Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập Phương trình chứa căn thức

Bài viết này sẽ giải đáp những vấn đề về lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập Phương trình chứa căn thức để bạn hiểu rõ về phương trình căn thức cũng như các giải bài tập phương trình chứa căn thức một cách nhanh nhất và chuẩn xác nhất.

Nhắc lại kiến thức căn bản 

Đầu tiên những bạn phải nắm rõ được những kiến thức và kỹ năng về căn thức cũng như những hằng đẳng thức quan trọng .

Định nghĩa căn thức là gì?

Căn bậc 2 ( căn bậc hai ) của một số ít ( a ) không âm là số ( x ) sao cho ( x ^ 2 = a )
Như vậy, mỗi số dương ( a ) có hai căn bậc 2 là ( sqrt { a } ; – sqrt { a } )
Tương tự như vậy, ta có định nghĩa căn bậc 3, bậc 4 :
Căn bậc 3 ( căn bậc ba ) của một số ít ( a ) là số ( x ) sao cho ( x ^ 3 = a ). Mỗi số ( a ) chỉ có duy nhất một căn bậc 3
Căn bậc 4 của 1 số ít ( a ) không âm là số ( x ) sao cho ( x ^ 4 = a ). Mỗi số dương ( a ) có hai căn bậc 4 là ( sqrt [ 4 ] { a } ; – sqrt [ 4 ] { a } )

Các hằng đẳng thức quan trọng 

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 2 

Dưới đây là định nghĩa về phương trình chứa căn bậc 2 và chiêu thức giải đơn thuần nhất :

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 2 là gì?

Phương trình chứa căn bậc 2 là phương trình có chứa đại lượng ( sqrt { f ( x ) } ). Với dạng toán này, trước khi khởi đầu giải thì ta luôn phải tìm điều kiện kèm theo để biểu thức trong căn có nghĩa, tức là tìm khoảng chừng giá trị của ( x ) để ( f ( x ) geq 0 ) .

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 đơn giản

Phương pháp bình phương 2 vế được sử dụng để giải PT chứa căn bậc 2. Đây được xem là chiêu thức đơn thuần và hay được sử dụng nhất, thường được dùng với những phương trình dạng : ( sqrt { f ( x ) } = g ( x ) )

• Bước 1: Tìm điều kiện của (x) để (f(x) geq 0; g(x) geq 0)

• Bước 2: Bình phương hai vế, rồi rút gọn

• Bước 3: Giải tìm (x) và kiểm tra có thỏa mãn điều kiện hay không.

Ví dụ :

Giải phương trình : ( sqrt { x ^ 2-4 x + 3 } = 3 x – 7 )

Cách giải:

ĐKXĐ :
( left { begin { matrix } x ^ 2-4 x + 3 geq 0 3 x – 7 geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } ( x-1 ) ( x-3 ) geq 03 x geq 7 end { matrix } right. )
( Leftrightarrowleft { begin { matrix } left [ begin { array } { l } x geq 3 x leq 1 end { array } right. xgeq frac { 7 } { 3 } end { matrix } right. Leftrightarrow xgeq 3 )
Bình phương 2 vế, ta có :
( x ^ 2-4 x + 3 = 3 x – 7 Leftrightarrow x ^ 2-7 x + 10 = 0 )
( Leftrightarrow ( x-2 ) ( x-5 ) = 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 2 x = 5 end { array } right. )
Kiểm tra điều kiện kèm theo thấy ( x = 5 ) thỏa mãn nhu cầu
Kết luận : Nghiệm của phương trình đã cho là ( x = 5 )

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 2 lớp 9 nâng cao

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

Phương pháp này sử dụng những bất đẳng thức cơ bản để chứng tỏ :
Vế trái ( geq ) Vế phải hoặc Vế trái ( leq ) Vế phải rồi sau đó “ ép ” cho dấu “ = ” xảy ra .

Ví dụ :

Giải phương trình : ( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } = 2 sqrt { 2 } )

Cách làm :

Điều kiện xác lập :
( left { begin { matrix } 5 x – x ^ 2-4 geq 0 x-1 geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } ( x-1 ) ( x-4 ) leq 0 x geq 1 end { matrix } right. Leftrightarrow 1 leq x leq 4 )
Áp dụng BĐT ( sqrt { a } + sqrt { b } leq sqrt { 2 ( a + b ) } ), ta có :
( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 ( 6 x – x ^ 2-5 ) } )
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi :
( 5 x – x ^ 2-4 = x-1 Leftrightarrow ( x-1 ) ( x-3 ) = 0 )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 1 x = 3 end { array } right. hspace { 1 cm } ( 1 ) )
Ta có : ( 6 x – x ^ 2-5 = – ( x ^ 2-6 x + 9 ) + 4 = 4 – ( x-3 ) ^ 2 leq 4 )
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi ( x = 3 hspace { 1 cm } ( 2 ) )
Vậy :
( sqrt { 5 x – x ^ 2-4 } + sqrt { x-1 } leq sqrt { 2 ( 6 x – x ^ 2-5 ) } leq sqrt { 8 } = 2 sqrt { 2 } )
Do đó, để thỏa mãn nhu cầu phương trình đã cho thì ( ( 1 ) ( 2 ) ) phải thỏa mãn nhu cầu, hay ( x = 3 )

Phương pháp đặt ẩn phụ quy về hệ phương trình

Với những phương trình dạng : ( sqrt { f ( x ) } pm sqrt { g ( x ) } = k ) ta hoàn toàn có thể đặt ẩn phụ ( left { begin { matrix } a = sqrt { f ( x ) } b = sqrt { g ( x ) } end { matrix } right. ) rồi giải hệ phương trình hai ẩn ( a, b )

Ví dụ :

Giải phương trình : ( sqrt { x ^ 2 + 5 } – sqrt { x ^ 2-3 } = 2 )

Cách giải:

Điều kiện xác lập : ( left [ begin { array } { l } x geq sqrt { 3 } x leq – sqrt { 3 } end { array } right. )
Đặt ( left { begin { matrix } a = sqrt { x ^ 2 + 5 } b = sqrt { x ^ 2-3 } end { matrix } right. ) ta có :
( left { begin { matrix } a-b = 2 a ^ 2 – b ^ 2 = 8 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } a-b = 2 ( a-b ) ( a + b ) = 8 end { matrix } right. )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } a-b = 2 a + b = 4 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } a = 3 b = 1 end { matrix } right. )
Thay vào ta tìm được ( x = 1 ) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo )
Vậy nghiệm của phương trình là ( x = 1 )

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 3

Cùng tìm hiểu và khám phá về phương trình chứa căn bậc 3 và những giải pháp giải phương trình chưa căn bậc 3

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{f(x)}=g(x))

Với dạng bài này, ta lập phương hai vế để phá bỏ căn thức rồi rút gọn sau đó quy về tìm nghiệm của phương trình : ( g ^ 3 ( x ) – f ( x ) = 0 )

Ví dụ:

Giải phương trình : ( sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } = x-2 )

Cách giải:

Lập phương 2 vế phương trình ta có :
( 3 x – 4 = ( x-2 ) ^ 3L eftrightarrow x ^ 3-6 x ^ 2 + 9 x – 4 = 0 )
( Leftrightarrow ( x-1 ) ^ 2 ( x-4 ) = 0 )
( Leftrightarrow left [ begin { array } { l } x = 1 x = 4 end { array } right. )

Giải phương trình chứa căn bậc 3 (sqrt[3]{A}+sqrt[3]{B}=sqrt[3]{C})

Với dạng bài này ta lập phương 2 vế, phương trình trở thành :
( A + B + 3 sqrt [ 3 ] { AB } ( sqrt [ 3 ] { A } + sqrt [ 3 ] { B } ) = C )
Thay ( sqrt [ 3 ] { A } + sqrt [ 3 ] { B } = sqrt [ 3 ] { C } ) vào ta được :
( sqrt [ 3 ] { ABC } = C-A-B ( 2 ) )
Phương trình trở về dạng ( sqrt [ 3 ] { f ( x ) } = g ( x ) ) .
Chú ý : Sau khi giải ra nghiệm, ta cần thử lại vào phương trình đã cho vì phương trình ( ( 2 ) ) chỉ là hệ quả của phương trình khởi đầu

Ví dụ :

Giải phương trình :
( sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } + sqrt [ 3 ] { x + 3 } = sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } )

Cách giải:

Lập phương 2 vế ta được :
( ( 3 x – 4 ) + ( x + 3 ) + 3 sqrt [ 3 ] { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. ( sqrt [ 3 ] { 3 x – 4 } + sqrt [ 3 ] { x + 3 } ) = 4 x – 1 )
( Rightarrow 3 sqrt [ 3 ] { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } = 0 )
( Rightarrow 3 sqrt [ 3 ] { ( 3 x – 4 ) ( x + 3 ) }. sqrt [ 3 ] { 4 x – 1 } = 0 Rightarrow left [ begin { array } { l } x = frac { 4 } { 3 } x = – 3 x = frac { 1 } { 4 } end { array } right. )
Thử lại thấy cả 3 nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là : ( frac { 4 } { 3 } ; – 3 ; frac { 1 } { 4 } )

Tìm hiểu về phương trình chứa căn bậc 4

Cùng khám phá về phương trình chứa căn bậc 4 và những chiêu thức giải phương trình chưa căn bậc 4

Định nghĩa phương trình chứa căn bậc 4 là gì?

Để giải phương trình chứa căn bậc 4 thì ta cần năm rõ hằng đẳng thức sau đây :
( ( x + y ) ^ 4 = x ^ 4 + 4 x ^ 3 y + 6 x ^ 2 y ^ 2 + 4 x y ^ 3 + y ^ 4 )

Phương pháp giải phương trình chứa căn bậc 4

Ví dụ :

Giải phương trình : ( sqrt [ 4 ] { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } – x + 1 )

Cách giải :

Điều kiện xác lập :
( left { begin { matrix } x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 geq 0 x geq 1 end { matrix } right. )
Phương trình đã cho tương tự với :
( sqrt [ 4 ] { x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 } = x-1 Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = ( x-1 ) ^ 4 )
( Rightarrow x ^ 4-4 x ^ 3 + 17 = x ^ 4 – 4 x ^ 3 + 6 x ^ 2 – 4 x + 1 )
( Rightarrow 6 x ^ 2-4 x – 16 = 0 Rightarrow ( x-2 ) ( 3 x + 4 ) = 0 )
( Rightarrow left [ begin { array } { l } x = 2 x = – frac { 4 } { 3 } end { array } right. )
Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của phương trình đã cho là ( x = 1 )

Tìm hiểu về bất phương trình chứa căn thức

Cách giải bất phương trình chứa căn thức không khác cách giải phương trình chứa căn nhiều, nhưng trong khi trình diễn tất cả chúng ta cần chú ý quan tâm về dấu của bất phương trình .

Các dạng bất phương trình chứa căn lớp 10

Cách giải bất phương trình chứa căn khó 

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách bình phương hai vế

Các bước làm cũng tương tự như cách giải PT chứa căn

Ví dụ :

Giải bất phương trình : ( x-3-sqrt { 5 – x } geq 0 )

Cách giải:

Điều kiện xác lập :
( left { begin { matrix } x-3 geq 0 5 – x geq 0 end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } x geq 3 x leq 5 end { matrix } right. Leftrightarrow 3 leq x leq 5 )
Bất phương trình đã cho tương tự với :
( x-3 geq sqrt { 5 – x } Leftrightarrow x ^ 2-6 x + 9 geq 5 – x )
( Leftrightarrow x ^ 2-5 x + 4 geq 0 Leftrightarrow ( x-4 ) ( x-1 ) geq 0 )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } x geq 4 x leq 1 end { matrix } right. )
Kết hợp điều kiện kèm theo ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là ( x in mathbb { R } | xgeq 4 )

Giải bất phương trình chứa căn bậc hai bằng cách nhân phối hợp

Đây là chiêu thức nâng cao, dùng để giải những bài toán bất PT chứa căn khó. Phương pháp này dựa trên việc vận dụng những đẳng thức sau :
( sqrt { a } – sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } + sqrt { b } } )
( sqrt { a } + sqrt { b } = frac { a-b } { sqrt { a } – sqrt { b } } )
( sqrt [ 3 ] { a } – sqrt [ 3 ] { b } = frac { a-b } { sqrt [ 3 ] { a ^ 2 } + sqrt [ 3 ] { ab } + sqrt [ 3 ] { b ^ 2 } } )
( sqrt [ 3 ] { a } + sqrt [ 3 ] { b } = frac { a + b } { sqrt [ 3 ] { a ^ 2 } – sqrt [ 3 ] { ab } + sqrt [ 3 ] { b ^ 2 } } )

Ví dụ :

Giải bất phương trình : ( sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } geq x ^ 2-4 )

Cách giải:

Điều kiện :
( left { begin { matrix } x geq – 5 x geq – frac { 3 } { 2 } end { matrix } right. Leftrightarrow xgeq – frac { 3 } { 2 } )
Ta có :
( sqrt { x + 5 } – sqrt { 2 x + 3 } = frac { ( x + 5 ) – ( 2 x + 3 ) } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } = frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } )
( x ^ 2-4 = ( x-2 ) ( x + 2 ) )
Vậy bất phương trình đã cho tương tự với :
( frac { 2 – x } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq ( x-2 ) ( x + 2 ) )
( Leftrightarrow ( x-2 ) ( x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } ) leq 0 )
Từ ĐKXĐ có ( x geq frac { 3 } { 2 } Rightarrow x + 2 geq frac { 1 } { 2 } > 0 )
Vậy nên :
( x + 2 + frac { 1 } { sqrt { x + 5 } + sqrt { 2 x + 3 } } geq 0 )
Vậy bất phương trình đã cho tương tự với :
( x-2 leq 0 Leftrightarrow x leq 2 )
Kết hợp Điều kiện xác lập ta được nghiệm của bất phương trình đã cho là :
( – frac { 3 } { 2 } leq x leq 2 )

Tìm hiểu về hệ phương trình chứa căn khó

Một số ví dụ về cách giải phương trình chứa căn khó dưới đây để bạn tìm hiểu thêm và giải bài tập một cách tốt nhất

Giải hệ phương trình chứa căn bằng phương pháp thế

Đây là chiêu thức đơn thuần và thường được sử dụng trong những bài toán hệ PT chứa căn. Để giải hệ phương trình chứa căn bằng giải pháp thế, ta làm theo những bước sau :

• Bước 1 : Tìm Điều kiện xác lập
• Bước 2 : Chọn một phương trình đơn thuần hơn trong số hai phương trình, biến hóa để quy về dạng : ( x = f ( y ) )
• Bước 3 : Thay ( x = f ( y ) ) vào phương trình còn lại rồi giải phương trình theo ẩn ( y )
• Bước 4 : Từ ( y ) thay vào ( x = f ( y ) ) để tìm ra ( x ). Đối chiều với ĐKXĐ rồi Tóm lại

Ví dụ :

Giải hệ phương trình :
( left { begin { matrix } sqrt { x + 1 } = y + 2 sqrt { x + 2 y – 1 } = 2 y + 1 end { matrix } right. )

Cách giải:

Điều kiện xác lập :
( left { begin { matrix } xgeq – 1 y geq – 2 x geq 1-2 y y geq – frac { 1 } { 2 } end { matrix } right. Leftrightarrow left { begin { matrix } xgeq – 1 x geq 1-2 y y geq – frac { 1 } { 2 } end { matrix } right. )
Từ PT ( 1 ) ta có :
( x + 1 = ( y + 2 ) ^ 2 = y ^ 2 + 4 y + 4 )
( Leftrightarrow x = y ^ 2-4 y + 3 hspace { 1 cm } ( * ) )
Thay vào PT ( 2 ) ta được :
( sqrt { y ^ 2 + 4 y + 3 + 2 y – 1 } = 2 y + 1 )
( Leftrightarrow y ^ 2 + 6 y + 2 = 4 y ^ 2 + 4 y + 1 )
( Leftrightarrow 3 y ^ 2 – 2 y – 1 = 0 )
( Leftrightarrow ( 3 y + 1 ) ( y-1 ) = 0 Leftrightarrow left [ begin { array } { l } y = 1 y = – frac { 1 } { 3 } end { array } right. )
Thay vảo ( ( * ) ) ta được :
( left [ begin { array } { l } y = 1 ; x = 8 y = – frac { 1 } { 3 } ; x = frac { 1 } { 9 } end { array } right. )
Kết hợp điều kiện kèm theo xác lập thấy cả hai cặp nghiệm đều thỏa mãn nhu cầu .

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Nhắc lại về hệ phương trình đối xứng loại 1

Hệ phương trình đối xứng loại 1 là hệ phương trình gồm 2 ẩn ( x ; y ) sao cho khi ta biến hóa vai trò ( x ; y ) cho nhau thì hệ phương trình không biến hóa :
( left { begin { matrix } f ( x ; y ) = 0 g ( x ; y ) = 0 end { matrix } right. )
Với :
( left { begin { matrix } f ( x ; y ) = f ( y ; x ) g ( x ; y ) = g ( y ; x ) end { matrix } right. )

Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn

Đối với dạng toán này, cách giải vẫn giống như những bước giải hệ phương trình đối xứng loại 1, quan tâm có thêm bước tìm ĐKXĐ

• Bước 1 : Tìm Điều kiện xác lập
• Bước 2 : Đặt ( S = x + y ; P = xy ) ( với ( S ^ 2 geq 4P ) ). Khi đó, ta đưa hệ về hệ mới chứa ( S ; P ) .
• Bước 3 : Giải hệ mới tìm ( S ; P ). Chọn ( S ; P ) thỏa mãn nhu cầu ( S ^ 2 geq 4P )
• Bước 4 : Với ( S ; P ) tìm được thì ( x ; y ) là nghiệm của phương trình : ( t ^ 2 – St + P = 0 ) ( sử dụng định lý Vi-ét hòn đảo để giải )

Chú ý :
Một số màn biểu diễn đối xứng qua ( S ; P ) :
Nếu ( ( x ; y ) = ( a ; b ) ) là nghiệm thì ( ( x ; y ) = ( b ; a ) ) cũng là nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
( left { begin { matrix } x + y-sqrt { xy } = 3 sqrt { x + 1 } + sqrt { y + 1 } = 4 end { matrix } right. )

Cách giải :

ĐKXĐ :
( left { begin { matrix } x geq – 1 y geq – 1 xy geq 0 end { matrix } right. hspace { 1 cm } ( * ) )
Đặt ( S = x + y hspace { 5 mm } ; P = xy ) với ( left { begin { matrix } S ^ 2 geq 4P Pgeq 0 S geq – 2 end { matrix } right. hspace { 1 cm } ( * * ) )
Bình phương 2 vế PT ( 2 ) hệ phương trình đã cho tương tự với :
( left { begin { matrix } x + y-sqrt { xy } = 3 x + y + 2 + sqrt { x + y + xy + 1 } = 16 end { matrix } right. )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } S – sqrt { P } = 3 S + 2 + 2 sqrt { S + P + 1 } = 16 end { matrix } right. )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } P = S ^ 2 – 6S + 9 S – 14 = – 2 sqrt { S + P + 1 } end { matrix } right. ) với ( 3 leq Sleq 14 )
Thay ( P = S ^ 2 – 6S + 9 ) từ PT ( 1 ) vào PT ( 2 ) ta có :
( S-14 = – 2 sqrt { S ^ 2-5 S + 10 } )
( Leftrightarrow S ^ 2-28 S + 196 = 4 ( S ^ 2-5 S + 10 ) )
( Leftrightarrow 3S ^ 2 + 8S-156 = 0 Leftrightarrow ( S-6 ) ( 3S + 26 ) = 0 )
( Leftrightarrow left { begin { matrix } S = 6S = – frac { 26 } 3 { } end { matrix } right. )
Kết hợp ĐKXĐ ta được ( S = 6 Rightarrow P = 9 )

Vậy (x;y) là nghiệm của phương trình :

Xem thêm: Tổng hợp Phương trình điện li CH3COOH | Bán Máy Nước Nóng – Banmaynuocnong

( t ^ 2-6 t + 9 = 0 Leftrightarrow t = 3 )
Vậy ( x = y = 3 ) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ) .

Tổng hợp lý thuyết về phương trình chứa căn thức cũng như phương pháp giải phương trình chứa căn, bất phương trình, hệ phương trình chứa căn trên đây hi vọng đã mang đến cho bạn những tham khảo và kiến thức hữu ích cho mình!

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp