Phương Trình Tham Số Của Đường Tròn, Mặt Phẳng, Phương Trình Tham Số

Viết phương trình tham số là một dạng toán thường gặp trong phần hệ tọa độ mặt phẳng lớp 10 cũng như hệ tọa độ không gian lớp 12. Vậy phương trình tham số là gì? Cách viết phương trình tham số? Chuyển từ phương trình tổng quát sang phương trình tham số như nào?… Trong nội dung bài viết dưới đây, tiennghich.mobi sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Bạn đang xem : Phương trình tham số của đường trònMục lục2 Các dạng phương trình tham số thường gặp4 Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng5 Cách viết phương trình tham số trong không gian

2 Các dạng phương trình tham số thường gặp4 Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng5 Cách viết phương trình tham số trong không gian

Xem thêm : ” Thuốc Bảo Vệ Thực Vật Tiếng Anh Là Gì, Thuốc Bảo Vệ Thực Vật Tên Tiếng Anh

Phương trình tham số là gì?

Phương trình tham số là phương trình thường được sử dụng để biểu diễn tọa độ của các điểm thuộc một đối tượng hình học như đường thẳng, đường tròn… Phương trình tham số được xác định bởi hệ các hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập.Ví dụ: phương trình \(\left\{\begin{matrix} x=\sin t\\y= \cos t \end{matrix}\right.\) là dạng biểu diễn bằng tham số của đường tròn đơn vị. Một điểm \( M(x_0;y_0) \) nằm trên đường tròn đơn vị khi và chỉ khi tồn tại \( t_0 \) thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} x_0=\sin t_0\\y_0= \cos t_0 \end{matrix}\right.\)Phương trình tham số là phương trình thường được sử dụng để màn biểu diễn tọa độ của những điểm thuộc một đối tượng hình học như đường thẳng, đường tròn … Phương trình tham số được xác lập bởi hệ những hàm số của một hoặc nhiều biến độc lập. Ví dụ : phương trình \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = \ sin t \ \ y = \ cos t \ end { matrix } \ right. \ ) là dạng trình diễn bằng tham số của đường tròn đơn vị chức năng. Một điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ) \ ) nằm trên đường tròn đơn vị chức năng khi và chỉ khi sống sót \ ( t_0 \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x_0 = \ sin t_0 \ \ y_0 = \ cos t_0 \ end { matrix } \ right. \ )* * * Chú ý : Biểu diễn hàm bằng phương trình tham số là không duy nhất. Cùng một hàm số hoàn toàn có thể có nhiều cách màn biểu diễn bằng tham số khác nhau .

Các dạng phương trình tham số thường gặp

Trong mặt phẳng

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0) \) và có véc tơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b)\) là:\(\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\y=y_0+bt \end{matrix}\right.\) với \( t \) là tham sốPhương trình tham số của đường tròn tâm \( I(a;b) \) có bán kính \( R \) là :\(\left\{\begin{matrix} x=R.\sin t + a\\y=R.\cos t +b \end{matrix}\right.\) với \(t \in <0;2\pi>\) 

Trong không gian

Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0;z_0) \) và chứa hai véc tơ không song song \(\vec{a}=(a_1;a_2;a_3)\) và \(\vec{b} =(b_1;b_2;b_3)\) là :\(\left\{\begin{matrix} x=x_0+a_1u +b_1t\\ y=y_0+a_2u+b_2t\\z=z_0+a_3u+b_3t \end{matrix}\right.\) với \( u,t \) là các tham số.Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0;y_0;z_0) \) và có véc tơ chỉ phương \(\vec{u}=(a;b;c)\) là:\(\left\{\begin{matrix} x=x_0+at\\y=y_0+bt \\z=z_0+ct \end{matrix}\right.\)

Các dữ kiện cần thiết để viết phương trình tham số

Phương trình đường thẳng Tọa độ một điểm thuộc đường thẳng.Phương trình đường tròn Tọa độ tâm.Bán kính.Phương trình mặt phẳng Tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng.Tọa độ hai vectơ không song song thuộc mặt phẳng.

Cách viết phương trình tham số của mặt phẳng

Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ) \ ) và có véc tơ chỉ phương \ ( \ vec { u } = ( a ; b ) \ ) là : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = x_0 + at \ \ y = y_0 + bt \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ ) là tham sốPhương trình tham số của đường tròn tâm \ ( I ( a ; b ) \ ) có nửa đường kính \ ( R \ ) là : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = R. \ sin t + a \ \ y = R. \ cos t + b \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ in < 0 ; 2 \ pi > \ ) Phương trình tham số của mặt phẳng đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) và chứa hai véc tơ không song song \ ( \ vec { a } = ( a_1 ; a_2 ; a_3 ) \ ) và \ ( \ vec { b } = ( b_1 ; b_2 ; b_3 ) \ ) là : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = x_0 + a_1u + b_1t \ \ y = y_0 + a_2u + b_2t \ \ z = z_0 + a_3u + b_3t \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( u, t \ ) là những tham số. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ; z_0 ) \ ) và có véc tơ chỉ phương \ ( \ vec { u } = ( a ; b ; c ) \ ) là : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = x_0 + at \ \ y = y_0 + bt \ \ z = z_0 + ct \ end { matrix } \ right. \ ) Phương trình đường thẳng Tọa độ một điểm thuộc đường thẳng. Phương trình đường tròn Tọa độ tâm. Bán kính. Phương trình mặt phẳng Tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng. Tọa độ hai vectơ không song song thuộc mặt phẳng .Bài toán : Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho hai điểm \ ( A ( x_1 ; y_1 ) \ ) và \ ( B ( x_2 ; y_2 ) \ ). Hãy viết PT tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \ ( A ; B \ )Để xử lý bài toán này ta triển khai tìm vectơ chỉ phương \ ( \ vec { u } _ { AB } = ( x_2-x_1 ; y_2-y_1 ) \ ) rồi viết phương trình tham sốVí dụ :Cho mặt phẳng \ ( Oxy \ ), viết PT tham số của đường thẳng đi qua 2 điểm \ ( A ( 3 ; – 7 ) \ ) và \ ( B ( 1 ; – 7 ) \ )Cách giải :
Ta có vectơ \ ( \ overrightarrow { AB } = ( – 2 ; 0 ) \ )Vậy phương trình tham số đường thẳng \ ( AB \ ) là :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = 3-2 t \ \ y = – 7 \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ in \ mathbb { R } \ )

Viết phương trình tham số đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng

Bài toán : Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho điểm \ ( M ( x_0 ; y_0 ) \ ) và đường thẳng \ ( d \ ). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \ ( \ Delta \ ) đi qua \ ( M \ ) và vuông góc với \ ( d \ )Cách làm : Từ phương trình đường thẳng \ ( d \ ) ta tìm ra được véc tơ pháp tuyến \ ( \ vec { n } \ ) của \ ( d \ ). Do \ ( \ Delta \ bot d \ Rightarrow \ vec { n } \ ) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \ ( Delta \ ). Từ đó ta viết được phương trình tham số của \ ( Delta \ )Ví dụ :Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho điểm \ ( A ( 1 ; 2 ) \ ). Viết PT tham số đường thẳng \ ( \ Delta \ ) đi qua \ ( A \ ) và vuông góc với đường thẳng \ ( d : 2 x – y + 2 = 0 \ )Cách giải :Vì phương trình đường thẳng \ ( d \ ) là \ ( 2 x – y + 2 = 0 \ ) nên\ ( \ Rightarrow \ vec { n } ( 2 ; – 1 ) \ ) là một véc tơ pháp tuyến của \ ( d \ )Mà \ ( \ Delta \ bot d \ Rightarrow \ vec { n } ( 2 ; – 1 ) \ ) là véc tơ chỉ phương của \ ( \ Delta \ )Vậy phương trình tham số của đường thẳng \ ( Delta \ ) là :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + 2 t \ \ y = 2 – t \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ in \ mathbb { R } \ )

Viết phương trình tham số của đường thẳng đã có phương trình tổng quát

Bài toán : Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho đường thẳng \ ( d : ax + by + c = 0 \ ). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \ ( d \ )Bước 1: Chọn một điểm bất kì nằm trên đường thẳng \( d \)Bước 2: Xác định véc tơ chỉ phương \( (-b;a) \) của \( d \) dựa vào vectơ pháp tuyến \( (a;b) \) của \( d \)Bước 3: Viết PT tham số của \( d \)Chọn một điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng \ ( d \ ) Xác định véc tơ chỉ phương \ ( ( – b ; a ) \ ) của \ ( d \ ) dựa vào vectơ pháp tuyến \ ( ( a ; b ) \ ) của \ ( d \ ) Viết PT tham số của \ ( d \ )Ví dụ :Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho đường thẳng \ ( d : 2 x – 3 y – 12 = 0 \ ). Hãy viết PT tham số của đường thẳng \ ( d \ )Cách giải :

Từ phương trình tổng quát của \( d \) ta thấy \(\vec{n} =(2;-3)\) là một véc tơ pháp tuyến của \( d \)

Do đó \ ( \ Rightarrow \ vec { u } = ( 3 ; 2 ) \ ) là một véc tơ chỉ phương của \ ( d \ )Dễ thấy điểm \ ( A ( 3 ; – 2 ) \ in d \ ). Vậy ta có phương trình tham số của đường thẳng \ ( d \ ) là :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = 3 + 3 t \ \ y = – 2 + 2 t \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ in \ mathbb { R } \ )

Viết phương trình tham số của đường tròn

Để viết được phương trình tham số của đường tròn thì ta cần tìm được tọa độ tâm đường tròn và nửa đường kính của đường tròn đóVí dụ :Trong mặt phẳng \ ( Oxy \ ) cho điểm \ ( I ( 1 ; 2 ) \ ) và đường thẳng \ ( \ Delta : 3 x – 4 y + 1 = 0 \ ). Viết phương trình đường tròn \ ( ( O ) \ ) có tâm \ ( I \ ) và tiếp xúc với đường thẳng \ ( \ Delta \ )Cách giải :Do đường tròn \ ( ( O ) \ ) tiếp xúc với \ ( \ Delta \ ) nên\ ( \ Rightarrow R = d ( I ; \ Delta ) = \ frac { | 3-8 + 1 | } { \ sqrt { 3 ^ 2 + 4 ^ 2 } } = \ frac { 4 } { 5 } \ )Vậy ta có phương trình tham số của đường tròn \ ( ( O ) \ ) là :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = \ frac { 4 } { 5 }. \ sin t + 1 \ \ y = \ frac { 4 } { 5 }. \ cos t + 2 \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( t \ in < 0 ; 2 \ pi > \ )

Cách viết phương trình tham số trong không gian

Viết phương trình tham số của mặt phẳng

Để viết được phương trình tham số của mặt phẳng thì tất cả chúng ta cần tìm được tọa độ của một điểm bất kỳ nằm trên mặt phẳng và vectơ chỉ phương của hai đường thẳng không song song cùng nằm trên mặt phẳng đó. Sau đó dựa vào công thức phần trên để viết PT tham số :Ví dụ :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ) cho ba điểm \ ( A ( 1 ; 2 ; 2 ) ; B ( 3 ; 3 ; – 1 ) ; C ( 2 ; 1 ; – 2 ) \ ). Viết PT tham số của mặt phẳng \ ( ( ABC ) \ )Cách giải :Ta có :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } \ overrightarrow { AB } = ( 2 ; 1 ; – 3 ) \ \ \ overrightarrow { AC } = ( 1 ; – 1 ; – 4 ) \ end { matrix } \ right. \ )Vậy phương trình tham số của mặt phẳng \ ( ( ABC ) \ ) là :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 + 2 u + t \ \ y = 2 + u-t \ \ z = 2-3 u – 4 t \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( u, t \ in \ mathbb { R } \ )

Viết phương trình tham số của đường thẳng

Trong khoảng trống, cách viết phương trình tham số của đường thẳng cũng giống như trong mặt phẳng. Chúng ta cần tìm tọa độ một điểm nằm trên đường thẳng và vectơ chỉ phương của đường thẳng ấy .Ví dụ :Trong khoảng trống \ ( Oxyz \ ) cho hai mặt phẳng \ ( ( P ) : x + 2 y + 3 z + 2 = 0 \ ) và \ ( 2 x – y-z-1 = 0 \ ). Viết phương trình đường thẳng là giao của hai mặt phẳng đóCách giải :Tập hợp những giao điểm của hai mặt phẳng là nghiệm của hệ phương trình :\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + 2 y + 3 z + 2 = 0 \ \ 2 x – y-z-1 = 0 \ end { matrix } \ right. \ )Cho \ ( z = 0 \ ) thì ta được một giao điểm \ ( A ( 0 ; – 1 ; 0 ) \ )Cho \ ( y = 0 \ ) thì ta được một giao điểm \ ( B ( \ frac { 1 } { 7 } ; 0 ; – \ frac { 5 } { 7 } ) \ )Vậy \ ( \ Rightarrow \ overrightarrow { AB } = ( \ frac { 1 } { 7 } ; 1 ; – \ frac { 5 } { 7 } ) \ )

\(\Rightarrow \overrightarrow{u}= (1;7;-5)\) là véc tơ chỉ phương của \( AB \)

Vậy phương trình đường thẳng giao hai mặt phẳng là :\ ( AB : \ left \ { \ begin { matrix } x = t \ \ y = – 1 + 7 t \ \ z = – 5 t \ end { matrix } \ right. \ )

Bài viết trên đây của tiennghich.mobi đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và một số ví dụ về bài toán phương trình tham số của đường thẳng, đường tròn, mặt phẳng. Hy vọng những kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu chủ đề viết phương trình tham số. Chúc bạn luôn học tốt!

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp