Giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Dạng toán ‘ ‘ Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối ‘ ‘ là một dạng bài tập thường gặp trong quy trình học tập môn toán và chúng thường có những cách giải đặc biệt quan trọng mà nhiều học viên sẽ không chớp lấy được. Bài viết này nhằm mục đích hướng dẫn học viên xử lý được 1 số ít phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối .

I. Một số tính chất liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối.

• x≥0, ∀x∈ℝ.
• x-y≤x+y≤x+y.
• x=x nếu x≥0-x nếu x<0.

II. Cách giải phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

1. Giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế.

* Cách giải :

Dạng 01 : A=B⇔A2=B2.

Dạng 02 :  A=B⇔B≥0A2=B2.

* Ví dụ minh họa : 

Ví dụ 1. Giải phương trình x+2=2x+1.

Lời giải : 

Ta có x + 2 = 2 x + 1 ⇔ x + 22 = 2 x + 12 ⇔ x2 + 4 x + 4 = 4×2 + 4 x + 1 ⇔ – 3×2 + 3 = 0 ⇔ x = 1 x = – 1 .

Vậy phương trình có tập nghiệm S=-1,1.

Ví dụ 2. Giải phương trình 2x-3+x-3=0.

Lời giải : 

Ta có 2 x – 3 + x-3 = 0 ⇔ 2 x – 3 = 3 – x ⇔ 3 – x ≥ 02 x – 32 = 3 – x2
⇔ x ≤ 34×2 – 12 x + 9 = 9-6 x + x2 ⇔ x ≤ 33×2 – 6 x = 0 ⇔ x ≤ 3 x = 2 x = 0 ⇔ x = 0 x = 2 .

Lời bình : Cách giải trên chỉ giải quyết được một số phương trình mà bậc của x là bậc một. Nếu gặp những phương trình mà x có bậc cao hơn, việc bình phương hai vế sẽ dẫn đến các phương trình bậc cao và việc giải quyết sẽ trở nên khó khăn hơn. Để giải quyết vấn đề này ta cũng có một cách giải khác như sau.

2. Giải phương trình có dấu giá trị tuyệt đối bằng cách phá dấu giá trị tuyệt đối.

* Cách giải : Sử dụng công thức phá dấu giá trị tuyệt đối A=A nếu A≥0-A nếu A<0. Trong quá trình giải quyết bài toán ta xét các trường hợp cụ thể để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

* Chú ý : A=B⇔A=BA=-B . 

* Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1. Giải phương trình x-2+3x+2=0.

Phân tích : 

• Ta có x-2≥0⇔x≥2 nên x-2=x-2 nếu x≥2-x-2 nếu x<2.

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x-2 ≥ 0 x – 2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ x ≥ 24 x = 0 ⇔ x ≥ 2 x = 0 ⇔ x ∈ ∅ .
Trường hợp 2 : x-2 < 0 - ( x-2 ) + 3 x + 2 = 0 ⇔ x < 2 - x + 2 + 3 x + 2 = 0 ⇔ x < 22 x + 4 = 0 ⇔ x < 2 x = - 2 ⇔ x = - 2 . Vậy phương trình có nghiệm x = - 2 .

Ví dụ 2. Giải phương trình x+2+x2-3x=1.

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x+2≥0x+2+x2-3x=1⇔x≥-2×2-2x+1=0⇔x≥-2x=1⇔x=1  (1)

Trường hợp 2 : x + 2 < 0 - x + 2 + x2-3x = 1 ⇔ x < - 2 - x-2+x2-3x-1 = 0 ⇔ x < - 2x2 - 4 x - 3 = 0 ⇔ x < - 2 x < 2 + 5 x = 2-5 ⇔ x ∈ ∅ 2 Từ ( 1 ) và ( 2 ) phương trình có nghiệm x = 1 .

Ví dụ 3. Giải phương trình x-1+x-2=2x-3.

Phân tích : Đây là bài toán có chứa hai dấu giá trị tuyệt đối nên cần lưu ý các trường hợp sau

• Nếu x<1 thì x<2 nên x-1=-x-1 và x-2=-x-2.
• Nếu 1≤x<2 thì x-1=x-1 và x-2=-x-2.
• Nếu x≥2 thì x>1 nên x-1=x-1 và x-2=x-2.

Từ những nghiên cứu và phân tích trên ta có giải thuật như sau :

Lời giải : 

Trường hợp 1 : x < 1 - x + 1 - x + 2 = 2 x - 3 ⇔ x < 1-4 x = - 6 ⇔ x < 1 x = 32 ⇔ x ∈ ∅ . Trương hợp 2 : 1 ≤ x < 2 x - 1 - x + 2 = 2 x - 3 ⇔ 1 ≤ x < 2-2 x = - 4 ⇔ 1 ≤ x < 2 x = 2 ⇔ x ∈ ∅ . Trường hợp 3 : x ≥ 2 x - 1 + x-2 = 2 x - 3 ⇔ x ≥ 20 x = 0 ( luôn đúng ) ⇔ x ≥ 2 . Từ ba trường hợp trên phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 2 .

Ví dụ 4. Giải phương trình x2-4x+3-x2-3=0.

Phân tích : Bài toán có dạng A-B=0⇔A=B⇔A=BA=-B .

Lời giải : 

Ta có x2-4x+3-x2-3=0⇔x2-4x+3=x2-3
⇔x2-4x+3=x2-3×2-4x+3=-x2-3⇔-4x=-62×2-4x=0⇔x=32x=0 hoặc x=2.

Vậy phương trình có nghiệm x∈0,32,2.

Ví dụ 5.  Giải phương trình x2-5x+6=3×2-1.

Phân tích : Ta có 

•  x2-5x+6>0⇔x∈-∞;2∪3;+∞.
• x2-5x+6≤0⇔x∈2;3.

Do đó x2-5x+6 = x2-5x+6 nếu x ∈ – ∞ ; 2 ∪ 3 ; + ∞ – x2-5x+6 nếu x ∈ 2 ; 3 .
Từ đây ta có giải thuật như sau :

Lời giải :

Trường hợp 1 : x∈-∞;2∪3;+∞x2-5x+6=3×2-1⇔x∈-∞;2∪3;+∞-2×2-5x+7=0

⇔ x ∈ – ∞ ; 2 ∪ 3 ; + ∞ x = 1 hoặc x = – 72 ⇔ x = 1 x = – 72 .
Trường hợp 2 : x ∈ 2 ; 3 – x2-5x+6 = 3×2 – 1 ⇔ x ∈ 2 ; 3-4 x2 + 5 x – 5 = 0 ⇔ x ∈ 2 ; 3 x ∈ ∅ ⇔ x ∈ ∅ .
Vậy phương trình có nghiệm x ∈ – 72,1 .

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp