Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay

Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng lớp 10 cực hay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

* Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng d ta cần xác lập :- Điểm A ( x0 ; y0 ) thuộc d

   – Một vectơ pháp tuyến n→( a; b) của d

Khi đó phương trình tổng quát của d là : a ( x-x0 ) + b ( y-y0 ) = 0* Cho đường thẳng d : ax + by + c = 0 nếu đường thẳng d / / ∆ thì đường thẳng ∆ có dạng : ax + by + c ’ = 0 ( c ’ ≠ c ) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Đường thẳng đi qua A(1; -2), nhận n→ = (1; -2) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình là:

A. x – 2y + 1 = 0.
   B. 2x + y = 0
   C. x – 2y – 5 = 0
   D. x – 2y + 5 = 0

Lời giải

Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và nhận n→ = (1; -2) làm VTPT

=> Phương trình đường thẳng ( d ) : 1 ( x – 1 ) – 2 ( y + 2 ) = 0 hay x – 2 y – 5 = 0

Chọn C.

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ đi qua M(1; -3) và nhận vectơ n→(1; 2) làm vectơ pháp tuyến.

A. ∆: x + 2y + 5 = 0
   B. ∆: x + 2y – 5 = 0
   C. ∆: 2x + y + 1 = 0
   D. Đáp án khác

Lời giải

Đường thẳng ∆: qua M( 1; -3) và VTPT n→(1; 2)

Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ là 1 ( x – 1 ) + 2 ( y + 3 ) = 0Hay x + 2 y + 5 = 0

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 3: Cho đường thẳng (d): x-2y + 1= 0. Nếu đường thẳng (∆) đi qua M(1; -1) và song song với d thì ∆ có phương trình

A. x – 2y – 3 = 0
   B. x – 2y + 5 = 0
   C. x – 2y +3 = 0
   D. x + 2y + 1 = 0

Lời giải

Do đường thẳng ∆ / / d nên đường thẳng ∆ có dạng x – 2 y + c = 0 ( c ≠ 1 )Ta lại có M ( 1 ; – 1 ) ∈ ( ∆ ) ⇒ 1 – 2 ( – 1 ) + c = 0 ⇔ c = – 3Vậy phương trình ∆ : x – 2 y – 3 = 0

Chọn A

Ví dụ 4: Cho ba điểm A(1; -2); B(5; -4) và C(-1;4). Đường cao AA’ của tam giác ABC có phương trình

A. 3x – 4y + 8 = 0
   B. 3x – 4y – 11 = 0
   C. -6x + 8y + 11 = 0
   D. 8x + 6y + 13 = 0

Lời giải

Ta có BC→ = (-6; 8)

Gọi AA ’ là đường cao của tam giác ABC

⇒ AA’ nhận VTPT n→ = BC→ = (-6; 8) và qua A(1; -2)

Suy ra phương trình AA ’ : – 6 ( x – 1 ) + 8 ( y + 2 ) = 0Hay – 6 x + 8 y + 22 = 0 ⇔ 3 x – 4 y – 11 = 0 .

Chọn B

Ví dụ 5. Đường thẳng d đi qua điểm A( 1; -3) và có vectơ pháp tuyến n→( 1; 5) có phương trình tổng quát là:

A. d: x + 5y + 2 = 0
   B. d: x- 5y + 2 = 0
   C. x + 5y + 14 = 0
   D. d: x – 5y + 7 = 0

Lời giải

Ta có: đường thẳng d: qua A( 1; -3) và VTPT n→( 1; 5)

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d :1 ( x – 1 ) + 5. ( y + 3 ) = 0 hay x + 5 y + 14 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1); B( 4; 5) và C( -3; 2). Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ A

A. 7x + 3y – 11 = 0
   B. -3x + 7y + 5 = 0
   C. 3x + 7y + 2 = 0
   D. 7x + 3y + 15 = 0

Lời giải

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A.

Đường thẳng AH : qua A( 2;-1) và Nhận VTPT BC→( 7; 3)

⇒ Phương trình đường cao AH :7 ( x – 2 ) + 3 ( y + 1 ) = 0 hay 7 x + 3 y – 11 = 0

Chọn A.

Ví dụ 7 : Cho tam giác ABC cân tại A có A(1 ; -2). Gọi M là trung điểm của BC và

M ( – 2 ; 1 ). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. x + y – 3 = 0
   B. 2x – y + 6 = 0
   C. x – y + 3 = 0
   D. x + y + 1 = 0

Lời giải

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao⇒ AM vuông góc BC .

⇒ Đường thẳng BC nhận AM→( -3 ; 3) = -3(1 ; -1) làm VTPT

+ Đường thẳng BC : qua M(-2; 1) và VTPT n→( 1; -1)

⇒ Phương trình đường thẳng BC :1 ( x + 2 ) – 1 ( y – 1 ) = 0 hay x – y + 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8 : Cho tam giác ABC có đường cao BH : x + y – 2 = 0, đường cao CK : 2x + 3y – 5 = 0 và phương trình cạnh BC : 2x – y + 2 = 0. Lập phương trình đường cao kẻ từ A của tam giác ABC ?

A. x – 3y + 1 = 0
   B. x + 4y – 5 = 0
   C. x + 2y – 3 =0
   D. 2x – y + 1 = 0

Lời giải

+ Gọi ba đường cao của tam giác ABC đồng quy tại P. Tọa độ của P là nghiệm hệ phương trình :

⇒ P( 1 ; 1)

+ Tọa độ điểm B là nghiệm hệ phương trình :

⇒ B( 0 ;2)

Tương tự ta tìm được tọa độ C(-
;
)

+ Đường thẳng AP :

⇒ Phương trình đường thẳng AP :1 ( x – 1 ) + 2 ( y – 1 ) = 0 ⇔ x + 2 y – 3 = 0

Chọn C.

Ví dụ 9. Phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua O và song song với đường thẳng ∆ : 3x + 5y – 9 = 0 là:

A. 3x + 5y – 7 = 0
   B. 3x + 5y = 0
   C. 3x – 5y = 0
   D. 3x – 5y + 9 = 0

Lời giải

Do đường thẳng d / / ∆ nên đường thẳng d có dạng : 3 x + 5 y + c = 0 ( c ≠ – 9 )Do điểm O ( 0 ; 0 ) thuộc đường thẳng d nên :3.0 + 5.0 + c = 0 ⇔ c = 0Vậy phương trình đường thẳng d : 3 x + 5 y = 0

Chọn B.

Ví dụ 10: Cho tam giác ABC có B(-2; -4). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình 2x – 3y + 1 = 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. 2x + 3y – 1 = 0
   B. 2x – 3y – 8 = 0
   C. 2x + 3y – 6 = 0
   D. 2x – 3y + 1 = 0

Lời giải

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC .⇒ IJ / / BC .⇒ Đường thẳng BC có dạng : 2 x – 3 y + c = 0 ( c ≠ 1 )

Mà điểm B thuộc BC nên: 2.(-2) – 3(-4) + c = 0 ⇔ c = -8

⇒ phương trình đường thẳng BC : 2 x – 3 y – 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 11. Cho ba đường thẳng (a):3x – 2y + 5 = 0; (b): 2x + 4y – 7 = 0 và

( c ) : 3 x + 4 y – 1 = 0. Phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của a và b, và song song với c là :

A. 24x + 32y – 53 = 0.
   B. 23x + 32y + 53 = 0
   C. 24x – 33y + 12 = 0.
   D. Đáp án khác

Lời giải

Giao điểm của ( a ) và ( b ) nếu có là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A(
;
)

Ta có đường thẳng d / / c nên đường thẳng d có dạng : 3 x + 4 y + c = 0 ( c ≠ – 1 )

Vì điểm A thuộc đường thẳng d nên : 3.
+ 4.
+ c = 0 ⇔ c=

Vậy d: 3x + 4y +
= 0 ⇔ d3 = 24x + 32y – 53 = 0

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M( 2 ; 1) và nhận vecto
n→( -2 ; 1) làm VTPT ?

A. 2 x + y – 5 = 0 B. – 2 x + y + 3 = 0 C. 2 x – y – 4 = 0 D. 2 x + y – 1 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Đường thẳng d :

⇒ Phương trình đường thẳng d : – 2 ( x – 2 ) + 1 ( y – 1 ) = 0Hay ( d ) : – 2 x + y + 3 = 0 .

Câu 2: Cho đường thẳng (a) : 2x+ y- 3=0 và (b) : 3x- 4y+ 1= 0. Lập phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm của hai đường thẳng a và b ; nhận vecto
n→( 2 ; -3) làm VTPT ?

A. 2 x – 3 y + 6 = 0 B. – 2 x – 3 y + 6 = 0 C. 2 x – 3 y + 1 = 0 D. 2 x + 3 y – 1 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Giao điểm A của hai đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình :

⇒ A( 1 ; 1)

+ Đường thẳng (d) :

⇒ Phương trình đường thẳng d : 2 ( x – 1 ) – 3 ( y – 1 ) = 0 hay 2 x – 3 y + 1 = 0 .

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; -1),
B(4; 5) và    C( -3; 2). Lập phương trình đường cao của tam giác ABC kẻ từ B

A. 3 x – 5 y + 1 = 0 B. 3 x + 5 y – 20 = 0 C. 3 x + 5 y – 12 = 0 D. 5 x – 3 y – 5 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ B của tam giác ABC .

Đường thẳng BH :

⇒ Phương trình đường cao bh :5 ( x – 4 ) – 3 ( y – 5 ) = 0 hay 5 x – 3 y – 5 = 0

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2;-1) ; B( 4;5) và   C( -3; 2). Tìm trực tâm tam giác ABC?

A. (
; –
)
   B. (
;
)
   C. (
;
)
   D. (
;
)

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

+ Gọi H và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ C và B của tam giác ABC .

+ Đường thẳng CH :

⇒ Phương trình đường cao CH :2 ( x + 3 ) + 6 ( y – 2 ) = 0 hay 2 x + 6 y – 6 = 0⇔ ( CH ) : x + 3 y – 3 = 0

+ Đường thẳng BK :

=> Phương trình đường cao BK : – 5 ( x – 4 ) + 3 ( y – 5 ) = 0 hay – 5 x + 3 y + 5 = 0 .+ Gọi P là trực tâm tam giác ABC. Khi đó P là giao điểm của hai đường cao CH và BK nên tọa độ điểm P là nghiệm hệ :

Vậy trực tâm tam giác ABC là P(
;
)

Câu 5: Cho tam giác ABC có A( 2;-1) ; B( 4; 5) và C( -3; 2). Phương trình tổng quát của đường cao AH của tam giác ABC là:

A. 3 x – 7 y + 11 = 0. B. 7 x + 3 y – 11 = 0 C. 3 x – 7 y – 13 = 0. D. 7 x + 3 y + 13 = 0 .
Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi AH là đường cao của tam giác .

Đường thẳng AH : đi qua A( 2; -1) và nhận BC→ = (-7; -3) = – (7; 3) làm VTPT

=> Phương trình tổng quát AH : 7 ( x – 2 ) + 3 ( y + 1 ) = 0 hay 7 x + 3 y – 11 = 0

Câu 6: Cho đường thẳng (d): 3x- 2y+ 8= 0. Đường thẳng ∆ đi qua M(3; 1) và song song với (d) có phương trình:

A. 3 x – 2 y – 7 = 0. B. 2 x + 3 y – 9 = 0. C. 2 x – 3 y – 3 = 0. D. 3 x – 2 y + 1 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

Do ∆ song song với d nên có phương trình dạng : 3 x – 2 y + c = 0 ( c ≠ 8 )Mà ∆ đi qua M ( 3 ; 1 ) nên 3.3 – 2.1 + c = 0 nên c = – 7Vậy phương trình ∆ : 3 x – 2 y – 7 = 0

Câu 7: Cho tam giác ABC có B(2; -3). Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết đường thẳng IJ có phương trình x- y+ 3= 0. Lập phương trình đường thẳng BC?

A. x + y + 2 = 0 B. x – y – 5 = 0 C. x – y + 6 = 0 D. x – y = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Do I và J lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ABC .⇒ IJ / / BC .⇒ Đường thẳng BC có dạng : x – y + c = 0 ( c ≠ 3 )Mà điểm B thuộc BC nên : 2 – ( – 3 ) + c = 0 ⇔ c = – 5⇒ phương trình đường thẳng BC : x – y – 5 = 0

Câu 8: Cho tam giác ABC cân tại A có A(3 ; 2). Gọi M là trung điểm của BC và          M( -2 ; -4). Lập phương trình đường thẳng BC ?

A. 6 x – 5 y + 13 = 0 B. 5 x – 6 y + 6 = 0 C. 5 x + 6 y + 34 = 0 D. 5 x + 6 y + 1 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+ Do tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM đồng thời là đường cao⇒ AM vuông góc BC .

⇒ Đường thẳng BC nhận AM→( – 5; -6) = -(5; 6) làm VTPT

+ Đường thẳng BC :

⇒ Phương trình đường thẳng BC :5 ( x + 2 ) + 6 ( y + 4 ) = 0 hay 5 x + 6 y + 34 = 0

Câu 9: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d đi qua điểm M( -1; 2) và song song với trục Ox.

A. y + 2 = 0 B. x + 1 = 0 C. x – 1 = 0 D. y – 2 = 0
Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Trục Ox có phương trình y = 0Đường thẳng d song song với trục Ox có dạng : y + c = 0 ( c ≠ 0 )Vì đường thẳng d đi qua điểm M ( – 1 ; 2 ) nên 2 + c = 0 ⇔ c = – 2Vậy phương trình đường thẳng d cần tìm là : y – 2 = 0
Chuyên đề Toán 10 : rất đầy đủ triết lý và những dạng bài tập có đáp án khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại thông minh, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi không lấy phí trên mạng xã hội facebook và youtube :

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp