50 bài tập phương trình mặt cầu mức độ thông hiểu

Câu hỏi 1 :

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 2y – 7 = 0\). Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

• A\(3\).                                                    

• B

  Bạn đang đọc: 50 bài tập phương trình mặt cầu mức độ thông hiểu

  \(9\).                                                    

• C\(\sqrt {15} \).                                  
• D\(\sqrt 7 \).

Đáp án: A

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) có nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d } \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Bán kính mặt cầu là \ ( R = \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } – \ left ( { – 7 } \ right ) } = \ sqrt 9 = 3 \ )

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 2 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { 1 ; – 3 ; 2 } \ right ) \ ) và đi qua \ ( A \ left ( { 5 ; – 1 ; 4 } \ right ) \ ) có phương trình là

• A\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \sqrt {24} \).
• B\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = \sqrt {24} \).
• C\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 24\).
• D\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 24\).

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R : \, \, { ( x – { x_0 } ) ^ 2 } + { ( y – { y_0 } ) ^ 2 } + { ( z – { z_0 } ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Do mặt cầu đi qua \ ( A \ left ( { 5 ; – 1 ; 4 } \ right ) \ ) nên nửa đường kính mặt cầu là \ ( R = IA = \ sqrt { { 4 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } = \ sqrt { 24 } \ )
Phương trình mặt cầu đó là : \ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 24 \ ) .

Chọn: D

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 3 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), tìm phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 1 ; – 4 ; 2 } \ right ) \ ) và diện tích quy hoạnh \ ( 64 \ pi \ ) .

• A\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\)
• B\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 16\)
• C\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 4\)
• D\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 4} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Hình cầu có nửa đường kính \ ( R \ ) thì có diện tích quy hoạnh là \ ( S = 4 \ pi { R ^ 2 } \ )
Mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) và có nửa đường kính \ ( R \ ) thì có phương trình \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Diện tích mặt cầu \ ( S = 4 \ pi { R ^ 2 } = 64 \ pi \ Rightarrow R = 4. \ )
Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { 1 ; – 4 ; 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = 4 \ ) là \ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 4 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 16 \ ) .

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 4 :Trong khoảng trống tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) tiếp xúc với trục Oy có phương trình là

• A\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\)     
• B\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {a^2} + {c^2}\)
• C\({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {b^2}\)
• D\({\left( {x + a} \right)^2} + {\left( {y + b} \right)^2} + {\left( {z + c} \right)^2} = {b^2}\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :+ ) Cho \ ( M \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ Rightarrow d \ left ( { M ; Oy } \ right ) = \ sqrt { { a ^ 2 } + { c ^ 2 } } \ ) .
+ ) Mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) có phương trình \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có \ ( d \ left ( { I ; Oy } \ right ) = \ sqrt { { a ^ 2 } + { c ^ 2 } } \ ), suy ra mặt cầu tâm \ ( I ( a ; b ; c ) \ ) tiếp xúc với trục Oy có nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } + { c ^ 2 } } \ ) .
Vậy phương trình mặt cầu là \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { a ^ 2 } + { c ^ 2 } \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 5 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz, \ ) cho hai điểm \ ( I \ left ( { 1 ; – 2 ; 3 } \ right ), M \ left ( { 0 ; 1 ; 5 } \ right ). \ ) Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ ) và đi qua \ ( M \ ) là

• A\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = \sqrt {14} \)
• B\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 14\)
• C\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 14\)
• D\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = \sqrt {14} \)

Đáp án: B

Lời giải chi tiết cụ thể :

Chọn B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 6 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), cho mặt cầu \ ( ( S ) : \, { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 4 x – 6 y + 8 z – 7 = 0 \ ). Tọa độ tâm và nửa đường kính mặt cầu ( S ) lần lượt là

• A\(I\left( { – 2; – 3;4} \right);R = 36\).
• B\(I\left( { – 2; – 3;4} \right);R = 6\).
• C\(I\left( {2;3; – 4} \right);R = 36\).
• D\(I\left( {2;3; – 4} \right);R = 6\).

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R : \, \, { \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – { y_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – { z_0 } } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :\ ( ( S ) : \, { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 4 x – 6 y + 8 z – 7 = 0 \ Leftrightarrow { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 4 } \ right ) ^ 2 } = 36 \ )
Tọa độ tâm và nửa đường kính mặt cầu ( S ) lần lượt là \ ( I \ left ( { 2 ; 3 ; – 4 } \ right ) ; R = 6 \ ) .

Chọn: D

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 7 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( A \ left ( { – 3 ; 2 ; 1 } \ right ), \, \, B \ left ( { 1 ; 4 ; – 1 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) là :

• A\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 24\)
• B\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {z^2} = 24\)
• C\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {z^2} = 6\)
• D\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {z^2} = 6\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) là \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { – 1 ; 3 ; 0 } \ right ) \ ) là trung điểm của \ ( AB \ ), nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { 1 } { 2 } AB = \ dfrac { 1 } { 2 } \ sqrt { { 4 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } } = \ sqrt 6 \ ) .
Vậy phương trình mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) là : \ ( { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 3 } \ right ) ^ 2 } + { z ^ 2 } = 6 \ ) .

Chọn D

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 8 :Phương trình mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) chứa trục \ ( Oz \ ) và cắt mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 x + 2 y – 2 z – 6 = 0 \ ) theo đường tròn có nửa đường kính 3 là :

• A\(x + y = 0\).                
• B\(x + 2y = 0\).
• C\(x – y = 0\).
• D\(x – 2y = 0\).

Đáp án: A

Phương pháp giải :

\ ( { d ^ 2 } + { r ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )
Trong đó, \ ( d \ ) : khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ( P ) ,
\ ( r \ ) : nửa đường kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) ,

               \(R\): bán kính hình cầu. 

Lời giải cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 x + 2 y – 2 z – 6 = 0 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 1 ; – 1 ; 1 } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R = 3 \ )
\ ( \ Rightarrow \ ) Mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) cắt mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) theo đường tròn có nửa đường kính \ ( r = R = 3 \ )
\ ( \ Rightarrow \ ) \ ( \ left ( P \ right ) \ ) đi qua tâm I của ( S )
\ ( \ left ( P \ right ) \ ) có 1 VTPT \ ( \ overrightarrow n = \ left [ { \ overrightarrow { OI } ; \ overrightarrow k } \ right ] = \ left ( { – 1 ; – 1 ; 0 } \ right ) \ ), với \ ( \ overrightarrow { OI } = \ left ( { 1 ; – 1 ; 1 } \ right ), \, \, \, \ overrightarrow k = \ left ( { 0 ; 0 ; 1 } \ right ) \ )
Phương trình mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) là : \ ( – 1 \ left ( { x – 0 } \ right ) – 1 \ left ( { y – 0 } \ right ) + 0 = 0 \ Leftrightarrow x + y = 0 \ ) .

Chọn: A

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 9 :Trong hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( A \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ), B \ left ( { – 1 ; 4 ; 1 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) là

• A\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 4} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 12\)         
• B\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 12\)
• C\({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 3\)                                                 
• D\({x^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 12\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm là trung điểm \ ( AB \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( A \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ), B \ left ( { – 1 ; 4 ; 1 } \ right ) \ ) \ ( \ Rightarrow I \ left ( { 0 ; 3 ; 2 } \ right ) \ ) là trung điểm \ ( AB \ ) và \ ( AB = \ sqrt { 12 } = 2 \ sqrt 3 \ ) .
Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 3 ; 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ sqrt 3 \ )
\ ( \ Rightarrow \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x – 0 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 3 \ ) hay \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { \ left ( { y – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 3 \ ) .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 10 :Trong khoảng trống với hệ trục tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có phương trình \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 x – 4 y – 6 z + 5 = 0 \ ). Tính diện tích quy hoạnh mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) .

• A\(36\pi \).
• B\(42\pi \).
• C\(9\pi \).
• D\(12\pi \).

Đáp án: A

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { a ; \, b ; \, c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d }. \ )
Công thức tính diện tích quy hoạnh mặt cầu nửa đường kính \ ( R : \, \, S = 4 \ pi { R ^ 2 }. \ )Lời giải cụ thể :Mặt cầu đã cho có nửa đường kính : \ ( R = \ sqrt { 1 + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } – 5 } = 3. \ )
\ ( \ Rightarrow S = 4 \ pi { R ^ 2 } = 4 \ pi. 9 = 36 \ pi. \ )

Chọn  A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 11 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( A \ left ( { 2 ; 0 ; 2 } \ right ) \ ) và \ ( B \ left ( { 0 ; 4 ; 0 } \ right ) \ ). Mặt cầu nhận đoạn thẳng \ ( AB \ ) làm đường kính có phương trình là

• A        \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 36\)
• B        \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\)
• C        \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\)    
• D        \({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 36\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ ) là trung điểm của \ ( AB \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Có \ ( A \ left ( { 2 ; 0 ; 2 } \ right ), \, \, B \ left ( { 0 ; 4 ; 0 } \ right ) \ Rightarrow I \ left ( { 1 ; 2 ; 1 } \ right ) \ ) là trung điểm \ ( AB \ ) và \ ( AB = \ sqrt { { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { 4 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } } = 2 \ sqrt 6 \ ) .
Khi đó mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 1 ; 2 ; 1 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ sqrt 6 \ ) có phương trình :
\ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 1 } \ right ) ^ 2 } = 6 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 12 :Điều kiện cần và đủ để phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } + 2 x + 4 y – 6 z + { m ^ 2 } – 9 m + 4 = 0 \ ) là phương trình mặt cầu là .

• A\( – 1 \le m \le 10\).        
• B\(m <  - 1\) hoặc \(m > 10\).
• C\(m > 0\).
• D\( – 1 < m < 10\)

Đáp án: D

Lời giải cụ thể :

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 13 :

Trong không gian\(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;0;2} \right);B\left( { – 1;2; – 4} \right).\) Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là

• A \({x^2} + {(y – 1)^2} + {(z + 1)^2} = 44.\)                    
• B \({x^2} + {(y – 1)^2} + {(z + 1)^2} = 11.\)                    
• C \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 1)^2} = 44.\)                    
• D \({x^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 1)^2} = 11.\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) tâm \ ( I \ ) là trung điểm \ ( AB \ ) và có nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Ta có : \ ( A \ left ( { 1 ; 0 ; 2 } \ right ), B \ left ( { – 1 ; 2 ; – 4 } \ right ) \ Rightarrow I \ left ( { 0 ; 1 ; – 1 } \ right ) \ ) là trung điểm \ ( AB \ ) và \ ( AB = 2 \ sqrt { 11 } \ ) .
Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 1 ; – 1 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ sqrt { 11 } \ ) nên có phương trình :
\ ( { \ left ( { x – 0 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 1 } \ right ) ^ 2 } = 11 \ ) hay \ ( { x ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 1 } \ right ) ^ 2 } = 11 \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 14 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 x – 6 y + 4 z – 2 = 0 \ ). Tìm tọa độ tâm I và tính nửa đường kính R của \ ( \ left ( S \ right ) \ ) :

• ATâm \(I( – 1; – 3;2)\) và bán kính \(R = 4\)
• BTâm \(I(1;3; – 2)\) và bán kính \(R = 2\sqrt 3 \)
• CTâm \(I(1;3; – 2)\) và bán kính \(R = 4\)
• D

  Tâm \(I( – 1; – 3;2)\) và bán kính \(R = 16\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) với \ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d } \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 x – 6 y + 4 z – 2 = 0 \ ) suy ra tâm \ ( I \ left ( { 1 ; 3 ; – 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 } \ right ) } ^ 2 } – \ left ( { – 2 } \ right ) } = 4. \ )

Chọn C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 15 :

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A(2;2; – 1);B( – 4;2; – 9)\) . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

• A\({(x + 3)^2} + {y^2} + {(z + 4)^2} = 5\)
• B \({(x + 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {(z + 5)^2} = 25\)
• C\({(x + 6)^2} + {y^2} + {(z + 8)^2} = 25\)
• D\({(x + 1)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {(z + 5)^2} = 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm là trung điểm \ ( AB \ ) và có nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Ta có : \ ( A \ left ( { 2 ; 2 ; – 1 } \ right ), B \ left ( { – 4 ; 2 ; – 9 } \ right ) \ ) \ ( \ Rightarrow I \ left ( { – 1 ; 2 ; – 5 } \ right ) \ ) là trung điểm của \ ( AB \ ) và \ ( AB = \ sqrt { { { \ left ( { – 4 – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 2 – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 9 + 1 } \ right ) } ^ 2 } } = 10 \ ) .
Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { – 1 ; 2 ; – 5 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ dfrac { { 10 } } { 2 } = 5 \ ) nên có phương trình \ ( { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 5 } \ right ) ^ 2 } = { 5 ^ 2 } = 25 \ ) .

Chọn B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 16 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho điểm \ ( A \ left ( { 1 ; a ; 1 } \ right ) \ ) và mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 y + 4 z – 9 = 0 \ ). Tập những giá trị của \ ( a \ ) để điểm \ ( A \ ) nằm trong khối cầu là

• A\(\left( { – \infty ; – 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)
• B\(\left( { – 3;1} \right)\)        
• C\(\left[ { – 1;3} \right]\)
• D\(\left( { – 1;3} \right)\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Điểm \ ( A \ ) nằm trong khối cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) khi \ ( IA < R \ ) .Lời giải cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : \ ) \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } - 2 y + 4 z - 9 = 0 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 1 ; - 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { 0 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { { \ left ( { - 2 } \ right ) } ^ 2 } - \ left ( { - 9 } \ right ) } = \ sqrt { 14 } \ ) Để \ ( A \ ) nằm trong khối cầu thì \ ( IA < R \ Leftrightarrow I { A ^ 2 } < { R ^ 2 } \ Leftrightarrow { 1 ^ 2 } + { \ left ( { a - 1 } \ right ) ^ 2 } + { 3 ^ 2 } < 14 \ ) \ ( \ Leftrightarrow { \ left ( { a - 1 } \ right ) ^ 2 } < 4 \ Leftrightarrow - 2 < a - 1 < 2 \ Leftrightarrow - 1 < a < 3. \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 17 :Trong khoảng trống Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu ?

• A\({x^2} + {y^2} + {z^2} – x + 1 = 0\)
• B\ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 6 x + 9 = 0 \ )
• C\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 9 = 0\)
• D\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } + 2 ax + 2 by + 2 cz + d = 0 \ ) là phương trình của mặt cầu \ ( \ Leftrightarrow { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0 \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 = 0 \ ) là phương trình của mặt cầu \ ( \ Leftrightarrow { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d = 2 > 0 \ ) .

Chọn D

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 18 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), phương trình của mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { 1 ; – 2 ; – 3 } \ right ) \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( { Oxz } \ right ) \ ) là

• A\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 4\)
• B\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 2\)      
• C\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 3} \right)^2} = 1\)
• D\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( { I ; R } \ right ) \ ) tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) nếu và chỉ nếu \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = R. \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Gọi \ ( J \ ) là hình chiếu của \ ( I \ left ( { 1 ; – 2 ; – 3 } \ right ) \ ) lên \ ( \ left ( { Oxz } \ right ) \ ) thì \ ( J \ left ( { 1 ; 0 ; – 3 } \ right ) \ )
\ ( \ Rightarrow IJ = \ sqrt { { 0 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 0 ^ 2 } } = 2 \ ) .
\ ( \ left ( S \ right ) \ ) tiếp xúc \ ( \ left ( { Oxz } \ right ) \ Leftrightarrow R = d \ left ( { I, \ left ( { Oxz } \ right ) } \ right ) = IJ = 2 \ ) .
Vậy \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 3 } \ right ) ^ 2 } = { 2 ^ 2 } = 4 \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 19 :Trong khoảng trống tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \ ( I ( – 3 ; 0 ; 4 ) \ ) đi qua điểm \ ( A ( – 3 ; 0 ; 0 ) \ ) có phương trình là

• A\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 4\)          
• B\({\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 4\)
• C\({\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 16\)
• D\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 16\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; \, b ; \, c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R : \, \, { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 }. \ )Lời giải cụ thể :Mặt cầu có tâm \ ( I \ ) và đi qua \ ( A \ Rightarrow R = IA = \ sqrt { { { \ left ( { – 3 + 3 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 0 – 4 } \ right ) } ^ 2 } } = 4. \ )
Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { – 3 ; \, 0 ; \, 4 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = 4 \ ) là : \ ( { \ left ( { x + 3 } \ right ) ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z – 4 } \ right ) ^ 2 } = 16. \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 20 :Trong khoảng trống tọa độ Oxyz, mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x + 4 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 5 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 6 } \ right ) ^ 2 } = 9 \ ) có tâm và nửa đường kính lần lượt là

• A\(I( – 4;5; – 6),R = 81\)          
• B\(I( – 4;5; – 6),R = 3\)             
• C\(I(4; – 5;6),R = 3\)                
• D\(I(4; – 5;6),R = 81\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : \, \, { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) có tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x + 4 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 5 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 6 } \ right ) ^ 2 } = 9 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { – 4 ; 5 ; – 6 } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R = 3 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 21 :Trong khoảng trống với hệ toạ độ \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( A \ left ( { 1 ; 3 ; 2 } \ right ), { \ rm { } } B \ left ( { 3 ; 5 ; 0 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu có đường kính \ ( AB \ ) là

• A\ ( { ( x – 2 ) ^ 2 } + { ( y – 4 ) ^ 2 } + { ( z – 1 ) ^ 2 } = 2. \ )
• B\({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 3.\)
• C\({(x – 2)^2} + {(y – 4)^2} + {(z – 1)^2} = 3.\)
• D\({(x + 2)^2} + {(y + 4)^2} + {(z + 1)^2} = 2.\)

Đáp án: C

Lời giải chi tiết cụ thể :

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 22 :Trong khoảng trống Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } + 2 x – 4 y – 6 z + 5 = 0 \ ). Mặt phẳng tiếp xúc với ( S ) và song song với mặt phẳng \ ( ( P ) : 2 x – y + 2 z – 11 = 0 \ ) có phương trình là :

• A\(2{\rm{x}} – y + 2{\rm{z}} – 7 = 0\)
• B\(2{\rm{x}} – y + 2{\rm{z}} + 9 = 0\)           
• C\(2{\rm{x}} – y + 2{\rm{z  +  7}} = 0\)         
• D\(2{\rm{x}} – y + 2z – 9 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt phẳng \ ( \ left ( Q \ right ) \ ) song song với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) : ax + by + cz + d = 0 \ ) thì có phương trình \ ( ax + by + cz + d ‘ = 0 \, \, \, \, \ left ( { d \ ne d ‘ } \ right ) \ )
Mặt phẳng \ ( \ left ( Q \ right ) \ ) tiếp xúc với mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I \ ) nửa đường kính \ ( R \ ) thì \ ( d \ left ( { I ; \ left ( Q \ right ) } \ right ) = R \ )
Từ đó tìm được \ ( d ‘ \ Rightarrow \ ) ptmp \ ( \ left ( Q \ right ). \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Gọi \ ( \ left ( Q \ right ) \ ) là mặt phẳng cần tìm, khi đó \ ( \ left ( Q \ right ) / / \ left ( P \ right ) \ Rightarrow \ ) mặt phẳng \ ( \ left ( Q \ right ) \ ) có phương trình \ ( 2 x – y + 2 z + d = 0 \, \ left ( { d \ ne – 11 } \ right ) \ )
Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { – 1 ; 2 ; 3 } \ right ) ; R = \ sqrt { { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } – 5 } = 3 \ )
Mà mặt phẳng \ ( \ left ( Q \ right ) \ ) tiếp xúc với mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) nên \ ( d \ left ( { I ; \ left ( Q \ right ) } \ right ) = 3 \ Leftrightarrow \ frac { { \ left | { – 2 – 2 + 2.3 + d } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = 3 \ Leftrightarrow \ frac { { \ left | { 2 + d } \ right | } } { 3 } = 3 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left | { 2 + d } \ right | = 9 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } d = 7 \, \, \, \, \ left ( { tm } \ right ) \ \ d = – 11 \, \, \, \ left ( { ktm } \ right ) \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình mặt phẳng \ ( \ left ( Q \ right ) : 2 x – y + 2 z + 7 = 0 \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 23 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 6 x + 4 y – 12 = 0 \ ). Mặt phẳng nào sau đây cắt \ ( \ left ( S \ right ) \ ) theo một đường tròn có nửa đường kính \ ( r = 3 \ ) ?

• A\(4x – 3y – z – 4\sqrt {26}  = 0\)
• B\(2x + 2y – z + 12 = 0\)      
• C\(3x – 4y + 5z – 17 + 20\sqrt 2  = 0\)
• D\(x + y + z + \sqrt 3  = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :- Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến \ ( \ left ( P \ right ) \ ), sử dụng công thức \ ( d = \ sqrt { { R ^ 2 } – { r ^ 2 } } \ ) .
– Đối chiếu với những đáp án : Kiểm tra \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) \ ) bằng tác dụng vừa tìm được ở trên và Tóm lại .Lời giải cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 3 ; – 2 ; 0 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { 3 ^ 2 } + 0 + { 2 ^ 2 } + 12 } = 5 \ ) .
Khoảng cách từ \ ( I \ ) đến \ ( \ left ( P \ right ) \ ) là \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ sqrt { { R ^ 2 } – { r ^ 2 } } = \ sqrt { { 5 ^ 2 } – { 3 ^ 2 } } = 4 \ ) .
Đối chiếu những đáp án ta thấy :
Đáp án A : \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 4.3 – 3. \ left ( { – 2 } \ right ) – 0 – 4 \ sqrt 6 } \ right | } } { { \ sqrt { { 4 ^ 2 } + { { \ left ( { – 3 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } } \ ne 4 \ ) nên loại A .
Đáp án B : \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 2.3 + 2. \ left ( { – 2 } \ right ) – 0 + 12 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } } } } = \ dfrac { { 14 } } { 3 } \ ne 4 \ ) nên loại B .
Đáp án C : \ ( d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 3.3 – 4. \ left ( { – 2 } \ right ) + 5.0 – 17 + 20 \ sqrt 2 } \ right | } } { { \ sqrt { { 3 ^ 2 } + { { \ left ( { – 4 } \ right ) } ^ 2 } + { 5 ^ 2 } } } } = 4 \ ) nên chọn C .

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 24 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz, \ ) xét mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có phương trình dạng \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 4 x + 2 y – 2 az + 10 a = 0. \ ) Tập hợp những giá trị thực của \ ( a \ ) để \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có chu vi đường tròn lớn bằng \ ( 8 \ pi \ ) là

• A\(\left\{ {1;10} \right\}\)
• B\(\left\{ { – 10;2} \right\}\)
• C\(\left\{ { – 1;11} \right\}\)
• D \(\left\{ {1; – 11} \right\}\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Xác định tâm và nửa đường kính mặt cầu \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) với \ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d } \ )
Chu vi đường tròn nửa đường kính \ ( R \ ) là \ ( C = 2 \ pi R \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 4 x + 2 y – 2 az + 10 a = 0 \ ) có :
+ ) Tâm \ ( I \ left ( { 2 ; – 1 ; a } \ right ) \ )
+ ) Bán kính \ ( R = \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { a ^ 2 } – 10 a } = \ sqrt { { a ^ 2 } – 10 a + 5 } \, \, \ ) với điều kiện kèm theo \ ( { a ^ 2 } – 10 a + 5 > 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } a > 5 + 2 \ sqrt 5 \ \ a < 5 - 2 \ sqrt 5 \ end { array } \ right. \ ) . Đường tròn lớn của hình cầu có nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { a ^ 2 } - 10 a + 5 } \ ) nên chu vi \ ( C = 2 \ pi \ sqrt { { a ^ 2 } - 10 a + 5 } \ ) Theo đề bài ta có : \ ( \ begin { array } { l } C = 8 \ pi \ Leftrightarrow 2 \ pi \ sqrt { { a ^ 2 } - 10 a + 5 } = 8 \ pi \ Leftrightarrow \ sqrt { { a ^ 2 } - 10 a + 5 } = 4 \ \ \ Leftrightarrow { a ^ 2 } - 10 a + 5 = 16 \ Leftrightarrow { a ^ 2 } - 10 a - 11 = 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } a = - 1 \ \ a = 11 \ end { array } \ right. \, \, \, \ left ( { tm } \ right ) \ end { array } \ ) Vậy \ ( a = \ left \ { { - 1 ; 11 } \ right \ } \ )

Chọn C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 25 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) đường kính \ ( AB \ ) với \ ( A \ left ( { 4 ; – 3 ; 5 } \ right ) \ ), \ ( B \ left ( { 2 ; 1 ; 3 } \ right ) \ ) là

• A\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x + 2y – 8z – 26 = 0\)                            
• B

  \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x + 2y – 8z + 20 = 0\)                            

  
  

• C \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 6x – 2y + 8z – 20 = 0\)                           
• D \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 6x + 2y – 8z + 26 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) nhận trung điểm của \ ( AB \ ) làm tâm và \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :\ ( AB = \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { { \ left ( { – 4 } \ right ) } ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } = 2 \ sqrt 6 \ ) suy ra nửa đường kính \ ( R = \ sqrt 6 \ ) .
Trung điểm của \ ( AB \ ) là \ ( I \ left ( { 3 ; – 1 ; 4 } \ right ) \ ) .
Vậy phương trình mặt cầu là \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { x – 4 } \ right ) ^ 2 } = 6 \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 6 x + 2 y – 8 z + 20 = 0 \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 26 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), tìm điều kiện kèm theo của tham số \ ( m \ ) để phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 mx + 4 y + 2 mz + { m ^ 2 } + 5 m = 0 \ ) là phương trình mặt cầu .

• A \(m < 4\).                                          
• B\(\left[ \begin{array}{l}m \le 1\\m \ge 4\end{array} \right.\).
• C \(m > 1\).
• D \(\left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 4\end{array} \right.\). 

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) là phương trình mặt cầu khi \ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0 \ )Lời giải chi tiết cụ thể :

Phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 mx + 4 y + 2 mz + { m ^ 2 } + 5 m = 0 \ ) có \ ( a = m ; b = – 2 ; c = m ; d = { m ^ 2 } + 5 m \ )
Phương trình trên là phương trình mặt cầu khi \ ( { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow { m ^ 2 } + 4 + { m ^ 2 } – \ left ( { { m ^ 2 } + 5 m } \ right ) > 0 \ ) \ ( \ Leftrightarrow { m ^ 2 } – 5 m + 4 > 0 \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } m > 4 \ \ m < 1 \ end { array } \ right. \ ) .

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 27 :

Cho hai điểm \(A(3; – 1;2)\) và \(B(5;3; – 2).\) Mặt cầu nhận đoạn \(AB\) làm đường kính có phương trình là

• A\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 9\,.\)                                          
• B\({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {z^2} = 36\,.\)
• C\({\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 36\,.\)                                          
• D\({\left( {x – 4} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {z^2} = 9\,.\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :+ Tâm mặt cầu là trung điểm đoạn \ ( AB \ )
+ Bán kính mặt cầu là \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ )
+ Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R \ ) là \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )Lời giải cụ thể :+ Tâm mặt cầu là trung điểm \ ( I \ ) của đoạn \ ( AB \ ), suy ra \ ( I \ left ( { 4 ; 1 ; 0 } \ right ) \ )
+ Lại có \ ( AB = \ sqrt { { { \ left ( { 5 – 3 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 3 + 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 – 2 } \ right ) } ^ 2 } } = \ sqrt { 36 } = 6 \ ) nên nửa đường kính mặt cầu là \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = 3 \ ) .
+ Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { 4 ; 1 ; 0 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = 3 \ ) là \ ( { \ left ( { x – 4 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { z ^ 2 } = 9 \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 28 :Cho 4 điểm \ ( A \ left ( { 3 ; – 2 ; – 2 } \ right ) ; B \ left ( { 3 ; 2 ; 0 } \ right ) ; C \ left ( { 0 ; 2 ; 1 } \ right ) ; D \ left ( { – 1 ; 1 ; 2 } \ right ) \ ). Mặt cầu tâm \ ( A \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( { BCD } \ right ) \ ) có phương trình là

• A\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = \sqrt {14} \)
• B\({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 14\)
• C\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = \sqrt {14} \)
• D\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 14\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :+ Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } } \ right ) \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) thì có nửa đường kính \ ( R = d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) \ ) và phương trình mặt cầu là \ ( { \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – { y_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – { z_0 } } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )
+ Mặt phẳng đi qua ba điểm \ ( A, B, C \ ) có 1 VTPT là \ ( \ overrightarrow n = \ left [ { \ overrightarrow { AB } ; \ overrightarrow { AC } } \ right ] \ )Lời giải cụ thể :+ Ta có \ ( \ overrightarrow { BC } = \ left ( { – 3 ; 0 ; 1 } \ right ) ; \ overrightarrow { BD } = \ left ( { – 4 ; – 1 ; 2 } \ right ) \ Rightarrow \ left [ { \ overrightarrow { BC } ; \ overrightarrow { BD } } \ right ] = \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ) \ )
+ Mặt phẳng \ ( \ left ( { BCD } \ right ) \ ) đi qua \ ( B \ left ( { 3 ; 2 ; 0 } \ right ) \ ) và có 1 VTPT là \ ( \ overrightarrow n = \ left [ { \ overrightarrow { BC } ; \ overrightarrow { BD } } \ right ] = \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ) \ ) nên phương trình mặt phẳng \ ( \ left ( { BCD } \ right ) \ ) là \ ( 1 \ left ( { x – 3 } \ right ) + 2 \ left ( { y – 2 } \ right ) + 3 \ left ( { z – 0 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow x + 2 y + 3 z – 7 = 0 \ )
+ Vì mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( A \ ) tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( { BCD } \ right ) \ ) nên nửa đường kính mặt cầu là
\ ( R = d \ left ( { A ; \ left ( { BCD } \ right ) } \ right ) = \ frac { { \ left | { 3 + 2. \ left ( { – 2 } \ right ) + 3. \ left ( { – 2 } \ right ) – 7 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } } } = \ sqrt { 14 } \ )
Phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) là \ ( { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 2 } \ right ) ^ 2 } = 14 \ )

Chọn  B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 29 :Trong khoảng trống Oxyz, cho hai điểm \ ( A \ left ( { – 2 ; 1 ; 0 } \ right ), \, B \ left ( { 2 ; – 1 ; 2 } \ right ) \ ). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là :

• A\({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 24\).                                                   
• B\({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 6\).           
• C \({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \sqrt {24} \).
• D\({x^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = \sqrt 6 \).

Đáp án: B

Phương pháp giải :Phương trình của mặt cầu tâm I ( a ; b ; c ) nửa đường kính R là : \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu có đường kính AB có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 0 ; 1 } \ right ) \ ) là trung điểm của AB và nửa đường kính \ ( R = IA = \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } = \ sqrt 6 \ ), có phương trình là : \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z – 1 } \ right ) ^ 2 } = 6 \ ) .

Chọn: B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 30 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ) phương trình nào sau đây không phải là phương trình của một mặt cầu ?

• A\({x^2} + {y^2} + {z^2} + x – 2y + 4z – 3 = 0\)                                      
• B\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} – x – y – z = 0\)                            
• C\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + 4y – 4z + 10 = 0\)                        
• D\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} + 4x + 8y + 6z + 3 = 0\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Phương trình \ ( { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 ax – 2 by – 2 cz + d = 0 \ ) là phương trình mặt cầu \ ( \ Leftrightarrow { a ^ 2 } + { b ^ 2 } + { c ^ 2 } – d > 0. \ )Lời giải cụ thể :Xét từng đáp án ta được :

+) Đáp án A:  có: \(a =  – \frac{1}{2};\,\,b = 1;\,\,c =  – 2,\,\,d =  – 3 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – d = \frac{{33}}{4} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án B: \(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} – x – y – z = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – \frac{1}{2}x – \frac{1}{2}y – \frac{1}{2}z = 0\) có: \(a = \frac{1}{4};\,\,b = \frac{1}{4};\,\,c = \frac{1}{4},\,\,d = 0 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – d = \frac{3}{{16}} > 0\) \( \Rightarrow \) phương trình này là phương trình mặt cầu.

+) Đáp án C:  có: \(a = 1;\,\,b =  – 2;\,\,c = 2,\,\,d = 10 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – d =  – 1 < 0\)  phương trình này không là phương trình mặt cầu.

Chọn  C.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 31 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng \ ( \ left ( \ alpha \ right ) \ ) có phương trình \ ( 2 x + y – z – 1 = 0 \ ) và mặt cầu ( S ) có phương trình \ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 2 } \ right ) ^ 2 } = 4 \ ). Xác định nửa đường kính r của đường tròn là giao tuyến của \ ( \ left ( \ alpha \ right ) \ ) và mặt cầu ( S ) .

• A\(r = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).
• B\(r = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{3}\).
• C\(r = \dfrac{{2\sqrt {15} }}{3}\).                                     
• D\(r = \dfrac{{2\sqrt {42} }}{3}\).

Đáp án: A

Phương pháp giải :

Sử dụng mối quan hệ \ ( { d ^ 2 } + { r ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .
Trong đó, \ ( d \ ) : khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ( P ) ,
\ ( r \ ) : nửa đường kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) ,
\ ( R \ ) : nửa đường kính hình cầu .Lời giải cụ thể :Mặt cầu \ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 2 } \ right ) ^ 2 } = 4 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 1 ; 1 ; – 2 } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R = 2 \ )
\ ( d = d \ left ( { I ; \ left ( \ alpha \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 2.1 + 1 – \ left ( { – 2 } \ right ) – 1 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } } } } = \ dfrac { 4 } { { \ sqrt 6 } } = \ dfrac { { 2 \ sqrt 6 } } { 3 } \ )
Ta có : \ ( { d ^ 2 } + { r ^ 2 } = { R ^ 2 } \ Leftrightarrow { \ left ( { \ dfrac { { 2 \ sqrt 6 } } { 3 } } \ right ) ^ 2 } + { r ^ 2 } = { 2 ^ 2 } \ Leftrightarrow { r ^ 2 } = \ dfrac { 4 } { 3 } \ Leftrightarrow r = \ dfrac { { 2 \ sqrt 3 } } { 3 } \ ) .
Bán kính r của đường tròn là giao tuyến của \ ( \ left ( \ alpha \ right ) \ ) và mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) là \ ( r = \ dfrac { { 2 \ sqrt 3 } } { 3 } \ ) .

Chọn: A

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 32 :Trong khoảng trống Oxyz, cho \ ( A \ left ( { 1 ; 3 ; 5 } \ right ), \, \, B \ left ( { – 5 ; – 3 ; – 1 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu đường kính AB là :

• A\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 27\).                     
• B\({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 3\sqrt 3 \).           
• C\({\left( {x + 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 3\sqrt 3 \).          
• D\({\left( {x – 2} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 27\).

Đáp án: A

Phương pháp giải :Phương trình đường tròn có tâm \ ( I ( { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } ) \ ), nửa đường kính \ ( R \ ) : \ ( { ( x – { x_0 } ) ^ 2 } + { ( y – { y_0 } ) ^ 2 } + { ( z – { z_0 } ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu đường kính AB có tâm \ ( I \ left ( { – 2 ; 0 ; 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ dfrac { { \ sqrt { { 6 ^ 2 } + { 6 ^ 2 } + { 6 ^ 2 } } } } { 2 } = 3 \ sqrt 3 \ ), có phương trình là :
\ ( { \ left ( { x + 2 } \ right ) ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 27 \ ) .

Chọn: A

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 33 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ) cho điểm \ ( I \ left ( { 2 ; \, 3 ; \, 4 } \ right ) \ ) và \ ( A \ left ( { 1 ; \, 2 ; \, 3 } \ right ). \ ) Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ ) và đi qua \ ( A \ ) có phương trình là :

• A       \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 3\)         
• B \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 4} \right)^2} = 9\)   
• C       \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 45\)
• D       \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} + {\left( {z – 4} \right)^2} = 3\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; \, b ; \, c } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R : \, \, { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 }. \ )Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu tâm \ ( I \ ) đi qua \ ( A \ Rightarrow IA = R \ Leftrightarrow R = \ sqrt { { { \ left ( { 1 – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 2 – 3 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 3 – 4 } \ right ) } ^ 2 } } = \ sqrt 3. \ )
\ ( \ Rightarrow \ left ( S \ right ) : \, \, { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 4 } \ right ) ^ 2 } = 3. \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 34 :Trong hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho điểm \ ( I \ left ( { 2 ; – 1 ; – 1 } \ right ) \ ) và mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) : x – 2 y – 2 z + 3 = 0 \ ). Viết phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ )

• A\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y + 2z – 3 = 0\)
• B\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + y + z – 3 = 0\)
• C\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y + 2z + 1 = 0\)
• D\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + y + z + 1 = 0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :Tính \ ( R = d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) \ ) và viết phương trình mặt cầu .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( R = d \ left ( { I, \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 2 – 2. \ left ( { – 1 } \ right ) – 2. \ left ( { – 1 } \ right ) + 3 } \ right | } } { { \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = 3 \ )
Phương trình mặt cầu : \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 1 } \ right ) ^ 2 } = { 3 ^ 2 } \ Leftrightarrow { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 4 x + 2 y + 2 z – 3 = 0 \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 35 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \ ( A \ left ( { 3 ; – 2 ; – 2 } \ right ), \, B \ left ( { 3 ; 2 ; 0 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu đường kính AB là :

• A\({\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 20\).                     
• B\({\left( {x – 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\).                       
• C \({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5\).                     
• D\({\left( {x + 3} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 20\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I ( { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } ) \ ), nửa đường kính \ ( R \ ) : \ ( { ( x – { x_0 } ) ^ 2 } + { ( y – { y_0 } ) ^ 2 } + { ( z – { z_0 } ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Mặt cầu đường kính AB có tâm \ ( I \ left ( { 3 ; 0 ; – 1 } \ right ) \ ) là trung điểm của đoạn thẳng AB và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ dfrac { { \ sqrt { { 0 ^ 2 } + { 4 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } { 2 } = \ sqrt 5 \ ), có phương trình là : \ ( { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z + 1 } \ right ) ^ 2 } = 5 \ ) .

Chọn: B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 36 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x + 3 } \ right ) ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = { m ^ 2 } + 4 \ ). Tìm toàn bộ những giá trị thực của tham số m để mặt cầu ( S ) tiếp xúc với ( Oyz ) .

• A\(m = 0\).                                
• B\(m = 2\);\(m =  – 2\).             
• C\(m = \sqrt 5 \).                      
• D\(m = \sqrt 5 \);\(m =  – \sqrt 5 \)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm I, nửa đường kính R tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) khi và chỉ khi \ ( d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) = R \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { \ left ( { x + 3 } \ right ) ^ 2 } + { y ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = { m ^ 2 } + 4 \ ) có tâm \ ( I \ left ( { – 3 ; 0 ; 2 } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { { m ^ 2 } + 4 } \ )
Mặt cầu ( S ) tiếp xúc với ( Oyz ) \ ( \ Leftrightarrow d \ left ( { I ; \ left ( { Oyz } \ right ) } \ right ) = R \ Leftrightarrow 3 = \ sqrt { { m ^ 2 } + 4 } \ Leftrightarrow { m ^ 2 } + 4 = 9 \ Leftrightarrow { m ^ 2 } = 5 \ Leftrightarrow m = \ pm \ sqrt 5 \ ) .

Chọn: D

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 37 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ \ ( Oxyz \ ), cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 3 ; 2 ; – 1 } \ right ) \ ) và đi qua điểm \ ( A \ left ( { 2 ; 1 ; 2 } \ right ) \ ). Mặt phẳng nào dưới đây tiếp xúc với \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tại \ ( A \ ) ?

• A\(x + y – 3z – 8 = 0\)
• B\(x + y – 3z + 3 = 0\)
• C\(x + y + 3z – 9 = 0\)
• D\(x – y – 3z + 3 = 0\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :

\(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right) \Leftrightarrow d\left( {I;\left( P \right)} \right) = R\) với \(I,R\) lần lượt là tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\).

Lời giải cụ thể :Xét đáp án B ta có : \ ( x + y – 3 z + 3 = 0 \, \, \ left ( P \ right ) \ )
\ ( \ begin { array } { l } d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) = \ dfrac { { \ left | { 1.3 + 1.2 – 3 \ left ( { – 1 } \ right ) + 3 } \ right | } } { { \ sqrt { 1 + 1 + 9 } } } = \ dfrac { { 11 } } { { \ sqrt { 11 } } } = \ sqrt { 11 } \ \ R = IA = \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 3 ^ 2 } } = \ sqrt { 11 } \ \ \ Rightarrow d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) = R \ end { array } \ )
Do đó mặt phẳng ở đáp án B tiếp xúc với mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) .

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 38 :Trong khoảng trống Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I ( a ; b ; c ) \ ) nửa đường kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \ ( \ left ( { Oxz } \ right ). \ ) Khẳng định nào sau đây đúng ?

• A

    \(\left| a \right| = 1.\)       

• B

    \(a + b + c = 1.\)               

• C

    \(\left| b \right| = 1.\)        

• D  \(\left| c \right| = 1.\)

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I ( a ; b ; c ) \ ) nửa đường kính bằng R, tiếp xúc mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ Leftrightarrow d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) = R \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I ( a ; b ; c ) \ ) nửa đường kính bằng 1, tiếp xúc mặt phẳng \ ( \ left ( { Oxz } \ right ) \, \, \ Leftrightarrow \ ) \ ( d \ left ( { I ; \ left ( { Oxz } \ right ) } \ right ) = 1 \ ) \ ( \ Leftrightarrow \ left | b \ right | = 1 \ ) .

Chọn: C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 39 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 1 ; – 1 } \ right ) \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) : 2 x – y + 2 z – 3 = 0 \ ) .

• A\({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)
• B\({x^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 4\).
• C\({x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\).
• D\({x^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 2\).

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ ) nửa đường kính R, tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) \ ) \ ( \ Leftrightarrow d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) = R \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 1 ; – 1 } \ right ) \ ) và tiếp xúc với mặt phẳng \ ( \ left ( P \ right ) : 2 x – y + 2 z – 3 = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow R = d \ left ( { I ; \ left ( P \ right ) } \ right ) \ ) \ ( \ Leftrightarrow R = \ dfrac { { \ left | { 0 – 1 – 2 – 3 } \ right | } } { { \ sqrt { { 2 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } } } = 2 \ )
Phương trình mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tâm \ ( I \ left ( { 0 ; 1 ; – 1 } \ right ) \ ), nửa đường kính \ ( R = 2 \ ) là : \ ( { x ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z + 1 } \ right ) ^ 2 } = 4 \ ) .

Chọn: C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 40 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : \, \, { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 \ left ( { x + 2 y + 3 z } \ right ) = 0 \ ). Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm ( khác gốc tọa độ O ) của mặt cầu và những trục tọa độ \ ( Ox, \, Oy, \, Oz \ ). Phương trình mặt phẳng \ ( \ left ( { ABC } \ right ) \ ) là :

• A\(6x – 3y – 2z – 12 = 0\).
• B\(6x + 3y + 2z – 12 = 0\).
• C\(6x – 3y – 2z + 12 = 0\).
• D\(6x – 3y + 2z – 12 = 0\).

Đáp án: B

Phương pháp giải :Xác định tọa độ 3 điểm A, B, C. Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ) theo đoạn chắn : \ ( \ dfrac { x } { a } + \ dfrac { y } { b } + \ dfrac { z } { c } = 1 \ ) .Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có : \ ( \ left ( S \ right ) : { x ^ 2 } + { y ^ 2 } + { z ^ 2 } – 2 \ left ( { x + 2 y + 3 z } \ right ) = 0 \ )
Cho \ ( y = z = 0 \ Rightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 0 \, \, ( L ) \ \ x = 2 \ end { array } \ right. \, \, \, \ Rightarrow x = 2 \ Rightarrow A \ left ( { 2 ; 0 ; 0 } \ right ) \ )
Cho \ ( x = z = 0 \ Rightarrow \ left [ \ begin { array } { l } y = 0 \, \, ( L ) \ \ y = 4 \ end { array } \ right. \, \, \, \ Rightarrow y = 4 \ Rightarrow B \ left ( { 0 ; 4 ; 0 } \ right ) \ )
Cho \ ( x = y = 0 \ Rightarrow \ left [ \ begin { array } { l } z = 0 \, \, ( L ) \ \ z = 6 \ end { array } \ right. \, \, \, \ Rightarrow z = 6 \ Rightarrow C \ left ( { 0 ; 0 ; 6 } \ right ) \ )
Phương trình ( ABC ) là : \ ( \ dfrac { x } { 2 } + \ dfrac { y } { 4 } + \ dfrac { z } { 6 } = 1 \ Leftrightarrow 6 x + 3 y + 2 z – 12 = 0 \ ) .

Chọn: B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 41 :Trong mặt phẳng tọa độ \ ( Oxy, \ ) cho đường tròn \ ( \ left ( S \ right ) \ ) có tâm \ ( I \ ) nằm trên đường thẳng \ ( y = – x, \ ) nửa đường kính bằng \ ( R = 3 \ ) và tiếp xúc với những trục tọa độ. Lập phương trình của \ ( \ left ( S \ right ), \ ) biết hoành độ tâm \ ( I \ ) là số dương .

• A       \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 9\)                               
• B       \({\left( {x – 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\) 
• C\({\left( {x – 3} \right)^2} – {\left( {y – 3} \right)^2} = 9\) 
• D \({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 9\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Phương trình đường tròn tâm \ ( I \ left ( { a ; \, b } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R \ ) là : \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 }. \ )Lời giải cụ thể :Gọi \ ( I \ left ( { a ; \, – a } \ right ) \, \, \ left ( { a > 0 } \ right ) \ ) thuộc đường thẳng \ ( y = – x \ ) .
\ ( \ Rightarrow \ left ( S \ right ) : \, \, { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + a } \ right ) ^ 2 } = 9. \ )
\ ( \ left ( S \ right ) \ ) tiếp xúc với những trục tọa độ \ ( \ Rightarrow d \ left ( { I ; \, Ox } \ right ) = d \ left ( { I ; \, Oy } \ right ) = R = 3 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left | { { x_I } } \ right | = \ left | { { y_I } } \ right | = 3 \ Leftrightarrow a = 3 \ Rightarrow \ left ( S \ right ) : \, \, { \ left ( { x – 3 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 3 } \ right ) ^ 2 } = 9. \ )

Chọn B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 42 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \ ( A \ left ( { 3 ; 2 ; 0 } \ right ), B \ left ( { 1 ; 0 ; – 4 } \ right ) \ ). Mặt cầu nhận AB làm đường kính có phương trình là :

• A  \({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y – 4z – 15 = 0\)          
• B\({x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y – 4z + 3 = 0\).            
• C  \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 4z + 3 = 0\) .          
• D\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 4z – 15 = 0\).

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt cầu nhận AB làm đường kính có tâm là trung điểm của AB và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Gọi I là trung điểm của AB \ ( \ Rightarrow I \ left ( { 2 ; 1 ; – 2 } \ right ), \, \, IA = \ sqrt { { 1 ^ 2 } + { 1 ^ 2 } + { 2 ^ 2 } } = \ sqrt 6 \ )
Phương trình mặt cầu nhận AB làm đường kính là :

\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z + 2} \right)^2} = 6 \Leftrightarrow \)\({x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x – 2y + 4z + 3 = 0\).

Chọn: C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 43 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { 2 ; – 1 ; 3 } \ right ) \ ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) có phương trình là :

• A\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9\)
• B\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 4\).
• C\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 2\).
• D\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 3\).

Đáp án: A

Phương pháp giải :Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { a ; b ; c } \ right ) \ ) nửa đường kính R là : \ ( { \ left ( { x – a } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – b } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – c } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )Lời giải cụ thể :Mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { 2 ; – 1 ; 3 } \ right ) \ ) tiếp xúc với mặt phẳng ( Oxy ) \ ( \ Rightarrow R = d \ left ( { I ; \ left ( { Oxy } \ right ) } \ right ) = \ left | { { z_I } } \ right | = 3 \ )
Phương trình mặt cầu đó là : \ ( { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 3 } \ right ) ^ 2 } = 9 \ ) .

Chọn: A

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 44 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( I \ left ( { 1 ; 1 ; 1 } \ right ) \ ) và \ ( A = \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ) \ ). Phương trình của mặt cầu tâm \ ( I \ ) và đi qua \ ( A \ ) là

• A\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 29\)
• B\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 5\) 
• C\({\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 25\) 
• D\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 5\)

Đáp án: B

Phương pháp giải :Tính nửa đường kính \ ( R = IA = \ sqrt { { { \ left ( { { x_A } – { x_I } } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { { y_A } – { y_I } } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { { y_A } – { y_I } } \ right ) } ^ 2 } } \ )
Phương trình mặt cầu có tâm \ ( I \ left ( { { x_0 } ; { y_0 } ; { z_0 } } \ right ) \ ) và có nửa đường kính \ ( R \ ) có dạng
\ ( { \ left ( { x – { x_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – { y_0 } } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – { z_0 } } \ right ) ^ 2 } = { R ^ 2 } \ )
Lời giải chi tiết cụ thể :Ta có nửa đường kính mặt cầu \ ( R = IA = \ sqrt { { { \ left ( { 1 – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 2 – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 3 – 1 } \ right ) } ^ 2 } } = \ sqrt 5 \ )
Phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { 1 ; 1 ; 1 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ sqrt 5 \ ) là \ ( { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 1 } \ right ) ^ 2 } = 5 \ )

CHỌN B.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 45 :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ), cho hai điểm \ ( A \ left ( { 1 ; 2 ; 3 } \ right ), \, \, B \ left ( { 3 ; 2 ; 1 } \ right ) \ ). Phương trình mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) là :

• A\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 2\)
• B\({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 4\)
• C\({x^2} + {y^2} + {z^2} = 2\)
• D\({\left( {x – 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 4\)  

Đáp án: A

Phương pháp giải :Mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm là trung điểm của \ ( AB \ ) và có nửa đường kính bằng \ ( \ dfrac { { AB } } { 2 } \ ) .Lời giải cụ thể :Gọi \ ( I \ ) là trung điểm của \ ( AB \ ) ta có \ ( I \ left ( { 2 ; 2 ; 2 } \ right ) \ ) .
Ta có : \ ( AB = \ sqrt { { { \ left ( { 3 – 1 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 2 – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 1 – 3 } \ right ) } ^ 2 } } = \ sqrt { 4 + 4 } = 2 \ sqrt 2 \ ) .
Do đó mặt cầu đường kính \ ( AB \ ) có tâm \ ( I \ left ( { 2 ; 2 ; 2 } \ right ) \ ) và nửa đường kính \ ( R = \ dfrac { { AB } } { 2 } = \ sqrt 2 \ ) .
Vậy phương trình mặt cầu là \ ( { \ left ( { x – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 2 } \ right ) ^ 2 } = 2 \ ) .

Chọn A.

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 46 :Trong khoảng trống Oxyz, mặt cầu tâm \ ( I \ left ( 1 ; 2 ; 3 \ right ) \ ) đi qua điểm \ ( A \ left ( 1 ; 1 ; 2 \ right ) \ ) có pt là :

• A   \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2\)                        
• B \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=2\)
• C\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=\sqrt{2}\)                
• D \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}\)

Đáp án: B

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 47 :Trong khoảng trống Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : \ ( 2 x + 3 y + z-11 = 0 \ ) và mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { { x } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { z } ^ { 2 } } – 2 x + 4 y – 2 z – 8 = 8 \ ) tiếp xúc với nhau tại điểm \ ( H \ left ( { { x } _ { o } } ; { { y } _ { o } } ; { { z } _ { o } } \ right ) \ ). Tính tổng \ ( T = { { x } _ { o } } + { { y } _ { o } } + { { z } _ { 0 } } \ )

• AT=2                       
• B  T=0                             
• CT=6                             
• DT=4

Đáp án: C

Phương pháp giải :Mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với mặt cầu ( S ) tại H suy ra IH vuông góc với ( P ) với I là tâm mặt cầu ( S )Lời giải cụ thể :\ ( \ begin { align } và \ left ( S \ right ) : { { \ left ( x-1 \ right ) } ^ { 2 } } + { { \ left ( y + 2 \ right ) } ^ { 2 } } + { { \ left ( z-1 \ right ) } ^ { 2 } } = 14 \ \ và => I \ left ( 1 ; – 2 ; 1 \ right ) \ \ \ end { align } \ )
Suy ra phương trình đường thẳng IH : \ ( \ left \ { \ begin { align } và x = 1 + 2 t \ \ và y = 3 t – 2 \ \ và z = 1 + t \ \ \ end { align } \ right. \ )
Gọi H ( 1 + 2 t ; 3 t – 2 ; 1 + t ). Thay H vào ptmp ( P ) ta có : \ ( \ )
\ ( \ begin { align } và 2 \ left ( 2 t + 1 \ right ) + 3 \ left ( 3 t – 2 \ right ) + t + 1-11 = 0 < => t = 1 \ \ và => H \ left ( 3 ; 1 ; 2 \ right ) \ \ \ end { align } \ )

Chọn đáp án C

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 48 :Trong khoảng trống Oxyz, phương trình mặt cầu tâm \ ( I \ left ( { – 1 ; 2 ; 0 } \ right ) \ ) và đi qua điểm \ ( A \ left ( { 2 ; – 2 ; 0 } \ right ) \ ) là

• A\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 100\).                                             
• B\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 5\).                         
• C\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 10\).                                   

   

• D\({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 2} \right)^2} + {z^2} = 25\).

Đáp án: D

Phương pháp giải :

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và có bán kính R là:

                    \({\left( {x – a} \right)^2} + {\left( {y – b} \right)^2} + {\left( {z – c} \right)^2} = {R^2}\)

Lời giải cụ thể :Bán kính mặt cầu \ ( R = IA = \ sqrt { { { \ left ( { 2 – \ left ( { – 1 } \ right ) } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { – 2 – 2 } \ right ) } ^ 2 } + { { \ left ( { 0 – 0 } \ right ) } ^ 2 } } = 5 \ )
Phương trình mặt cầu : \ ( { \ left ( { x + 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 2 } \ right ) ^ 2 } + { z ^ 2 } = 25 \ ) .

Chọn: D  

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 49 :Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : { { ( x + 3 ) } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { ( z-1 ) } ^ { 2 } } = 10 \ ). Mặt phẳng nào trong những mặt phẳng dưới đây cắt mặt cầu \ ( ( S ) \ ) theo giao tuyến là đường tròn có nửa đường kính bằng 3 ?

• A

   \(\left( {{P}_{1}} \right):x+2y-2z+8=0\).                                                      

• B

   \(\left( {{P}_{2}} \right):x+2y-2z-8=0\).     

• C

   \(\left( {{P}_{3}} \right):x+2y-2z-2=0\).                                                       

• D \(\left( {{P}_{4}} \right):x+2y-2z-4=0\)

Đáp án: A

Phương pháp giải :

\ ( { { d } ^ { 2 } } + { { r } ^ { 2 } } = { { R } ^ { 2 } } \ )
Trong đó, \ ( d \ ) : khoảng cách từ tâm O đến mặt phẳng ( P ) ,
\ ( r \ ) : nửa đường kính đường tròn là giao tuyến của mặt cầu ( S ) và mặt phẳng ( P ) ,
\ ( R \ ) : nửa đường kính hình cầu .Lời giải chi tiết cụ thể :\ ( \ left ( S \ right ) : { { ( x + 3 ) } ^ { 2 } } + { { y } ^ { 2 } } + { { ( z-1 ) } ^ { 2 } } = 10 \ ) có tâm \ ( I ( – 3 ; 0 ; 1 ) \ ), nửa đường kính \ ( R = \ sqrt { 10 } \ ) .
\ ( ( S ) \ cap ( P ) \ ) là một đường tròn có nửa đường kính \ ( r = 3 \ )
Ta có : \ ( { { R } ^ { 2 } } = { { d } ^ { 2 } } _ { ( I ; ( P ) ) } + { { r } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow 10 = { { d } ^ { 2 } } _ { ( I ; ( P ) ) } + { { 3 } ^ { 2 } } \ Leftrightarrow d ( I ; ( P ) ) = 1 \ )
+ ) \ ( \ left ( { { P } _ { 1 } } \ right ) : x + 2 y – 2 z + 8 = 0 \ ) :
\ ( d ( I ; ( { { P } _ { 1 } } ) ) = \ frac { \ left | – 3 + 2.0 – 2.1 + 8 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = 1 \ Rightarrow ( { { P } _ { 1 } } ) \ ) : Thỏa mãn .
+ ) \ ( \ left ( { { P } _ { 2 } } \ right ) : x + 2 y – 2 z – 8 = 0 \ )
\ ( d ( I ; ( { { P } _ { 2 } } ) ) = \ frac { \ left | – 3 + 2.0 – 2.1 – 8 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = \ frac { 13 } { 3 } \ ne 1 \ Rightarrow ( { { P } _ { 2 } } ) \ ) : Không thỏa mãn nhu cầu .
+ ) \ ( \ left ( { { P } _ { 3 } } \ right ) : x + 2 y – 2 z – 2 = 0 \ )
\ ( d ( I ; ( { { P } _ { 3 } } ) ) = \ frac { \ left | – 3 + 2.0 – 2.1 – 2 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = \ frac { 7 } { 3 } \ ne 1 \ Rightarrow ( { { P } _ { 3 } } ) \ ) : Không thỏa mãn nhu cầu .
+ ) \ ( \ left ( { { P } _ { 4 } } \ right ) : x + 2 y – 2 z – 4 = 0 \ )
\ ( d ( I ; ( { { P } _ { 4 } } ) ) = \ frac { \ left | – 3 + 2.0 – 2.1 – 4 \ right | } { \ sqrt { { { 1 } ^ { 2 } } + { { 2 } ^ { 2 } } + { { ( – 2 ) } ^ { 2 } } } } = 3 \ ne 1 \ Rightarrow ( { { P } _ { 4 } } ) \ ) : Không thỏa mãn nhu cầu .

Chọn: A

Đáp án – Lời giải Câu hỏi 50 :Trong khoảng trống Oxyz, phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) : \, \, { \ left ( { x – 1 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { y – 2 } \ right ) ^ 2 } + { \ left ( { z – 3 } \ right ) ^ 2 } = 81 \ ) tại điểm \ ( P \ left ( { – 5 ; – 4 ; 6 } \ right ) \ ) là :

• A \(7x + 8y + 67 = 0\)                                                      
• B \(4x + 2y – 9z + 82 = 0\)
• C \(x – 4z + 29 = 0\)                                                         
• D \(2x + 2y – z + 24 = 0\)

Đáp án: D

Phương pháp giải :Gọi I là tâm mặt cầu \ ( \ left ( S \ right ) \ ) ta có mặt phẳng tiếp xúc với \ ( \ left ( S \ right ) \ ) tại P đi qua P và nhận \ ( \ overrightarrow { IP } \ ) là 1 VTPT .Lời giải chi tiết cụ thể :

\(I\left( {1;2;3} \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right) \Rightarrow \overrightarrow {IP}  = \left( { – 6; – 6;3} \right) = 3\left( {2;2; – 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow n \left( {2;2; – 1} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng đi qua P và tiếp xúc với \(\left( S \right)\). Do đó mặt phẳng cần tìm có phương trình :

\ ( 2 \ left ( { x + 5 } \ right ) + 2 \ left ( { y + 4 } \ right ) – 1 \ left ( { z – 6 } \ right ) = 0 \ Leftrightarrow 2 x + 2 y – z + 24 = 0 \ )

Chọn D.

Đáp án – Lời giải

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp