k ∈ Z}.
B. D = R \ {k2π; k ∈ Z}.
π
C. D = R \ { + kπ; k ∈ Z}.
D. D = R \ {π + k2π; k ∈ Z}.
2
Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai?
A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π.
C. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π.

B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π.
D. Hàm số y = sin 2x tuần hoàn với chu kì π.

Câu 13. Hàm số y = sin 2x có chu kỳ là
π
A. T = 2π.
B. T = .
2

C. T = π.

D. T = 4π.

Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn?
π
π
.
B. y = cos x +
.
A. y = sin x +
2
2

C. y = sin 2x.

D. y = tan x − sin 2x.

Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở
bốn phương án A,B,C,D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
Trang 5

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

y
1
−π

π
x

2π

O
−1
A. y = 1 + sin x.

B. y = 1 − sin x.

C. y = sin x.

D. y = cos x.

Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào?
y

1
−π

−

π O
2

π
2

C. y = 2 cos x.
D. y = cos2 x + 1.
√
Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2.
A. max y = 3 và min y = 1.
B. max y = 3 và min y = 2.
C. max y = 3 và min y = −2.
D. max y = 3 và min y = −1.
√
Câu 18. Tìm tập
√ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau√y = 2 sin x +√3.
A. max y = √5, min y = 1.
B. max y = √5, min y = 2 5.
D. max y = 5, min y = 3.
C. max y = 5, min y = 2.
π
Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2x −
.

4
A. min y = −2, max y = 4.
B. min y = 2, max y = 4.
C. min y = −2, max y = 3.
D. min y = −1, max y = 4.
A. y = cos x + 1.

B. y = 2 − sin x.

Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3x.
A. min y = 1, max y = 2.
B. min y = 1, max y = 3.
C. min y = 2, max y = 3.
D. min y = −1, max y = 3.
√
sin 2x.
Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất,
√ giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + √
A. min y = 2, max y = 1 + √3.
B. min y = 2, max y = 2 + 3.
C. min y = 1, max y = 1 + 3.
D. min y = 1, max y = 2.
Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y =
4
A. min y =, max y = 4.
3
4
C. min y =, max y = 2.
3

4
.
1 + 2sin2 x

4
B. min y =, max y = 3.
3
1
D. min y =, max y = 4.
2

Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2x.
3
A. max y = 4, min y = .
B. max y = 3, min y = 2.
4
3
C. max y = 4, min y = 2.
D. max y = 3, min y = .
4
Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1.
A. max y = 6, min y = −2.
B. max y = 4, min y = −4.
C. max y = 6, min y = −4.
D. max y = 6, min y = −1.
Trang 6

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A. min y = −6; max y = 4.
B. min y = −6; max y = 5.
C. min y = −3; max y = 4.
D. min y = −6; max y = 6.
Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1.
A. max y = 4, min y = −6.
B. max y = 6, min y = −8.
C. max y = 6, min y = −4.
D. max y = 8, min y = −6.
3
1
Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x − cos 2x + 3. Tìm tổng các giá trị nguyên của
2
4
T.
A. 4.
B. 6.
C. 7.
D. 3.
Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằng
9
9
D. ; 2.
A. 3; 1.
B. 1; −1.
C. ; 0.
4
4
2

Câu 29. Giá
√ trị lớn nhất của hàm số
√ y = 2 cos x − sin 2x√+ 5 là
√
A. 6 + 2.
B. 6 − 2.
C. 2.
D. − 2.
sin x + 2 cos x + 1
Câu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y =
.
sin x + cos x + 2
A. M = −2.
B. M = −3.
C. M = 3.
D. M = 1.
—HẾT—

Trang 7

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phương trình sin x = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
sin

sin

B
cos

sin x = 1 ⇔ x =

®
Trường hợp a ∈

π
2

+ k2π

cos

A
O

B
sin x = −1 ⇔ x = − π2 + k2π

cos

sin x = 0 ⇔ x = kπ

√
√ ´
1
2
3
± ;±
;±
. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặc
2
2
2

β ◦ tương ứng.
① Công thức theo đơn vị rad:
ñ
x = α + k2π
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = π − α + k2π
② Công thức theo đơn vị độ:
ñ
x = β ◦ + k360◦
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = 180◦ − β ◦ + k360◦

sin

a
O

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.
ñ
x = arcsin a + k2π
sin x = a ⇔
,k∈Z
x = π − arcsin a + k2π

Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)
ñ
sin[ f (x)] = sin[g(x)] ⇔

f (x) = g(x) + k2π
,k∈Z
f (x) = π − g(x) + k2π

2 Phương trình cos x = a.
Trường hợp a ∈ {−1; 0; 1}.
Trang 8

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

sin

A
cos

®
Trường hợp a ∈

B
cos x = 0 ⇔ x =

cos x = −1 ⇔ x = π + k2π

cos x = 1 ⇔ x = k2π

cos

π
2

+ kπ

√
√ ´
2
3
1
;±
. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc
± ;±
2
2
2

β ◦ tương ứng.
① Công thức theo đơn vị rad:
ñ
x = α + k2π
,k∈Z
cos x = a ⇔
x = −α + k2π

M
cos

② Công thức theo đơn vị độ:
ñ
x = β ◦ + k360◦
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = −β ◦ + k360◦

Trường hợp a ∈ [−1; 1] nhưng khác các số ở trên.
ñ
x = arccos a + k2π
cos x = a ⇔
,k∈Z
x = − arccos a + k2π
Công thức mở rộng cho hai hàm f (x) và g(x)
ñ
cos[ f (x)] = cos[g(x)] ⇔

f (x) = g(x) + k2π
,k∈Z
f (x) = −g(x) + k2π

3 Phương trình tan x = a.
®
´

√
√
3
Trường hợp a ∈ 0; ±
; ±1; ± 3. Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặc
3
β ◦ tương ứng.
tang

① Công thức theo đơn vị rad:

tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
O

② Công thức theo đơn vị độ:
◦

◦

tan x = a ⇔ x = β + k180, k ∈ Z
Trường hợp a khác các số ở trên thì
Trang 9

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

tan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z.

4 Phương trình cot x = a.
´
® √
√
3
Trường hợp a ∈ ±
; ±1; ± 3. Ta bấm máy SHIFT tan
3
π
tương ứng. Riêng a = 0 thì α =
2

1
a

để đổi số a về góc α hoặc β ◦

a
① Công thức theo đơn vị rad:

cotang

cot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z
O

② Công thức theo đơn vị độ:
M

cot x = a ⇔ x = β ◦ + k180◦, k ∈ Z
Trường hợp a khác các số ở trên thì

cot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1. Giải các phương trình lượng giác cơ bản
Phương pháp giải.
• Nhận dạng (biến đổi) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc “đẹp”
hay xấu;
• Chọn và ráp công thức nghiệm.
Ƙ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
√
3
π
a) sin 3x = −
b) 2 sin
−x = 1
2
5
Å
ã
√
2π
d) cos x −
=1

e) 2 cos 2x − 1 = 0
3
Ƙ Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
√
√
3
π
a) tan 3x = −
b) 3 tan
−x = 1
3
6
√
√
d) sin x − 3 cos x = 0
e) 3 cot x − 1 = 0

c) 2 sin (x − 45◦ ) − 1 = 0
f) 3 cos x − 1 = 0.

Xem Thêm 1 đĩa salad Nga bao nhiêu calo? Ăn salad Nga có béo không?

c) tan (x − 45◦ ) − 1 = 0
f) (tan x − 2)(cot x + 1) = 0.

Ƙ Ví dụ 3. (A.2014). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2x
Trang 10

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 2. Giải các phương trình lượng giác dạng mở rộng

Phương pháp giải.
• Biến đổi về một trong các cấu trúc sau
① sin u = sin v

② cos u = cos v

③ tan u = tan v

④ cot u = cot v

• Chú ý các công thức biến đổi lượng giác sau:
① − sin x = sin(−x).
③ sin x = cos

② − cos x = cos (π − x).

π
−x .
2

④ cos x = sin

π
−x .
2

Ƙ Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
a) sin 3x = sin 2x

b) sin 2x − sin x = 0

c) sin 5x + sin x = 0

d) cos 2x − cos x = 0

e) cos 8x + cos x = 0

f) cos 4x − sin x = 0

Ƙ Ví dụ 5. (B.2013). Giải phương trình sin 5x + 2 cos2 x = 1
DẠNG 3. Giải các phương trình lượng giác có điều kiện xác định
Phương pháp giải.
Ƙ Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
a)

cos x
=0
1 − sin x

cos2 x − sin2 x
√
=0
2 − sin x

Ƙ Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2x +

c) tan x(1 − 2 sin2 x) = 0

π
π
+ tan
− x = 0.
6
3
−π
+ kπ, k ∈ Z.
• Đáp số x =
2

x
x
Ƙ Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0.
3
2
3π
π
• Đáp số x =
+ k3π, x = − + k2π, (k ∈ Z).
4
2
Ƙ Ví dụ 9. Giải phương trình

sin 2x + 2 cos x − sin x − 1
√
=0
3 + tan x
π
• Đáp số x = + k2π.

DẠNG 4. Giải các phương trình lượng giác trên khoảng (a; b) cho trước
Phương pháp giải.
① Giải phương trình, tìm các họ nghiệm x = α + kπ
② Vì x ∈ (a; b) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng "dao động" của k.
③ Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn các giá trị k nguyên nằm trong khoảng vừa tìm được.
④ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng.

Trang 11

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Ƙ Ví dụ 10. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước
√
√
π
b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − 7π
a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π).
2 ,2 .
c) 2 cos 3x −

√
d) tan(3x + 2) − 3 = 0 trên − π2, π2 .

π
− 1 = 0 trên (−π, π).
3

√
π
−π
2π
Ƙ Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3 tan 2x −
= 0 với
.
3
4
3
Ƙ Ví dụ 12. Giải phương trình tan (x + 30◦ ) + 1 = 0 với −90◦ < x < 360◦ .
Ƙ Ví dụ 13. Tìm x ∈ (−π; π) sao cho sin x −

π
π
+ 2 cos x +
= 0.
3
6

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
√
Câu 1. Với k ∈ Z thì phương trình 2 sin(x + 60◦ ) = 3 có nghiệm là
A. x = k.1800 ; x = 600 + k.1800 .
B. x = k.3600 ; x = −1200 + k.3600 .
C. x = k.3600 ; x = 600 + k.3600 .
D. x = −300 + k.3600 ; x = 900 + k.3600 .
Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x =
0?

A. tan x = 0.
B. cos x = −1.
C. cot x = 1.
D. cos x = 1.
Câu 3. Tìm m để phương trình cos 2x = 1 − m có nghiệm.
A. −1 m 3.
B. 0 m 2.
C. m 2.

D. m

Câu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm?
√
1
B. tan x = 3.
A. sin x = .
2

1
D. cos x = − .
2

C. sin x = 3.

Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khi
A. m > 1.

B. m < −1.
C. −1 ≤ m ≤ 1.

Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = −1 là
π
A. x = − + kπ, k ∈ Z.
2
3π
C. x =
+ kπ, k ∈ Z.
2

ñ
m < −1
D.
m > 1.

B. x = kπ, k ∈ Z.
π
D. x = − + k2π, k ∈ Z.
2
√
π
3
Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x −
=
.
3
3
π

Xem thêm: Top 5 phần mềm kiểm tra đạo văn tốt nhất 2022

2π
A. x = + kπ, k ∈ Z.
B. x =
+ kπ, k ∈ Z.
3
3
π
C. x = + k2π, k ∈ Z.
D. x = kπ, k ∈ Z.
3
√
3
Câu 8. Phương trình cos x = −
có tập nghiệm là
ß
™2
5π
π
A. x = ± + k2π; k ∈ Z .
B. x = ± + kπ; k ∈ Z .
6
3
π
π
C. x = ± + k2π; k ∈ Z .
D. x = ± + kπ; k ∈ Z .
3
6
√
3

Câu 9. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3x =
.
2
Trang 12

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC


x=

A. 
x=

x=

C. 
x=

π k2π
+
, k∈Z
9
3
.
2π k2π
+
, k∈Z
9
3

π kπ
+, k∈Z
9
3
.
2π kπ
+, k∈Z
9
3


x=

B. 
x=

x=

D. 
x=

π
+ k2π, k ∈ Z
9
.
2π
+ k2π, k ∈ Z
9
π k2π
+

, k∈Z
3
3
.
2π k2π
+
, k∈Z
3
3

Câu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là
11π
−π
π
−7π
A. x =
+ k2π và x =
+ k2π.
B. x = + k2π và x =
+ k2π.
6
6
6
6
7π
−π
7π
−π
C. x =
+ kπ và x =

+ kπ.
D. x =
+ k2π và x =
+ k2π.
6
6
6
6
Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là
π
π
2π
A. − .
B. .
C.
.
2
4
3
Câu 12. Tập nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là
π
A.
+ 2kπ, k ∈ Z .
B.
4
C. {kπ, k ∈ Z}.
D.

D. π.

π
+ kπ, k ∈ Z .
4
π
+ 2kπ, k ∈ Z .
2

2
có số nghiệm thuộc (−π; π)
3
A. 1.
B. 3.
C. 2.
D. 4.
√
3
Câu 14. Cho phương trình sin 2x =
. Gọi n là số các nghiệm của phương trình trong đoạn [0; 3π]2
thì giá trị của n là
A. n = 8.
B. n = 5.
C. n = 6.
D. n = 2.
Câu 13. Phương trình sin x =

Câu 15. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0.
π
5π
π

B. x = + k2π; x =
+ k2π (k ∈ Z).
A. x = ± + k2π (k ∈ Z).
4
4
4
π
5π
C. x = + k2π (k ∈ Z).
D. x =
+ k2π (k ∈ Z).
4
4
Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phương
1
trình cos 2x = − .
2
ß
™
π π π
π π π
π π π
2π π π
A.
, ,
;
, ,
.
B.
, ,

;
, ,
.
3 3 3
3 6 6
ß3 3 3 ™ 4 4 2
2π π π
π π π
.
C.
, ,
.
D.
, ,
3 6 6
3 3 3
m
Câu 17. Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: cos 2x = .
2
A. m ≤ 1.
B. −1 ≤ m ≤ 1.
C. −2 ≤ m ≤ 2.
D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 1.
π
Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x −
= 1 trong khoảng (0; π) là
2
A. 4.
B. 1.
C. 2.

D. 3.
Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm là
π
π
A. x = ± + k2π, k ∈ Z.
B. x = ± + kπ, k ∈ Z.
6
3
π
π
C. x = ± + 2π, k ∈ Z.
D. x = ± + k2π, k ∈ Z.
6
3
Trang 13

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2x = −1 là
π
A. −kπ, k ∈ Z.
B. − + kπ, k ∈ Z .
4
π
D. {90◦ + k180◦, k ∈ Z}.
C. − + k2π, k ∈ Z .
2
π
1

Câu 21. Số điểm biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x +
= trên đường tròn lượng
3
2
giác là
A. 4.
B. 6.
C. 1.
D. 2.
x
Câu 22. Phương trình cos = −1 có tập nghiệm là
2
A. {2π + k4π|k ∈ Z}. B. {π + k2π|k ∈ Z}. C. {k4π|k ∈ Z}.
D. {k2π|k ∈ Z}.
Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 là
π
π
π
A. x = π + k2π.
B. x = kπ.
C. x = + kπ.
D. x = + k .
2
4
2
Câu 24. Tìm tất cả nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2x = 0.
π
π
π
A. k (k ∈ Z).

B. kπ (k ∈ Z).
C. k (k ∈ Z).
D. k (k ∈ Z).
2
4
8
Câu 25. Tính tổng các nghiệm x ∈ [0; 2018π] của phương trình sin 2x = 1.
4071315π
4071315π
8141621π
8141621π
A. S =
.
B. S =
.
C. S =
.
D. S =
.
2
4
2
4
Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng (−π; π) của phương trình cos x + sin 2x = 0
A. 1.
B. 4.
C. 2.
D. 3.
Câu 27. Phương trình sin 5x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [−2018π; 2018π]?
A. 16145.

B. 20181.
C. 20179.
D. 16144.
Câu 28. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = m2 −9 có nghiệm.
A. 5.
B. 2.
C. 1 .
D. 3 .
—HẾT—

Trang 14

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Dạng phương trình
① a · sin x + b = 0

② a · cos x + b = 0

③ a · tan x + b = 0

④ a · cot x + b = 0

Phương pháp giải: Chuyển vế, biến đổi về phương trình cơ bản.
① a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = −

b
a

② a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = −

b
a

④ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = −

③ a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = −

b
a

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Dạng phương trình
• a sin x ± b cos x = c (1).
• Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2 .
Phương pháp giải: Chia 2 vế phương trình cho

√
a2 + b2. Khi đó

a
b
c

(1) ⇔ √
sin x ± √
cos x = √
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
c
⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √
a2 + b2
c
a
b
⇔ sin (x ± φ ) = √
(2), với cos φ = √
và sin φ = √
.
a2 + b2
a2 + b2
a2 + b2
Phương trình (2) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước.
Chú ý hai công thức sau:
• sin a cos b ± cos a sin b = sin(a ± b).
• cos a cos b ± sin a sin b = cos(a ∓ b).
3 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Dạng phương trình
① a · sin2 x + b · sin x + c = 0

② a · cos2 x + b · cos x + c = 0

③ a · tan2 x + b · tan x + c = 0

④ a · cot2 x + b · cot x + c = 0
Trang 15

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Phương pháp giải
• Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t.
• Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x.
• Chú ý với phương trình số ① và ② thì −1 ≤ t ≤ 1.

B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1. Giải phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp giải.
Ƙ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
√
2 cos x − 1 = 0;
√
d) 3 cot x − 1 = 0.

a) 2 sin x + 1 = 0;
√
c) tan x + 3 = 0;

Ƙ Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
π
+ 1 = 0.

6
√
π
c) tan
− x + 3 = 0.
3
a) 2 sin x −

√
π
2 cos 3x −
− 1 = 0.
4
√
π
d) 3 cot x +
+ 3 = 0.
6
b)

Ƙ Ví dụ 3. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 2 sin 2x − 1 = 0 trong đoạn [−2π; 2π].
Ƙ Ví dụ 4. Giải phương trình (2 cos x − 1) (sin x + cos x) = sin 2x − sin x.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ą Bài 1. Giải các phương trình sau
√
a) 2 cos 2x + 3 = 0.
√
c) 2 cos 2x − 2 = 0.
e) 2 cos x −

π
+ 1 = 0.
6

g) 3 sin(x − 1) + 2 = 0.
√
i) (cos 2x + 2)(cot 3x − 1) = 0.

b) 2 sin 3x + 1 = 0
√
π
d) 3 − 2 3 cos x +
= 0.
4
Å
ã
√
√
2π
f) 2 2 sin x +
= 6.
5
√
π
h) 3 tan
− 2x + 1 = 0.
6
√
π
j) 2 − 2 3 tan x +

= 0.
3

Ą Bài 2. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng cho trước
Å
ã
√
√
7π π
a) 3 tan x − 3 = 0 trên (0, 3π).
b) 2 sin(x − 1) = −1 trên − ,
.
2 2
Ą Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2x + sin 7x − 1 = sin x.
Ą Bài 4. Giải phương trình (cos x − sin x) sin x cos x = cos x cos 2x.
Ą Bài 5. Giải phương trình (2 sin x − cos x)(1 + cos x) = sin2 x.
Trang 16

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

DẠNG 2. Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp giải.
Ƙ Ví dụ 5. Giải các phương trình sau
a) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0;

b) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0.
√
√
d) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0.

c) 3 sin2 2x + 7 cos 2x − 3 = 0;
Ƙ Ví dụ 6. Giải các phương trình sau
a) cos 2x + cos x + 1 = 0;

b) 6 sin2 3x + cos 12x = 14;

c) cos 4x + 6 = 7 cos 2x;

d) 7 tan x − 4 cot x = 12.

Ƙ Ví dụ 7. Giải các phương trình sau
√
Ä
√ ä
2 2
a) 1 − 2 + 2 sin x +
= 0;
1 + cot2 x

b) tan2 x −

5
+ 7 = 0.
cos x

Ƙ Ví dụ 8. Giải các phương trình sau
a)

cos 2x + 3 cot x + sin 4x

= 2;
cot 2x − cos 2x

4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x
= 0.
cos x

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ą Bài 6. Giải các phương trình sau
a) cos2 x + cos x − 2 = 0;
c) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0;

b) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0;
√
d) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0.

Ą Bài 7. Giải các phương trình sau:
a) 2 tan x + cot x − 3 = 0

b) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x) tan2 x ;

c) 2 cos 2x. cos x = 1 + cos 2x + cos 3x;

d) cos 2x + cos x = 4 sin2

Ą Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ (0; 10π) của phương trình
√
√

3
x
−
tan
x
−
2
3 = sin x 1 + tan x. tan
.
2
cos x
2
DẠNG 3. Giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương pháp giải.
Ƙ Ví dụ 9. Giải các phương trình sau:
√
a) sin x + 3 cos x = 1;
√
c) sin 2x − 3 cos 2x = 2;

√
3 sin 2x − cos 2x = 2;

d) 3 sin x + cos x = 2.

Trang 17

−1
2

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

2π 6π
Ƙ Ví dụ 10. Tìm các nghiệm x ∈
;
5 7

√
√
của phương trình cos 7x − 3 sin 7x = − 2.

x
x
Ƙ Ví dụ 11. (D.2007). Giải phương trình sin + cos
2
2
Ƙ Ví dụ 12. Giải phương trình

√
+ 3 cos x = 2.

√
(1 − 2 sin x) cos x
= 3.
(1 + 2 sin x)(1 − sin x)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Ą Bài 9. Giải các phương trình sau:
√
a) cos x − 3 sin x = 1
√
c) 3 cos x − sin x = 0

√
√
3 sin x + cos x = 2
√
d) sin 3x − 3 cos 3x = 2 sin 4x
b)

Ą Bài 10. Giải các phương trình sau
√
π
= 2;
a) cos(π − 2x) − cos 2x +
2
√
√
π
= 2 2;

b) 3 cos 2x + sin 2x + 2 sin 2x −
6
√
√
√
c) sin x − 2 cos 3x = 3 cos x + 2 sin 3x;
√
d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = − sin 5x sin 7x.
Ą Bài 11. Giải các phương trình sau:
√
a) sin x − 3 cos x = 2 sin 5x
√
b) 3 sin 2x + 2sin2 x = 2
√
c) 3 cos 5x − 2 sin 3x cos 2x − sin x = 0
√
d) cos 7x cos 5x − 3 sin 2x = 1 − sin 7x sin 5x
√
e) sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin3 x
Ä
ä
√
f) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos x
π
Ą Bài 12. Giải phương trình 2 sin(x + ) + sin x + 2 cos x = 3.
6
Ą Bài 13. Giải phương trình (sin 2x + cos 2x) cos x + 2 cos 2x − sin x = 0.
Ą Bài 14. Giải phương trình sin 2x − cos 2x + 3 sin x − cos x − 1 = 0.
DẠNG 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sinx và cosx
Phương pháp giải.

Dạng phương trình
• a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0

Trang 18

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• Tổng quát: a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = d
Phương pháp giải
• Trường hợp 1. Xét cos x = 0, khi đó sin x = ±1. Ta thay trực tiếp vào phương trình
π
Nếu thỏa mãn, suy ra x = + kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2.
2
Nếu không thỏa mãn, ta bỏ qua và xét tiếp Trường hợp 2.
• Trường hợp 2. Xét cos x = 0, chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trình
đang xét về dạng phương trình bậc hai theo tan x.
• Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp.
Chú ý công thức
①

sin x
= tan x.
cos x

② sin 2x = 2 sin x cos x

③

= tan2 x + 1
cos2 x

Ƙ Ví dụ 13. Giải các phương trình sau:
a) 2cos2 x − 3 sin x. cos x + sin2 x = 0
√
c) 4sin2 x + 3 3 sin 2x − 2cos2 x = 4

b) sin2 x − sin 2x − 3cos2 x + 2 = 0
d) 4cos2 x + sin 2x − 3 = 0

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ą Bài 15. Giải các phương trình sau:
Ä
Ä√
ä
√ ä
a) 2sin2 x + 3 + 3 sin x cos x + 3 − 1 cos2 x = −1
b) sin2 x + sin 2x − 2cos2 x =

1
2

√
c) 4sin2 x + 3 3 sin 2x − 2cos2 x = 4
√
√
3+ 2
2
d) sin x + 3 sin x cos x + 2cos x =

2
2

e) 2sin2 x − 5 sin x cos x − cos2 x = −2
Ä √
ä
f) 3sin2 x + 8 sin x cos x + 8 3 − 9 cos2 x = 0
DẠNG 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x
Phương pháp giải.
Dạng phương trình
• a (sin x + cos x) + b sin x cos x + c = 0.
• a (sin x − cos x) + b sin x cos x + c = 0.
Phương pháp giải:
• Đặt t = sin x ± cos x

Trang 19

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

• Tính t 2 = (sin x ± cos x)2 = 1 ± 2 sin x · cos x. Từ đây ta tính được sin x · cos x.
• Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t. Giải tìm t, sau đó tìm x.
Chú ý
√
√
① Điều kiện của t là − 2 ≤ t ≤ 2.

② sin x ± cos x =

√

π
.
2 sin x ±
4

Ƙ Ví dụ 14. Giải các phương trình
a) sin x cos x + 2 (sin x + cos x) = 2

b) sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0

√
c) 4 2 (sin x + cos x) + 3 sin 2x − 11 = 0

√
π
d) sin 2x + 2 sin x −
=1
4

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Ą Bài 16. Giải các phương trình
a) sin x − cos x + 7 sin 2x = 1
c) sin x + cos x +

b) cot x − tan x = sin x + cos x

1
10
1
+

=
sin x cos x
3

d) 1 + sin3 x + cos3 x =

3
sin 2x
2

C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
√
Câu 1. Phương trình 2 sin x − 3 = 0 có các nghiệm là 
π
x=
x = + k2π


3
A. 
,
k
∈
Z.
B.

π
x = − + k2π
x=
3



π
x=
x = + k2π


3
,
k
∈
Z.
D.
C. 

π
x = − + k2π
x=
3

π
+ k2π
3
, k ∈ Z.
2π
+ k2π
3
π
+ kπ
3

, k ∈ Z.
2π
+ kπ
3

Câu 2. Cho phương trình sin x − (m + 1) cos x = 2. Tìm m đểÄphương trình có
nghiệm.
ä
√ ó î
√
A. m ∈ [0; −2].
B. m ∈ −∞; −1 − 3 ∪ −1 + 3; +∞ .
î
√
√ ó
C. m ∈ (−∞; −2] ∪ [0; +∞).
D. m ∈ −1 − 3; −1 + 3 .
Câu 3. Giải phương trình 2 cos x − 1 = 0.
π
A. x = ± + k2π, k ∈ Z.
3
π
C. x = + k2π, k ∈ Z.
3

π
B. x = ± + k2π, k ∈ Z.
6
π
D. x = ± + 2π, k ∈ Z.

Câu 4. Nghiệm của phương trình cot 3x = −1 là
π
A. x =
+ kπ với k ∈ Z.
12
π
π
C. x =
+ k với k ∈ Z.
12
3
Câu 5. Nghiệm của phương trình sin 2x = 1 là
π
π
B. x = + kπ.
A. x = + k2π.
4
4

π
+ kπ với k ∈ Z.
12
π
π
D. x = − + k với k ∈ Z.
12
3
B. x = −

C. x =

Trang 20

kπ
.
2

D. x =

π
+ k2π.
2

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x − 3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ (−∞; a] ∪ [b; +∞)
với a, b ∈ Z. Tính a + b.
A. −4.
B. 4.
C. 0.
D. 8.
Câu 7. Giải phương trình sin 2x = 1.
kπ
, với k ∈ Z.
A. x =
2
π

C. x = + kπ, với k ∈ Z.
4

π
+ k2π, với k ∈ Z.
2
π
D. x = + k2π, với k ∈ Z.
4
B. x =

Câu 8. Trong các phương trình sau phương trình nào vô nghiệm?
π
A. tan x = π.
B. sin x = .
C. sin x + cos x = 2.
4
Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x = cos x là
π
A. x = ± + k2π; k ∈ Z.
B. x =
4
π
D. x =
C. x = − kπ; k ∈ Z.
4

D. cos x =

2017

.
2018

π kπ
π
+, x = + kπ; k ∈ Z.
8
2
4
π
+ kπ; k ∈ Z.
8

Câu 10. Tìm số điểm phân biệt biểu diễn các nghiệm của phương trình sin 2x − cos x = 0 trên đường
tròn lượng giác.
A. 1.
B. 4.
C. 3.
D. 2.
Câu 11. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 0. Chọn
khẳng định đúng.
Å
Å
ã
ã
3π
π
3π
π
.

B. x0 ∈
; 2π .
C. x0 ∈
;π .
D. x0 ∈ π;
.
A. x0 ∈ 0;
2
2
2
2
π
Câu 12. Nghiệm của phương trình 2 sin 4x −
− 1 = 0 là
3

ñ
x = k2π
x = kπ
A. 
(k ∈ Z).
B.
(k ∈ Z).
π
x = π + k2π
x = + k2π
2


π

π
x = +k
x = π + k2π

8
2
(k ∈ Z).
D. 
(k ∈ Z).
C. 
π
7π
π
x=k
x
=
+
k
2
24
2
Câu 13. Phương trình 2 sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ (0; 2π)?
A. 1 nghiệm.
B. 4 nghiệm.
C. Vô số nghiệm.
Câu 14. Giải phương trình cos 2x + 5 sin x − 4 = 0.
π
π
A. x = + kπ.
B. x = k2π.

C. x = + kπ.
2
2
1
π
Câu 15. Cho sin x + cos x = và 0 < x <. Tính giá tri của sin x.
2
2
√
√
√
1− 7
1+ 7
1− 7
A. sin x =
.
B. sin x =
.
C. sin x =
.
4
4
6

D. 2 nghiệm.
D. x =

π
+ k2π.
2

√
1+ 7
D. sin x =
.
6

Câu 16. Cho x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x + 2(sin x + cos x) = 2. Khi đó, giá trị của
P = 3 + sin 2×0 √
là
2
A. P = 3 +
.
B. P = 2.
C. P = 0.
D. P = 3.
2
√
Câu 17. Giải phương trình sin 3x + cos 3x = 2.
π
2π
π
π
A. x = + k, k ∈ Z.
B. x = + k, k ∈ Z.
9
3
6
3
π

π
2π
C. x = + kπ, k ∈ Z.
D. x =
+ k, k ∈ Z.
3
12
3
Trang 21

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Câu 18. Số nghiệm của phương trình
A. 4.
B. 3.

√
π
2 cos x +
= 1 với 0 ≤ x ≤ 2π.
3
C. 1.
D. 2.

Câu 19. Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (−π; π)?
A. 3.
B. 1.
C. 2.
D. 4.

1
Câu 20. Tổng 2 nghiệm dương liên tiếp nhỏ nhất của phương trình cos 4x + = 0 là
2
5π
π
π
7π
A.
.
B. .
C. .
D.
.
6
6
2
6
Câu 21. Cho phương trình cos 2x+cos x = 2. Khi đặt t = cos x, phương trình đã cho trở thành phương
trình nào dưới đây?
A. 2t 2 + t − 3 = 0.
B. 2t 2 − t − 1 = 0.
C. 2t 2 − t − 3 = 0.
D. 2t 2 + t − 1 = 0.
sin 3x
Câu 22. Số nghiệm phương trình
= 0 thuộc đoạn [2π; 4π] là
cos x + 1
A. 6.
B. 2.
C. 4.

D. 5.
Câu 23. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm.
A. 1 ≤ m ≤ 2.
B. m ≤ 2.
C. 1 < m < 2.
D. m ≥ 1.
√
Câu 24. Điều kiện của tham số thực m để phương trình ñsin x + (m + 1) cos x = 2 vô nghiệm là
m≥0
A. m > 0.
B. −2 < m < 0.
C.
.
D. m < −2.
m ≤ −2
Câu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình m sin 2x − 3 cos 2x = 2m + 1 có
nghiệm?
A. 4.
B. 2.
C. 1.
D. 10.
Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phương
1
trình cos 2x = − .
2
π π π
π π π
π π π
A.
; ;

Xem Thêm Men gan là gì? Chỉ số men gan bình thường là bao nhiêu?

,
; ;
.
B.
; ;
.
3 3 3 ß2 4 4 ™
ß3 3 3 ™
π π π
2π π π
2π π π
C.
; ;
,
; ;
.
D.
; ;
.
3 3 3
3 6 6
3 6 6
√
√
π
π
π
Câu 27. Cho 0 < α < thỏa mãn sin α + 2 sin
− α = 2. Tính tan α +
.

2
2
4 √
√
√
√
9+4 2
−9 + 4 2
9−4 2
9+4 2
A. −
.
B.
.
C.
.
D.
.
7
7
7
7
Câu 28. Tính tổng tất cả T các nghiệm thuộc đoạn [0; 200π] của phương trình cos 2x − 3 cos x − 4 =
0.
A. T = 10000π.
B. T = 5100π.
C. T = 5151π.
D. T = 10100π.
√
π

Câu 29. Số nghiệm của phương trình cos2 x − sin 2x = 2 + cos2
+ x trên khoảng (0; 3π) bằng
2
A. 4.

B. 1.

C. 3.

D. 2.

Câu 30. Số các giá trị thực của tham số m để phương trình (sin x−1)(2 cos2 x−(2m+1) cos x+m) =
0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [0; 2π] là
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. Vô số.
—HẾT—

Trang 22

Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

§ 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC
A PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
DẠNG 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai (ba) đối
với một hàm số lượng giác
Phương pháp giải.
Ƙ Ví dụ 1. Giải các phương trình sau

x
a) cos 2x + 2 cos x = 2 sin
2

4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x
Ç
√ å
b)
= 0.
3
cos x sin x −
2

c) 2 tan2 x + cos 4x = 1

d) 2 sin3 x + 4 cos3 x = 3 sin x.

Đáp số:
a) x =

π
π
+ k2π; x = − + k2π.
3
3

b) x =

c) x =

π kπ
+ ; x = kπ.
4
2

4π
π
+ k2π; x = − + k2π.
3
3

π
+ kπ.
4

Ƙ Ví dụ 2. Cho phương trình cos 5x cos x = cos 4x cos 2x + 3 cos 2x + 1. Tìm các nghiệm của
phương trình thuộc (−π; π)
Đáp số:
π
5π
π
• Nghiệm x = ± + kπ.
• Do x ∈ (−π; π) nên x = ± ; x = ± .
6
6
6

Xem thêm: Trong “từ điển” của người trưởng thành, không có khái niệm của 2 từ “hiểu chuyện”: Hiểu chuyện là giả, chịu đựng mới là thật

Å
ã
Å
ã
15π
9π
Ƙ Ví dụ 3. Phương trình sin 2x +
− 3 cos x −
= 1 + 2 sin x có tất cả bao nhiêu
2
2
ï
ò
π 5π
nghiệm thuộc đoạn
;
?
6 6
Đáp số:
π
5π
• x = kπ; x = + k2π; x =
+ k2π.
6
6

ò
π 5π

π
5π
• Do x ∈
;
nên x = ; x =
.
6 6
6
6

Ƙ Ví dụ 4. (A-2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0; 2π) của phương trình
Å
ã
cos 3x + sin 3x
5 sin x +
= cos 2x + 3.
1 + 2 sin 2x
Đáp số:
• Biến đổi phương trình về 5 cos x =
2 cos 2x + 3.

