Phương trình cổ điển

trình ()21cos2x1cotg2x *sin 2x−+= Điều kiện : sin2x 0 cos2x 1≠⇔ ≠±Ta có (*) 21cos2x 11cotg2x1cos2x1cos2x1cot g2x 11cos2xcos2x cos2xsin 2x 1 cos 2x−⇔+ = =+−⇔= −+−⇔=+ ()=≠±⎡⎢⇔−⎢=⎢+⎣⇔=∨+=−⇔=∨+=cos2x 0 nhận do 111sin 2x 1 cos 2xcos2x 0 1 cos2x sin2xcos2x 0 sin2x cos2x 1− 1cos2x 0 sin 2x sin44252x k 2x k2 2x k2 ,k244 44ππ⎛⎞ ⎛⎞⇔=∨ +=−=−⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠πππ ππ⇔=+π∨+=−+π∨+= +π∈¢ ()kxxk2xk2loại,42 4kx,k42ππ π⇔=+ ∨==−+π∨ =π+ π ∈ππ⇔=+ ∈¢¢k Bài 98 : Giải phương trình ()( )444sinx cosx 3sin4x 2*++ = Ta có : (*) ()222 224 sin x cos x 2sin x cos x 3 sin 4x 2⎡⎤⇔+− +⎢⎥⎣⎦= ⎡⎤⇔− + =⎢⎥⎣⎦214 1 sin 2x 3 sin 4x 22 ⇔+ =−⇔+ =ππ⎛⎞⇔−=⎜⎟⎝⎠ππ⇔−=±+πcos4x 3 sin 4x 1131cos4x sin 4x222cos 4x cos3324x k233−2 4x k2 hay 4x k2 ,k3xkhayx k,k42 122π⇔=π+π =−+π∈ππ π π⇔=+ =− + ∈¢¢ Cách khác : ()(*)22 1 sin 2x 3 sin 4x 0⇔− + = 22 cos 2x 2 3 sin 2x cos2x 0cos2x0cos2x 3sin2x0cos2x 0 cot g2x 3⇔+ =⇔=∨+⇔=∨ =−= 2x k 2x k, k26kkxx ,k42 122ππ⇔=+π∨=−+π∈ππ π π⇔=+ ∨=− + ∈¢¢ Bài 99 : Giải phương trình ()3311 sin 2x cos 2x sin4x *2++ = Ta có (*)()( )11 sin2x cos2x 1 sin2xcos2x sin4x2⇔+ + − = ()111 sin 4x sin2x cos2x 1 sin4x 02211 sin 4x 0 hay 1 sin 2x cos2x 02⎛⎞⇔− + + − =⎜⎟⎝⎠⇔− = + + = ( )sin 4x 2 loạisin 2x cos2x 12sin(2x ) 14=⎡⇔⎢+=⎣π−⇔ +=− ()sin 2x sin( )442x k244kZ52x k244xkxk,k42ππ⎛⎞⇔+=−⎜⎟⎝⎠ππ⎡+=−+π⎢⇔∈⎢ππ⎢+= + π⎢⎣ππ⇔ =− + π∨ = + π ∈¢ Bài 100 : Giải phương trình ( )( )tgx3cotgx4sinx 3cosx*−=+ Điều kiện sin x 0sin 2x 0cos x 0≠⎧⇔≠⎨≠⎩Lúc đó : (*) ( )sin x cosx34sinx3cocos x sin x⇔− = +sx ( )()()22sin x 3cos x 4sin x cosx sin x 3 cosxsin x 3 cosx sin x 3 cosx 2sin 2x 0sin x 3 cosx13sin x cosx sin 2×22⇔− = +⇔+ − − =⎡=−⎢⇔⎢−=⎢⎣ tgx 3 tg3sin x sin2x3xkx2xk2x 2xk2,k33 3⎡π⎛⎞=− = −⎜⎟⎢⎝⎠⎢⇔⎢π⎛⎞−=⎢⎜⎟⎝⎠⎣ππ π⇔=−+π∨−= + π∨−=π− + π ∈Z ()4k2xkxk2x ,k33934k2x k x nhận do sin2x 0393ππ ππ⇔=−+π∨=−− π∨= + ∈πππ⇔=−+π∨= + ≠¢ Bài 101 : Giải phương trình ( )33sin x cos x sin x cos x *+=− Ta có : (*) 33sin x sin x cos x cosx 0⇔−++=()()()23232sin x sin x 1 cos x cosx 0sinx cos x cos x cosx 0cosx 0 hay sinx cosx cos x 1 0cosx 0sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9x2k1,kZ2⇔−++=⇔− + + =⇔= − + +==⎡⇔⎢−+ =− +<⎣π⇔= + ∈ Bài 102 : Giải phương trình ()441cos x sin x *44π⎛⎞++=⎜⎟⎝⎠ Ta có : (*) ()22111 cos2x 1 cos 2×442⎡π⎤⎛⎞14⇔ ++−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦= ()()221 cos2x 1 sin2x 1cos2x sin2x 113cos 2x cos44232x k244xkx k,k24⇔+ ++ =⇔+=−ππ⎛⎞⇔−=−=⎜⎟⎝⎠ππ⇔−=±+πππ⇔=+π∨=−+π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình()334sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos 4x 3 *++= Ta có : (*) ( ) ( )⇔−+−+33 3 34sin x 4cos x 3cosx 4 cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3= ()⇔− + + =⇔−++332212sin x cos x 12 sin x cos x 3 3 cos4x 34sin x cos x sin x cos x 3 cos 4x 1= 2sin2x.cos2x 3 cos4x 1sin3sin 4x cos 4x 1cos3⇔+π⇔+ =π= sin4x.cos sin cos4x cos33ππ⇔+=3π sin 4x sin3654x k2 4x k2, k36 3 6kkxx,k24 2 8 2ππ⎛⎞⇔+=⎜⎟⎝⎠ππ π π⇔+=+π∨+=+π∈ππ ππ⇔=− + ∨=+ ∈¢¢ Bài 104 : Cho phương trình : ()222sin x sin x cosx cos x m *−−= a/ Tìm m sao cho có nghiệm 22abc⇔+≥()2219 12m4m 4m 9 0110 110m22⇔+≥ −⇔−−≤−+⇔≤≤ b/ Khi m = -1 ta được phương trình ()sin 2x 3cos2x 3 1+= ()π•=+ = =Nếu x 2k 1 thì sin2x 0 và cos2x 12− nên phương trình (1) không thỏa. ()π•≠+ ≠ =Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx2 (1) thành ()22231 t2t31t 1t−+=++ ()(2222t 3 1 t 3 t 16t 2t 0t0t3⇔+ − = +⇔−=⇔=∨=) Vậy (1) ⇔tgx0hay tgx3tg xk===ϕ ⇔=π hay xk,k=ϕ+π ∈¢ Bài 105 : Cho phương trình ()2354sin x6tg2*sin x 1 tgπ⎛⎞+−⎜⎟α⎝⎠=+α a/ Giải phương trình khi 4πα =− b/ Tìm α để phương trình ()3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34sin x cosx 155⇔− + = Đặt 34cos và sin với 0 255ϕ=− ϕ= <ϕ< π Ta có pt (1) thành : ()sin x 1ϕ+ =xk22xk2π⇔ϕ+ = + ππ⇔=−ϕ++ π2≠ b/ (**) có nghiệm ()23sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α22sin 2 1 và cos 0sin 2 1cos2 0k,k42⇔α≥ α≠⇔α=⇔α=ππ⇔α= + ∈¢ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình sau : a/ ()2 2 sin x cos x cos x 3 cos2x+=+ b/ () (2cosx 1 sinx cosx 1−+)= c/ ()2 cos2x 6 cosx sin x=− d/ 3sinx 3 3cosx=− e/ 2 cos3x 3 sin x cosx 0++= f/ cosx 3 sin x sin 2x cos x sin x+=++ g/ 3cos x 3 sin xcos x 3 sin x 1+=++ h/ si n x cos x cos 2x+= k/ 34sin x 1 3sinx 3cos3x−= − i / 63cosx 4sinx 63cosx 4sinx 1++ =++ […]… phương trình ()3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34sin x cosx 155⇔− + = Đặt 34cos và sin với 0 255ϕ=− ϕ= <ϕ< π Ta có pt (1) thành : ()sin x 1ϕ+ =xk22xk2π⇔ϕ+ = + ππ⇔=−ϕ++ π2≠ b/ (**) có nghiệm ()23sin2 16 25 và cos 0⇔α+≥ α22sin 2 1 vaø cos 0sin 2 1cos2 0k,k42⇔α≥ α≠⇔α=⇔α=ππ⇔α= + ∈¢ BÀI TẬP 1. Giải các phương trình. .. ∈πππ⇔=−+π∨= + ≠¢ Bài 101 : Giải phương trình ( )33sin x cos x sin x cos x *+=− Ta coù : (*) 33sin x sin x cos x cosx 0⇔−++=()()()23232sin x sin x 1 cos x cosx 0sinx cos x cos x cosx 0cosx 0 hay sinx cosx cos x 1 0cosx 0sin2x cos2x 3 vô nghiệm do 1 1 9x2k1,kZ2⇔−++=⇔− + + =⇔= − + +==⎡⇔⎢−+ =− +<⎣π⇔= + ∈ Bài 102 : Giải phương trình ()441cos x sin x *44π⎛⎞++=⎜⎟⎝⎠… 2×442⎡π⎤⎛⎞14⇔ ++−+⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦= ()()221 cos2x 1 sin2x 1cos2x sin2x 113cos 2x cos44232x k244xkx k,k24⇔+ ++ =⇔+=−ππ⎛⎞⇔−=−=⎜⎟⎝⎠ππ⇔−=±+πππ⇔=+π∨=−+π ∈Z Bài 103 : Giải phương trình ()334sin x.cos3x 4 cos x.sin3x 3 3 cos 4x 3 *++= Ta coù : (*) ( ) ( )⇔−+−+33 3 34sin x 4cos x 3cosx 4 cos x 3sinx 4sin x 3 3 cos4x 3= ()⇔− + + =⇔−++332212sin x cos x 12 sin x. CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN (PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN) ()()asinu bcosu c *. a,b R 0+= ∈ Cách 1 : Chia 2 vế phương trình cho + ≠22ab. ∈¢¢ Bài 104 : Cho phương trình : ()222sin x sin x cosx cos x m *−−= a/ Tìm m sao cho phương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta

Phương trình cổ điển CHƯƠNG IV:BẬC NHẤT THEO SIN VÀ COSIN ( PHƯƠNG TRÌNH CỔ ĐIỂN ) ()()asinu bcosu c *. a,b R\ 0+= ∈ Cách 1 : Chia 2 vếcho + ≠22ab 0 Đặt []22 22abcos và sin với 0,2ab abα= α= α∈ π++ ()()2222cThì * sin u cos cos u sinabcsin uab⇔α+α=+⇔+α=+ Cách 2 : Nếu là nghiệm của (*) thì : uk2=π+ πasin bcos c b cπ+ π= ⇔− = Nếu đặt uk≠π+ π2uttg2= thì (*) thành : 2222t 1 tab1t 1t−+=++c () ( )( )2b c t 2at c b 0 1 với b c 0⇔+ − +−= +≠ Phương trình có nghiệm ( )( )2’a cbcb 0⇔ Δ= − + − ≥ 222 222acb abc⇔≥−⇔+≥ Giải(1) tìm được t. Từ uttg2= ta tìm được u. Bài 87 : Tìm 26x,57ππ⎛∈⎜⎝⎠⎞⎟ thỏa: ()cos7x 3 sin 7x 2 *−=− Chia hai vế của (*) cho 2 ta được : ()⇔− =−ππ⇔− + =ππ⎛⎞⇔−=⎜⎟⎝⎠13 2*cos7xsin7x22 22sin cos7x cos sin 7x66sin 7x sin642 ππ π π⇔−=+π −=+37x k2 hay 7x h264 6 4π, ( )∈k, h Z ππ ππ⇔= + = + ∈5k2 11h2xhayx ,k,84 7 84 7h Do 26x,57π π⎛∈⎜⎝⎠⎞⎟ nên ta phải: ππ ππ π π ππphương trình có nghiệm b/ Giải phương trình khi m = -1 Ta có : (*) () ()111cos2x sin2x 1cos2x m22⇔ −− −+= sin2x 3cos2x 2m 1⇔+ =−+2 a/ (*)nghiệm 22abc⇔+≥()2219 12m4m 4m 9 0110 110m22⇔+≥ −⇔−−≤−+⇔≤≤ b/ Khi m = -1 ta được()sin 2x 3cos2x 3 1+= ()π•=+ = =Nếu x 2k 1 thì sin2x 0 và cos2x 12− nên(1) không thỏa. ()π•≠+ ≠ =Nếux 2k 1 thì cosx 0,đặt t tgx2 (1) thành ()22231 t2t31t 1t−+=++ ()(2222t 3 1 t 3 t 16t 2t 0t0t3⇔+ − = +⇔−=⇔=∨=) Vậy (1) ⇔tgx0hay tgx3tg xk===ϕ ⇔=π hay xk,k=ϕ+π ∈¢ Bài 105 : Cho()2354sin x6tg2*sin x 1 tgπ⎛⎞+−⎜⎟α⎝⎠=+α a/ Giảikhi 4πα =− b/ Tìm α để phương trình (*) có nghiệm Ta có : 3sin x sin x cos x22ππ⎛⎞ ⎛⎞−=− −=−⎜⎟ ⎜⎟⎝⎠ ⎝⎠ 226tg 6sin.cos 3sin21tg cosαα=α=αvới cos 0+α αα ≠ Vậy : ()()54cosx* 3sin 2 điều kiện sin x 0 và cos 0sin x−⇔=α ≠α≠ 3sin 2 sin x 4 cosx 5⇔α+ = a/ Khi 4πα=− ta được()3sinx 4cosx 5 1−+ = ( Hiển nhiên sin x = 0 không là nghiệm của (1)) 34sin x cosx 155⇔− + = Đặt 34cos và sin với 0 255ϕ=− ϕ=