Trang 23

• Nghiệm x =

π
5π
;x=
.
3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. KIẾN THỨC CẦN NHỚ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Dạng 1. Giải những phương trình lượng giác cơ bản. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Dạng 2. Giải những phương trình lượng giác dạng lan rộng ra. .. .. .. .. .. .. .. . Dạng 3. Giải những phương trình lượng giác có điều kiện kèm theo xác lập. .. .. .. .. . Dạng 4. Giải những phương trình lượng giác trên khoảng chừng ( a ; b ) cho trước. .. 1010111111B ÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 12M ỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15KI ẾN THỨC CẦN NHỚ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 15PH ÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Dạng 1. Giải phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giác. .. .. . Dạng 2. Giải phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giác. .. .. .. . Dạng 3. Giải phương trình bậc nhất so với sinx và cosx. .. .. .. .. .. .. .. .. Dạng 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai so với sinx và cosx. .. .. .. .. .. .. Dạng 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos x. .. .. .. .. .. .. .. .. .. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 20161617171819M ỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁC. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 23PH ÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Dạng 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ( ba ) đốivới một hàm số lượng giác. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . Dạng 2. Biến đổi asinx + bcosx. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Dạng 3. Biến đổi đưa về phương trình tích. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. Dạng 4. Một số bài toán biện luận theo tham số. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2323242425B ÀI TẬP TỰ LUYỆN. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 265. ĐỀ ÔN TẬP CUỐI CHƯƠNG. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 28 Đề số 1. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 28 Đề số 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 316. ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM CÁC CHỦ ĐỀ. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 34T rang iƄ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCHƯƠNGHÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNGTRÌNH LƯỢNG GIÁC § 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁCA KIẾN THỨC CẦN NHỚ1 Hàm số y = sin x • Tập xác lập : D = R. • Tập giác trị : [ − 1 ; 1 ], tức là − 1 ≤ sin x ≤ 1, ∀ x ∈ R. − π2 − π • Hàm số y = sin x là hàm số lẻ nên đồ thị hàmsố nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng. Đồ thị hàm số y = sin x • Hàm số y = sin x tuần hoàn với chu kì T = 2 π, nghĩa là sin ( x + k2π ) = sin x, với k ∈ Z. 2 Hàm số y = cos x • Tập xác lập : D = R. • Tập giác trị : [ − 1 ; 1 ], tức là − 1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R. • Hàm số y = cos x là hàm số chẵn nên đồ thịhàm số nhận trục Oy làm trục đối xứng. − π2 − πĐồ thị hàm số y = cos x • Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn với chukì T = 2 π, nghĩa là cos ( x + k2π ) = cos x, vớik ∈ Z. 3 Hàm số y = tan x • Điều kiện cos x = 0 ⇔ x = + kπ, k ∈ Z.Tập xác lập : D = R \ + kπ, k ∈ Z. • Tập giá trị : R. − π − π2 • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩalà tan ( x + kπ ) = tan x, với k ∈ Z.Trang 1 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC4 Hàm số y = cot x • Điều kiện sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ Z.Tập xác lập : D = R \ { kπ, k ∈ Z }. • Tập giá trị : R. • Là hàm số lẻ. • Là hàm số tuần hoàn với chu kì T = π, nghĩa là cot ( x + kπ ) = cot x, với k ∈ Z. 3 π − π2 − π5 Một số trường hợp đặc biệtCác trường hợp đặc biệt quan trọng cho hàm y = sin xsinsinsincossin x = 1 ⇔ x = cossin x = − 1 ⇔ x = − π2 + k2π + k2πcossin x = 0 ⇔ x = kπCác trường hợp đặc biệt quan trọng cho hàm y = cos xcoscos x = 1 ⇔ x = k2πsinsinsincoscos x = − 1 ⇔ x = π + k2πB PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNDẠNG 1. Tìm tập xác lập của hàm số lượng giácPhương pháp giải. Ta quan tâm một số ít điều kiện kèm theo sau : 1. y = f ( x ) xác lập ⇔ g ( x ) = 0. g ( x ) 2. y = 2 nf ( x ) xác lập ⇔ f ( x ) 0, trong đó n ∈ N ∗. 3. y = tan [ u ( x ) ] xác lập ⇔ u ( x ) xác lập và u ( x ) = + kπ, k ∈ Z. 4. y = cot [ u ( x ) ] xác lập ⇔ u ( x ) xác lập và u ( x ) = kπ, k ∈ Z.Trang 2 cos x = 0 ⇔ x = cos + kπƄ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCƘ Ví dụ 1. Tìm tập xác lập của những hàm số sau đây : a ) y = 2 sin x + 3 cos xb ) y = 1 + cos x1 − cos xc ) y = 2 + 3 cos 2 xsin xd ) y = 1 + cos x1 + sin xe ) y = sin x − 3 cos x + 1 f ) y = 2 sin x + 3 cos x + 2 g ) y = 2 sin x + 3 sin x − 1 j ) y = 3 − 2 cos x. 2 sin x − 32 sin x + 3 cos x − 2 k ) y = 1 + cos xh ) y = i ) y = sinl ) y = x − 1 x + 21 + cos x1 − cos xƘ Ví dụ 2. Tìm tập xác lập của những hàm số sau đây : a ) y = 2 tan x + 3 b ) y = 2 tan 2 x − 4 sin xc ) y = cot x + + 1 Ƙ Ví dụ 3. Tìm toàn bộ những giá trị của m để hàm số sau có tập xác lập R.a ) y = m − cos xb ) y = 2 sin x − mƘ Ví dụ 4. Tìm tổng thể những giá trị của m để hàm số y = định R.c ) y = sin x − 1 cos x + mcos2 x − ( 2 + m ) cos x + 2 m có tập xácDẠNG 2. Tính chẵn lẻ của hàm sốPhương pháp giải. Ta triển khai những bước sau : 1. Tìm tập xác lập D của hàm số – Tập D phải đối xứng. 2. Tính f ( − x ) ( chỗ nào có biến x, ta thay bởi − x ) và thu gọn tác dụng. Khi đó • Nếu f ( − x ) = f ( x ) : hàm số đã cho là hàm chẵn. • Nếu f ( − x ) = − f ( x ) : hàm số đã cho là hàm lẻ. • Nếu không rơi vào 2 trường hợp trên, ta Tóm lại hàm số không chẵn, không lẻ. CHÚ Ý① Hàm số y = sin x là hàm số lẻ. ② Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. ③ Hàm số y = tan x là hàm số lẻ. ④ Hàm số y = cot x là hàm số lẻ. Ƙ Ví dụ 5. Xét tinh chẵn lẻ của hàm số9πa ) y = f ( x ) = sin 2 x + b ) y = f ( x ) = tan x + cot x. Ƙ Ví dụ 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số y = tan7 2 x · sin 5 x. Trang 3 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCDẠNG 3. Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhấtPhương pháp giải. Ta thường dùng một trong 3 giải pháp sau : Sử dụng những bất đẳng thức cơ bản① − 1 ≤ sin x ≤ 1, ∀ x ∈ R ; ② − 1 ≤ cos x ≤ 1, ∀ x ∈ R ; ③ 0 ≤ sin2 x, cos2 x ≤ 1, ∀ x ∈ R ; ④ 0 ≤ | sin x |, | cos x | ≤ 1, ∀ x ∈ R. ⑤ Cô – si : ⑥ Bunhiacopxki : a + b ≥ 2 ab, với mọi a, b ≥ 0D ấu bằng xảy ra khi a = b. ( ab + cd ) 2 ≤ ( a2 + c2 ) ( b2 + d 2 ) Dấu bằng xảy ra khia c =. b dSử dụng điều kiện kèm theo có nghiệm① sin x = f ( m ) có nghiệm khi − 1 ≤ f ( m ) ≤ 1. ② cos x = f ( m ) có nghiệm khi − 1 ≤ f ( m ) ≤ 1. ③ sin x + b cos x = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2. Sử dụng bảng biến thiên : Lập bảng biến thiên của hàm số, từ đó, Kết luận. Ƙ Ví dụ 7. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của những hàm số saua ) y = 2 sin x + 31 − 2 sin2 xb ) y = c ) y = d ) y = 4 sin x cos x + 1 ; e ) y = 4 − 3 sin2 2 x. f ) y = ( 3 − sin x ) 2 + 1 g ) y = sin4 x + cos4 xh ) y = sin6 x + cos6 x2 + cos x − 1 Ƙ Ví dụ 8. Tìm x để hàm số y = ( sin x + 3 ) 2 − 1 đạt giá trị nhỏ nhất. Ƙ Ví dụ 9. Tìm x để hàm số y = 1 − 3 1 − cos2 x đạt giá trị nhỏ nhất. Ƙ Ví dụ 10. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số saua ) y = 3 sin x + cos xb ) y = sin 2 x − cos 2 xc ) y = 3 sin x + 4 cos xƘ Ví dụ 11. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số saua ) y = 2 sin2 x − 3 sin x + 1 b ) y = 2 cos2 x + 3 cos x − 2 c ) y = cos 2 x − sin x + 3 Ƙ Ví dụ 12. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2 cos2 x − 2 3 sin x cos x + 1. Ƙ Ví dụ 13. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sin x + 3 cos x + 1 sin x − cos x + 2C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1. Tìm tập xác lập D của hàm số y = − tan x. + kπ, k ∈ Z. B. D = R \ { kπ, k ∈ Z }. A. D = R \ Trang 4 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCC. D = R \ { k2π, k ∈ Z }. D. D = R \ + k2π, k ∈ Z. Câu 2. Tìm tập xác lập của hàm số y = cot x. A. D = R \ k | k ∈ Z. C. D = R \ { k2π | k ∈ Z }. B. D = R \ { kπ | k ∈ Z }. + kπ | k ∈ Z. D. D = R \ 1 − 3 cos xCâu 3. Điều kiện xác lập của hàm số y = làsin xA. x = + kπ, k ∈ Z.B. x = k2π, k ∈ Z.k π, k ∈ Z.D. x = kπ, k ∈ Z.C. x = 2 sin x + 1 làCâu 4. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện kèm theo xác lập của hàm số y = 1 − cos xA. x = k2π. B. x = kπ. C. x = + kπ. D. x = Câu 5. Với ký hiệu k ∈ Z, điều kiện kèm theo xác lập của hàm số y = tan 2 x − là5πA. x = + k. B. x = + kπ. C. x = + kπ. D. x = 12 + k2π. 5 π + k. 12C âu 6. Tập giá trị của hàm số y = cos x là tập hợp nào sau đây ? A. R.B. ( − ∞ ; 0 ]. C. [ 0 ; + ∞ ]. D. [ − 1 ; 1 ]. Câu 7. Tập giá trị của hàm số y = sin 2 x làA. [ − 2 ; 2 ]. B. [ 0 ; 2 ]. C. [ − 1 ; 1 ]. D. [ 0 ; 1 ]. Câu 8. Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. C. Hàm số y = tan x là hàm số chẵn. B. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = cot x là hàm số chẵn. Câu 9. Tìm hàm số lẻ trong những hàm số sau : A. y = sin2 x. B. y = x cos 2 x. C. y = x sin x. D. y = cos x. Câu 10. Tìm điều kiện kèm theo xác lập của hàm số y = tan x + cot x. kπ, k ∈ Z.D. x ∈ R.A. x = kπ, k ∈ Z.B. x = + kπ, k ∈ Z. C. x = 2 cos 3 x − 1C âu 11. Tập xác lập của hàm số y = làcos x + 1A. D = R \ { π + kπ ; k ∈ Z }. B. D = R \ { k2π ; k ∈ Z }. C. D = R \ { + kπ ; k ∈ Z }. D. D = R \ { π + k2π ; k ∈ Z }. Câu 12. Mệnh đề nào dưới đây sai ? A. Hàm số y = tan x tuần hoàn với chu kì π. C. Hàm số y = cot x tuần hoàn với chu kì π. B. Hàm số y = cos x tuần hoàn với chu kì π. D. Hàm số y = sin 2 x tuần hoàn với chu kì π. Câu 13. Hàm số y = sin 2 x có chu kỳ luân hồi làA. T = 2 π. B. T =. C. T = π. D. T = 4 π. Câu 14. Hàm số nào là hàm số chẵn ? B. y = cos x + A. y = sin x + C. y = sin 2 x. D. y = tan x − sin 2 x. Câu 15. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ởbốn giải pháp A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào ? Trang 5 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC − π2π − 1A. y = 1 + sin x. B. y = 1 − sin x. C. y = sin x. D. y = cos x. Câu 16. Đường cong trong hình vẽ bên dưới là đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê ở bốnphương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào ? − ππ OC. y = 2 cos x. D. y = cos2 x + 1. Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = cos x + 2. A. max y = 3 và min y = 1. B. max y = 3 và min y = 2. C. max y = 3 và min y = − 2. D. max y = 3 và min y = − 1. Câu 18. Tìm tập √ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau √ y = 2 sin x + √ 3. A. max y = √ 5, min y = 1. B. max y = √ 5, min y = 2 5. D. max y = 5, min y = 3. C. max y = 5, min y = 2. Câu 19. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 3 sin 2 x − A. min y = − 2, max y = 4. B. min y = 2, max y = 4. C. min y = − 2, max y = 3. D. min y = − 1, max y = 4. A. y = cos x + 1. B. y = 2 − sin x. Câu 20. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 − 2 cos2 3 x. A. min y = 1, max y = 2. B. min y = 1, max y = 3. C. min y = 2, max y = 3. D. min y = − 1, max y = 3.sin 2 x. Câu 21. Tìm tập giá trị lớn nhất, √ giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 1 + 2 + √ A. min y = 2, max y = 1 + √ 3. B. min y = 2, max y = 2 + 3. C. min y = 1, max y = 1 + 3. D. min y = 1, max y = 2. Câu 22. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = A. min y =, max y = 4. C. min y =, max y = 2.1 + 2 sin2 xB. min y =, max y = 3. D. min y =, max y = 4. Câu 23. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 2 sin2 x + cos2 2 x. A. max y = 4, min y =. B. max y = 3, min y = 2. C. max y = 4, min y = 2. D. max y = 3, min y =. Câu 24. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x + 1. A. max y = 6, min y = − 2. B. max y = 4, min y = − 4. C. max y = 6, min y = − 4. D. max y = 6, min y = − 1. Trang 6 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCâu 25. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. min y = − 6 ; max y = 4. B. min y = − 6 ; max y = 5. C. min y = − 3 ; max y = 4. D. min y = − 6 ; max y = 6. Câu 26. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 3 sin x + 4 cos x − 1. A. max y = 4, min y = − 6. B. max y = 6, min y = − 8. C. max y = 6, min y = − 4. D. max y = 8, min y = − 6. Câu 27. Gọi T là tập giá trị của hàm số y = sin2 x − cos 2 x + 3. Tìm tổng những giá trị nguyên củaT. A. 4. B. 6. C. 7. D. 3. Câu 28. Hàm số y = cos2 x + sin x + 1 có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất lần lượt bằngD. ; 2. A. 3 ; 1. B. 1 ; − 1. C. ; 0. Câu 29. Giá √ trị lớn nhất của hàm số √ y = 2 cos x − sin 2 x √ + 5 làA. 6 + 2. B. 6 − 2. C. 2. D. − 2.sin x + 2 cos x + 1C âu 30. Tìm giá trị lớn nhất M của hàm số y = sin x + cos x + 2A. M = − 2. B. M = − 3. C. M = 3. D. M = 1. — HẾT — Trang 7 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNA KIẾN THỨC CẦN NHỚ1 Phương trình sin x = a. Trường hợp a ∈ { − 1 ; 0 ; 1 }. sinsinsincossin x = 1 ⇔ x = Trường hợp a ∈ + k2πcossin x = − 1 ⇔ x = − π2 + k2πcossin x = 0 ⇔ x = kπ √ ´ ± ; ± ; ±. Ta bấm máy SHIFT sin a để đổi số a về góc α hoặcβ ◦ tương ứng. ① Công thức theo đơn vị chức năng rad : x = α + k2πsin x = a ⇔, k ∈ Zx = π − α + k2π② Công thức theo đơn vị chức năng độ : x = β ◦ + k360 ◦ sin x = a ⇔, k ∈ Zx = 180 ◦ − β ◦ + k360 ◦ sinTrường hợp a ∈ [ − 1 ; 1 ] nhưng khác những số ở trên. x = arcsin a + k2πsin x = a ⇔, k ∈ Zx = π − arcsin a + k2πCông thức lan rộng ra cho hai hàm f ( x ) và g ( x ) sin [ f ( x ) ] = sin [ g ( x ) ] ⇔ f ( x ) = g ( x ) + k2π, k ∈ Zf ( x ) = π − g ( x ) + k2π2 Phương trình cos x = a. Trường hợp a ∈ { − 1 ; 0 ; 1 }. Trang 8 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCsinsincosTrường hợp a ∈ cos x = 0 ⇔ x = cos x = − 1 ⇔ x = π + k2πcos x = 1 ⇔ x = k2πcoscos + kπ √ ´ ; ±. Ta bấm máy SHIFT cos a để đổi số a về góc α hoặc ± ; ± β ◦ tương ứng. ① Công thức theo đơn vị chức năng rad : x = α + k2π, k ∈ Zcos x = a ⇔ x = − α + k2πcos② Công thức theo đơn vị chức năng độ : x = β ◦ + k360 ◦ cos x = a ⇔, k ∈ Zx = − β ◦ + k360 ◦ Trường hợp a ∈ [ − 1 ; 1 ] nhưng khác những số ở trên. x = arccos a + k2πcos x = a ⇔, k ∈ Zx = − arccos a + k2πCông thức lan rộng ra cho hai hàm f ( x ) và g ( x ) cos [ f ( x ) ] = cos [ g ( x ) ] ⇔ f ( x ) = g ( x ) + k2π, k ∈ Zf ( x ) = − g ( x ) + k2π3 Phương trình tan x = a. Trường hợp a ∈ 0 ; ± ; ± 1 ; ± 3. Ta bấm máy SHIFT tan a để đổi số a về góc α hoặcβ ◦ tương ứng. tang① Công thức theo đơn vị chức năng rad : tan x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z② Công thức theo đơn vị chức năng độ : tan x = a ⇔ x = β + k180, k ∈ ZTrường hợp a khác những số ở trên thìTrang 9 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCtan x = a ⇔ x = arctan a + kπ, k ∈ Z. 4 Phương trình cot x = a. ® √ Trường hợp a ∈ ± ; ± 1 ; ± 3. Ta bấm máy SHIFT tantương ứng. Riêng a = 0 thì α = để đổi số a về góc α hoặc β ◦ ① Công thức theo đơn vị chức năng rad : cotangcot x = a ⇔ x = α + kπ, k ∈ Z② Công thức theo đơn vị chức năng độ : cot x = a ⇔ x = β ◦ + k180 ◦, k ∈ ZTrường hợp a khác những số ở trên thìcot x = a ⇔ x = arccot a + kπ, k ∈ Z.B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNDẠNG 1. Giải những phương trình lượng giác cơ bảnPhương pháp giải. • Nhận dạng ( đổi khác ) về đúng loại phương trình cơ bản, xem số a quy đổi về góc ” đẹp ” hay xấu ; • Chọn và ráp công thức nghiệm. Ƙ Ví dụ 1. Giải những phương trình sau : a ) sin 3 x = − b ) 2 sin − x = 12 πd ) cos x − = 1 e ) 2 cos 2 x − 1 = 0 Ƙ Ví dụ 2. Giải những phương trình sau : a ) tan 3 x = − b ) 3 tan − x = 1 d ) sin x − 3 cos x = 0 e ) 3 cot x − 1 = 0 c ) 2 sin ( x − 45 ◦ ) − 1 = 0 f ) 3 cos x − 1 = 0. c ) tan ( x − 45 ◦ ) − 1 = 0 f ) ( tan x − 2 ) ( cot x + 1 ) = 0. Ƙ Ví dụ 3. ( A. 2014 ). Giải phương trình sin x + 4 cos x = 2 + sin 2 xTrang 10 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCDẠNG 2. Giải những phương trình lượng giác dạng mở rộngPhương pháp giải. • Biến đổi về một trong những cấu trúc sau① sin u = sin v② cos u = cos v③ tan u = tan v④ cot u = cot v • Chú ý những công thức biến hóa lượng giác sau : ① − sin x = sin ( − x ). ③ sin x = cos② − cos x = cos ( π − x ). − x. ④ cos x = sin − x. Ƙ Ví dụ 4. Giải những phương trình sau : a ) sin 3 x = sin 2 xb ) sin 2 x − sin x = 0 c ) sin 5 x + sin x = 0 d ) cos 2 x − cos x = 0 e ) cos 8 x + cos x = 0 f ) cos 4 x − sin x = 0 Ƙ Ví dụ 5. ( B. 2013 ). Giải phương trình sin 5 x + 2 cos2 x = 1D ẠNG 3. Giải những phương trình lượng giác có điều kiện kèm theo xác địnhPhương pháp giải. Ƙ Ví dụ 6. Giải những phương trình sau : a ) cos x = 01 − sin xb ) cos2 x − sin2 x = 02 − sin xƘ Ví dụ 7. Giải phương trình tan 2 x + c ) tan x ( 1 − 2 sin2 x ) = 0 + tan − x = 0. − π + kπ, k ∈ Z. • Đáp số x = Ƙ Ví dụ 8. Giải phương trình cot − 1 cot + 1 = 0.3 π • Đáp số x = + k3π, x = − + k2π, ( k ∈ Z ). Ƙ Ví dụ 9. Giải phương trìnhsin 2 x + 2 cos x − sin x − 1 = 03 + tan x • Đáp số x = + k2π. DẠNG 4. Giải những phương trình lượng giác trên khoảng chừng ( a ; b ) cho trướcPhương pháp giải. ① Giải phương trình, tìm những họ nghiệm x = α + kπ② Vì x ∈ ( a ; b ) nên a < α + kπ < b, chuyển vế tìm khoảng chừng " xê dịch " của k. ③ Kết hợp với k ∈ Z, ta chọn những giá trị k nguyên nằm trong khoảng chừng vừa tìm được. ④ Với mỗi giá trị k, ta thay vào tìm nghiệm tương ứng. Trang 11 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCƘ Ví dụ 10. Tìm nghiệm của những phương trình lượng giác sau trên khoảng chừng cho trướcb ) 2 sin ( x − 1 ) = − 1 trên − 7 πa ) 3 tan x − 3 = 0 trên ( 0, 3 π ). 2, 2. c ) 2 cos 3 x − d ) tan ( 3 x + 2 ) − 3 = 0 trên − π2, π2. − 1 = 0 trên ( − π, π ). − π2πƘ Ví dụ 11. Giải phương trình 3 − 3 tan 2 x − = 0 vớiƘ Ví dụ 12. Giải phương trình tan ( x + 30 ◦ ) + 1 = 0 với − 90 ◦ < x < 360 ◦. Ƙ Ví dụ 13. Tìm x ∈ ( − π ; π ) sao cho sin x − + 2 cos x + = 0. C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1. Với k ∈ Z thì phương trình 2 sin ( x + 60 ◦ ) = 3 có nghiệm làA. x = k. 1800 ; x = 600 + k. 1800. B. x = k. 3600 ; x = − 1200 + k. 3600. C. x = k. 3600 ; x = 600 + k. 3600. D. x = − 300 + k. 3600 ; x = 900 + k. 3600. Câu 2. Phương trình nào dưới đây có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình sin x = 0 ? A. tan x = 0. B. cos x = − 1. C. cot x = 1. D. cos x = 1. Câu 3. Tìm m để phương trình cos 2 x = 1 − m có nghiệm. A. − 1 m 3. B. 0 m 2. C. m 2. D. mCâu 4. Phương trình nào sau đây vô nghiệm ? B. tan x = 3. A. sin x =. D. cos x = −. C. sin x = 3.0. Câu 5. Phương trình sin x = m vô nghiệm khi và chỉ khiA. m > 1. B. m < − 1. C. − 1 ≤ m ≤ 1. Câu 6. Nghiệm của phương trình sin x = − 1 làA. x = − + kπ, k ∈ Z. 3 πC. x = + kπ, k ∈ Z.m < − 1D. m > 1. B. x = kπ, k ∈ Z.D. x = − + k2π, k ∈ Z.Câu 7. Tìm nghiệm của phương trình cot x − 2 πA. x = + kπ, k ∈ Z.B. x = + kπ, k ∈ Z.C. x = + k2π, k ∈ Z.D. x = kπ, k ∈ Z.Câu 8. Phương trình cos x = − có tập nghiệm là ™ 25 πA. x = ± + k2π ; k ∈ Z. B. x = ± + kπ ; k ∈ Z. C. x = ± + k2π ; k ∈ Z. D. x = ± + kπ ; k ∈ Z. Câu 9. Tìm toàn bộ những nghiệm của phương trình sin 3 x = Trang 12 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCx = A.  x = x = C.  x = π k2π, k ∈ Z2π k2π, k ∈ Zπ kπ +, k ∈ Z2π kπ +, k ∈ Zx = B.  x = x = D.  x = + k2π, k ∈ Z2π + k2π, k ∈ Zπ k2π, k ∈ Z2π k2π, k ∈ ZCâu 10. Nghiệm của phương trình 2 sin x + 1 = 0 là11π − π − 7 πA. x = + k2π và x = + k2π. B. x = + k2π và x = + k2π. 7 π − π7π − πC. x = + kπ và x = + kπ. D. x = + k2π và x = + k2π. Câu 11. Phương trình sin x − cos x = 1 có một nghiệm là2πA. −. B.. C.Câu 12. Tập nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 làA. + 2 kπ, k ∈ Z. B.C. { kπ, k ∈ Z }. D.D. π. + kπ, k ∈ Z. + 2 kπ, k ∈ Z. có số nghiệm thuộc ( − π ; π ) A. 1. B. 3. C. 2. D. 4. Câu 14. Cho phương trình sin 2 x =. Gọi n là số những nghiệm của phương trình trong đoạn [ 0 ; 3 π ] thì giá trị của n làA. n = 8. B. n = 5. C. n = 6. D. n = 2. Câu 13. Phương trình sin x = Câu 15. Tìm tổng thể những nghiệm của phương trình sin x − cos x = 0.5 πB. x = + k2π ; x = + k2π ( k ∈ Z ). A. x = ± + k2π ( k ∈ Z ). 5 πC. x = + k2π ( k ∈ Z ). D. x = + k2π ( k ∈ Z ). Câu 16. Tìm số đo ba góc của một tam giác cân biết rằng số đo của một góc là nghiệm của phươngtrình cos 2 x = −. π π ππ π ππ π π2π π πA., ,, , B., ,, , 3 3 33 6 6 ß3 3 3 ™ 4 4 22 π π ππ π πC., , D., , 3 6 63 3 3C âu 17. Tìm toàn bộ những giá trị m để phương trình sau có nghiệm : cos 2 x =. A. m ≤ 1. B. − 1 ≤ m ≤ 1. C. − 2 ≤ m ≤ 2. D. m ≤ − 1 hoặc m ≥ 1. Câu 18. Số nghiệm của phương trình 2 cos x − = 1 trong khoảng chừng ( 0 ; π ) làA. 4. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 19. Phương trình 2 cos x − 1 = 0 có nghiệm làA. x = ± + k2π, k ∈ Z.B. x = ± + kπ, k ∈ Z.C. x = ± + 2 π, k ∈ Z.D. x = ± + k2π, k ∈ Z.Trang 13 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCâu 20. Tập nghiệm của phương trình cos 2 x = − 1 làA. − kπ, k ∈ Z.B. − + kπ, k ∈ Z. D. { 90 ◦ + k180 ◦, k ∈ Z }. C. − + k2π, k ∈ Z. Câu 21. Số điểm màn biểu diễn những nghiệm của phương trình sin 2 x + = trên đường tròn lượnggiác làA. 4. B. 6. C. 1. D. 2. Câu 22. Phương trình cos = − 1 có tập nghiệm làA. { 2 π + k4π | k ∈ Z }. B. { π + k2π | k ∈ Z }. C. { k4π | k ∈ Z }. D. { k2π | k ∈ Z }. Câu 23. Nghiệm của phương trình sin4 x − cos4 x = 0 làA. x = π + k2π. B. x = kπ. C. x = + kπ. D. x = + k. Câu 24. Tìm toàn bộ nghiệm của phương trình sin x. cos x. cos 2 x = 0. A. k ( k ∈ Z ). B. kπ ( k ∈ Z ). C. k ( k ∈ Z ). D. k ( k ∈ Z ). Câu 25. Tính tổng những nghiệm x ∈ [ 0 ; 2018 π ] của phương trình sin 2 x = 1.4071315 π4071315π8141621π8141621πA. S = B. S = C. S = D. S = Câu 26. Tìm số nghiệm thuộc khoảng chừng ( − π ; π ) của phương trình cos x + sin 2 x = 0A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Câu 27. Phương trình sin 5 x − sin x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [ − 2018 π ; 2018 π ] ? A. 16145. B. 20181. C. 20179. D. 16144. Câu 28. Tìm toàn bộ những giá trị nguyên của tham số m để phương trình cos2 πx = mét vuông − 9 có nghiệm. A. 5. B. 2. C. 1. D. 3. — HẾT — Trang 14 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 3. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶPA KIẾN THỨC CẦN NHỚ1 Phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giácDạng phương trình① a · sin x + b = 0 ② a · cos x + b = 0 ③ a · tan x + b = 0 ④ a · cot x + b = 0P hương pháp giải : Chuyển vế, đổi khác về phương trình cơ bản. ① a · sin x + b = 0 ⇔ sin x = − ② a · cos x + b = 0 ⇔ cos x = − ④ a · cot x + b = 0 ⇔ cot x = − ③ a · tan x + b = 0 ⇔ tan x = − 2 Phương trình bậc nhất so với sinx và cosxDạng phương trình • a sin x ± b cos x = c ( 1 ). • Điều kiện có nghiệm a2 + b2 ≥ c2. Phương pháp giải : Chia 2 vế phương trình choa2 + b2. Khi đó ( 1 ) ⇔ √ sin x ± √ cos x = √ a2 + b2a2 + b2a2 + b2 ⇔ cos φ · sin x ± sin φ · cos x = √ a2 + b2 ⇔ sin ( x ± φ ) = √ ( 2 ), với cos φ = √ và sin φ = √ a2 + b2a2 + b2a2 + b2Phương trình ( 2 ) là phương trình cơ bản đã xét ở bài trước. Chú ý hai công thức sau : • sin a cos b ± cos a sin b = sin ( a ± b ). • cos a cos b ± sin a sin b = cos ( a ∓ b ). 3 Phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giácDạng phương trình① a · sin2 x + b · sin x + c = 0 ② a · cos2 x + b · cos x + c = 0 ③ a · tan2 x + b · tan x + c = 0 ④ a · cot2 x + b · cot x + c = 0T rang 15 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCPhương pháp giải • Đặt ẩn phụ t, chuyển phương trình về ẩn t. • Bấm máy, tìm nghiệm t. Sau đó, giải tìm x. • Chú ý với phương trình số ① và ② thì − 1 ≤ t ≤ 1. B PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNDẠNG 1. Giải phương trình bậc nhất so với một hàm số lượng giácPhương pháp giải. Ƙ Ví dụ 1. Giải những phương trình sau : 2 cos x − 1 = 0 ; d ) 3 cot x − 1 = 0. a ) 2 sin x + 1 = 0 ; c ) tan x + 3 = 0 ; b ) Ƙ Ví dụ 2. Giải những phương trình sau : + 1 = 0. c ) tan − x + 3 = 0. a ) 2 sin x − 2 cos 3 x − − 1 = 0. d ) 3 cot x + + 3 = 0. b ) Ƙ Ví dụ 3. Tìm tổng thể những nghiệm của phương trình 2 sin 2 x − 1 = 0 trong đoạn [ − 2 π ; 2 π ]. Ƙ Ví dụ 4. Giải phương trình ( 2 cos x − 1 ) ( sin x + cos x ) = sin 2 x − sin x. BÀI TẬP TỰ LUYỆNĄ Bài 1. Giải những phương trình saua ) 2 cos 2 x + 3 = 0. c ) 2 cos 2 x − 2 = 0. e ) 2 cos x − + 1 = 0. g ) 3 sin ( x − 1 ) + 2 = 0. i ) ( cos 2 x + 2 ) ( cot 3 x − 1 ) = 0. b ) 2 sin 3 x + 1 = 0 d ) 3 − 2 3 cos x + = 0.2 πf ) 2 2 sin x + = 6. h ) 3 tan − 2 x + 1 = 0. j ) 2 − 2 3 tan x + = 0. Ą Bài 2. Tìm nghiệm của những phương trình lượng giác sau trên khoảng chừng cho trước7π πa ) 3 tan x − 3 = 0 trên ( 0, 3 π ). b ) 2 sin ( x − 1 ) = − 1 trên −, 2 2 Ą Bài 3. Giải phương trình 2 sin2 2 x + sin 7 x − 1 = sin x. Ą Bài 4. Giải phương trình ( cos x − sin x ) sin x cos x = cos x cos 2 x. Ą Bài 5. Giải phương trình ( 2 sin x − cos x ) ( 1 + cos x ) = sin2 x. Trang 16 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCDẠNG 2. Giải phương trình bậc hai so với một hàm số lượng giácPhương pháp giải. Ƙ Ví dụ 5. Giải những phương trình saua ) 3 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0 ; b ) 4 cos2 x − 4 cos x − 3 = 0. d ) 3 tan2 x − 2 tan x + 3 = 0. c ) 3 sin2 2 x + 7 cos 2 x − 3 = 0 ; Ƙ Ví dụ 6. Giải những phương trình saua ) cos 2 x + cos x + 1 = 0 ; b ) 6 sin2 3 x + cos 12 x = 14 ; c ) cos 4 x + 6 = 7 cos 2 x ; d ) 7 tan x − 4 cot x = 12. Ƙ Ví dụ 7. Giải những phương trình sau √ ä2 2 a ) 1 − 2 + 2 sin x + = 0 ; 1 + cot2 xb ) tan2 x − + 7 = 0.cos xƘ Ví dụ 8. Giải những phương trình saua ) cos 2 x + 3 cot x + sin 4 x = 2 ; cot 2 x − cos 2 xb ) 4 sin2 2 x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2 x = 0.cos xBÀI TẬP TỰ LUYỆNĄ Bài 6. Giải những phương trình saua ) cos2 x + cos x − 2 = 0 ; c ) 6 cos2 x + 5 sin x − 7 = 0 ; b ) 2 sin2 x − 5 sin x + 2 = 0 ; d ) 3 tan2 x − 2 3 tan x + 1 = 0. Ą Bài 7. Giải những phương trình sau : a ) 2 tan x + cot x − 3 = 0 b ) 5 sin x − 2 = 3 ( 1 − sin x ) tan2 x ; c ) 2 cos 2 x. cos x = 1 + cos 2 x + cos 3 x ; d ) cos 2 x + cos x = 4 sin2Ą Bài 8. Tìm nghiệm x ∈ ( 0 ; 10 π ) của phương trìnhtan3 = sin x 1 + tan x. tancos xDẠNG 3. Giải phương trình bậc nhất so với sinx và cosxPhương pháp giải. Ƙ Ví dụ 9. Giải những phương trình sau : a ) sin x + 3 cos x = 1 ; c ) sin 2 x − 3 cos 2 x = 2 ; b ) 3 sin 2 x − cos 2 x = 2 ; d ) 3 sin x + cos x = 2. Trang 17 − 1 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC2π 6 πƘ Ví dụ 10. Tìm những nghiệm x ∈ 5 7 của phương trình cos 7 x − 3 sin 7 x = − 2. Ƙ Ví dụ 11. ( D. 2007 ). Giải phương trình sin + cosƘ Ví dụ 12. Giải phương trình + 3 cos x = 2. ( 1 − 2 sin x ) cos x = 3. ( 1 + 2 sin x ) ( 1 − sin x ) BÀI TẬP TỰ LUYỆNĄ Bài 9. Giải những phương trình sau : a ) cos x − 3 sin x = 1 c ) 3 cos x − sin x = 03 sin x + cos x = 2 d ) sin 3 x − 3 cos 3 x = 2 sin 4 xb ) Ą Bài 10. Giải những phương trình sau = 2 ; a ) cos ( π − 2 x ) − cos 2 x + = 2 2 ; b ) 3 cos 2 x + sin 2 x + 2 sin 2 x − c ) sin x − 2 cos 3 x = 3 cos x + 2 sin 3 x ; d ) cos 7 x cos 5 x − 3 sin 2 x = − sin 5 x sin 7 x. Ą Bài 11. Giải những phương trình sau : a ) sin x − 3 cos x = 2 sin 5 xb ) 3 sin 2 x + 2 sin2 x = 2 c ) 3 cos 5 x − 2 sin 3 x cos 2 x − sin x = 0 d ) cos 7 x cos 5 x − 3 sin 2 x = 1 − sin 7 x sin 5 xe ) sin x + cos x sin 2 x + 3 cos 3 x = 2 cos 4 x + sin3 xf ) tan x − 3 cot x = 4 sin x + 3 cos xĄ Bài 12. Giải phương trình 2 sin ( x + ) + sin x + 2 cos x = 3. Ą Bài 13. Giải phương trình ( sin 2 x + cos 2 x ) cos x + 2 cos 2 x − sin x = 0. Ą Bài 14. Giải phương trình sin 2 x − cos 2 x + 3 sin x − cos x − 1 = 0. DẠNG 4. Phương trình đẳng cấp bậc hai so với sinx và cosxPhương pháp giải. Dạng phương trình • a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = 0T rang 18 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • Tổng quát : a sin2 x + b sin x cos x + c cos2 x = dPhương pháp giải • Trường hợp 1. Xét cos x = 0, khi đó sin x = ± 1. Ta thay trực tiếp vào phương trìnhNếu thỏa mãn nhu cầu, suy ra x = + kπ là nghiệm và xét tiếp Trường hợp 2. Nếu không thỏa mãn nhu cầu, ta bỏ lỡ và xét tiếp Trường hợp 2. • Trường hợp 2. Xét cos x = 0, chia 2 vế phương trình cho cos2 x ta đưa phương trìnhđang xét về dạng phương trình bậc hai theo tan x. • Tổng hợp nghiệm ở 2 trường hợp. Chú ý công thứcsin x = tan x.cos x② sin 2 x = 2 sin x cos x = tan2 x + 1 cos2 xƘ Ví dụ 13. Giải những phương trình sau : a ) 2 cos2 x − 3 sin x. cos x + sin2 x = 0 c ) 4 sin2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos2 x = 4 b ) sin2 x − sin 2 x − 3 cos2 x + 2 = 0 d ) 4 cos2 x + sin 2 x − 3 = 0B ÀI TẬP TỰ LUYỆNĄ Bài 15. Giải những phương trình sau : Ä √ √ äa ) 2 sin2 x + 3 + 3 sin x cos x + 3 − 1 cos2 x = − 1 b ) sin2 x + sin 2 x − 2 cos2 x = c ) 4 sin2 x + 3 3 sin 2 x − 2 cos2 x = 43 + 2 d ) sin x + 3 sin x cos x + 2 cos x = e ) 2 sin2 x − 5 sin x cos x − cos2 x = − 2 Ä √ f ) 3 sin2 x + 8 sin x cos x + 8 3 − 9 cos2 x = 0D ẠNG 5. Phương trình chứa sin x ± cos x và sin x · cos xPhương pháp giải. Dạng phương trình • a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x + c = 0. • a ( sin x − cos x ) + b sin x cos x + c = 0. Phương pháp giải : • Đặt t = sin x ± cos xTrang 19 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC • Tính t 2 = ( sin x ± cos x ) 2 = 1 ± 2 sin x · cos x. Từ đây ta tính được sin x · cos x. • Thay trở lại phương trình, chuyển phương trình về ẩn t. Giải tìm t, sau đó tìm x. Chú ý① Điều kiện của t là − 2 ≤ t ≤ 2. ② sin x ± cos x = 2 sin x ± Ƙ Ví dụ 14. Giải những phương trìnha ) sin x cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2 b ) sin x − cos x + 4 sin x cos x + 1 = 0 c ) 4 2 ( sin x + cos x ) + 3 sin 2 x − 11 = 0 d ) sin 2 x + 2 sin x − = 1B ÀI TẬP TỰ LUYỆNĄ Bài 16. Giải những phương trìnha ) sin x − cos x + 7 sin 2 x = 1 c ) sin x + cos x + b ) cot x − tan x = sin x + cos x10sin x cos xd ) 1 + sin3 x + cos3 x = sin 2 xC BÀI TẬP TRẮC NGHIỆMCâu 1.  Phương trình 2 sin x − 3 = 0 có những nghiệm là  x = x = + k2πA.  Z.B.x = − + k2πx = x = x = + k2πZ. D.C.  x = − + k2πx = + k2π, k ∈ Z. 2 π + k2π + kπ, k ∈ Z. 2 π + kπCâu 2. Cho phương trình sin x − ( m + 1 ) cos x = 2. Tìm m đểÄphương trình cónghiệm. √ ó îA. m ∈ [ 0 ; − 2 ]. B. m ∈ − ∞ ; − 1 − 3 ∪ − 1 + 3 ; + ∞. √ óC. m ∈ ( − ∞ ; − 2 ] ∪ [ 0 ; + ∞ ). D. m ∈ − 1 − 3 ; − 1 + 3. Câu 3. Giải phương trình 2 cos x − 1 = 0. A. x = ± + k2π, k ∈ Z.C. x = + k2π, k ∈ Z.B. x = ± + k2π, k ∈ Z.D. x = ± + 2 π, k ∈ Z.Câu 4. Nghiệm của phương trình cot 3 x = − 1 làA. x = + kπ với k ∈ Z. 12C. x = + k với k ∈ Z. 12C âu 5. Nghiệm của phương trình sin 2 x = 1 làB. x = + kπ. A. x = + k2π. + kπ với k ∈ Z. 12D. x = − + k với k ∈ Z. 12B. x = − C. x = Trang 20 kπD. x = + k2π. Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCâu 6. Điều kiện cần và đủ để phương trình m sin x − 3 cos x = 5 có nghiệm là m ∈ ( − ∞ ; a ] ∪ [ b ; + ∞ ) với a, b ∈ Z. Tính a + b. A. − 4. B. 4. C. 0. D. 8. Câu 7. Giải phương trình sin 2 x = 1. kπ, với k ∈ Z.A. x = C. x = + kπ, với k ∈ Z. + k2π, với k ∈ Z.D. x = + k2π, với k ∈ Z.B. x = Câu 8. Trong những phương trình sau phương trình nào vô nghiệm ? A. tan x = π. B. sin x =. C. sin x + cos x = 2. Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3 x = cos x làA. x = ± + k2π ; k ∈ Z.B. x = D. x = C. x = − kπ ; k ∈ Z.D. cos x = 20172018 π kπ +, x = + kπ ; k ∈ Z. + kπ ; k ∈ Z.Câu 10. Tìm số điểm phân biệt màn biểu diễn những nghiệm của phương trình sin 2 x − cos x = 0 trên đườngtròn lượng giác. A. 1. B. 4. C. 3. D. 2. Câu 11. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3 sin2 x + 2 sin x cos x − cos2 x = 0. Chọnkhẳng định đúng. 3 π3πB. x0 ∈ ; 2 π. C. x0 ∈ ; π. D. x0 ∈ π ; A. x0 ∈ 0 ; Câu 12. Nghiệm của phương trình 2 sin 4 x − − 1 = 0 làx = k2πx = kπA.  ( k ∈ Z ). B. ( k ∈ Z ). x = π + k2πx = + k2πx = + kx = π + k2π ( k ∈ Z ). D.  ( k ∈ Z ). C.  7 πx = k24Câu 13. Phương trình 2 sin x − 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm x ∈ ( 0 ; 2 π ) ? A. 1 nghiệm. B. 4 nghiệm. C. Vô số nghiệm. Câu 14. Giải phương trình cos 2 x + 5 sin x − 4 = 0. A. x = + kπ. B. x = k2π. C. x = + kπ. Câu 15. Cho sin x + cos x = và 0 < x <. Tính giá tri của sin x. 1 − 71 + 71 − 7A. sin x = B. sin x = C. sin x = D. 2 nghiệm. D. x = + k2π. 1 + 7D. sin x = Câu 16. Cho x0 là nghiệm của phương trình sin x cos x + 2 ( sin x + cos x ) = 2. Khi đó, giá trị củaP = 3 + sin 2x0 √ làA. P = 3 + B. P = 2. C. P = 0. D. P = 3. Câu 17. Giải phương trình sin 3 x + cos 3 x = 2.2 πA. x = + k, k ∈ Z.B. x = + k, k ∈ Z. 2 πC. x = + kπ, k ∈ Z.D. x = + k, k ∈ Z. 12T rang 21 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCCâu 18. Số nghiệm của phương trìnhA. 4. B. 3.2 cos x + = 1 với 0 ≤ x ≤ 2 π. C. 1. D. 2. Câu 19. Phương trình cos x = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng chừng ( − π ; π ) ? A. 3. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 20. Tổng 2 nghiệm dương liên tục nhỏ nhất của phương trình cos 4 x + = 0 là5π7πA. B.. C.. D.Câu 21. Cho phương trình cos 2 x + cos x = 2. Khi đặt t = cos x, phương trình đã cho trở thành phươngtrình nào dưới đây ? A. 2 t 2 + t − 3 = 0. B. 2 t 2 − t − 1 = 0. C. 2 t 2 − t − 3 = 0. D. 2 t 2 + t − 1 = 0.sin 3 xCâu 22. Số nghiệm phương trình = 0 thuộc đoạn [ 2 π ; 4 π ] làcos x + 1A. 6. B. 2. C. 4. D. 5. Câu 23. Tìm tổng thể những giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m − 1 có nghiệm. A. 1 ≤ m ≤ 2. B. m ≤ 2. C. 1 < m < 2. D. m ≥ 1. Câu 24. Điều kiện của tham số thực m để phương trình ñsin x + ( m + 1 ) cos x = 2 vô nghiệm làm ≥ 0A. m > 0. B. − 2 < m < 0. C.D. m < − 2. m ≤ − 2C âu 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để phương trình m sin 2 x − 3 cos 2 x = 2 m + 1 cónghiệm ? A. 4. B. 2. C. 1. D. 10. Câu 26. Tìm số đo góc của một tam giác cân biết rằng có số đo của một góc là nghiệm của phươngtrình cos 2 x = −. π π ππ π ππ π πA. ; ; ; ; B. ; ; 3 3 3 ß2 4 4 ™ ß3 3 3 ™ π π π2π π π2π π πC. ; ; ; ; D. ; ; 3 3 33 6 63 6 6C âu 27. Cho 0 < α < thỏa mãn nhu cầu sin α + 2 sin − α = 2. Tính tan α + 4 √ 9 + 4 2 − 9 + 4 29 − 4 29 + 4 2A. − B.C.D.Câu 28. Tính tổng tổng thể T những nghiệm thuộc đoạn [ 0 ; 200 π ] của phương trình cos 2 x − 3 cos x − 4 = 0. A. T = 10000 π. B. T = 5100 π. C. T = 5151 π. D. T = 10100 π. Câu 29. Số nghiệm của phương trình cos2 x − sin 2 x = 2 + cos2 + x trên khoảng chừng ( 0 ; 3 π ) bằngA. 4. B. 1. C. 3. D. 2. Câu 30. Số những giá trị thực của tham số m để phương trình ( sin x − 1 ) ( 2 cos2 x − ( 2 m + 1 ) cos x + m ) = 0 có đúng 4 nghiệm thực thuộc đoạn [ 0 ; 2 π ] làA. 1. B. 2. C. 3. D. Vô số. — HẾT — Trang 22 Ƅ Chương 1. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC § 4. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PT LƯỢNG GIÁCA PHÂN LOẠI, PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁNDẠNG 1. Biến đổi đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai ( ba ) đốivới một hàm số lượng giácPhương pháp giải. Ƙ Ví dụ 1. Giải những phương trình saua ) cos 2 x + 2 cos x = 2 sin4 sin2 2 x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2 x √ åb ) = 0.cos x sin x − c ) 2 tan2 x + cos 4 x = 1 d ) 2 sin3 x + 4 cos3 x = 3 sin x. Đáp số : a ) x = + k2π ; x = − + k2π. b ) x = c ) x = π kπ + ; x = kπ. d ) 4 π + k2π ; x = − + k2π. + kπ. Ƙ Ví dụ 2. Cho phương trình cos 5 x cos x = cos 4 x cos 2 x + 3 cos 2 x + 1. Tìm những nghiệm củaphương trình thuộc ( − π ; π ) Đáp số : 5 π • Nghiệm x = ± + kπ. • Do x ∈ ( − π ; π ) nên x = ± ; x = ±. 15 π9πƘ Ví dụ 3. Phương trình sin 2 x + − 3 cos x − = 1 + 2 sin x có tổng thể bao nhiêuπ 5 πnghiệm thuộc đoạn6 6 Đáp số : 5 π • x = kπ ; x = + k2π ; x = + k2π. π 5 π5π • Do x ∈ nên x = ; x = 6 6 Ƙ Ví dụ 4. ( A-2002 ). Tìm nghiệm thuộc khoảng chừng ( 0 ; 2 π ) của phương trìnhcos 3 x + sin 3x5 sin x + = cos 2 x + 3.1 + 2 sin 2 xĐáp số : • Biến đổi phương trình về 5 cos x = 2 cos 2 x + 3. Trang 23 • Nghiệm x = 5 π ; x =

Xem Thêm Thuốc Endpovid A-D Chính hãng Việt Nam

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp