Cách Tính Tích Phân Đường Loại 1 : Tích Phân Đường Loại I, Một Số Bài Tập Về Tích Phân Loại 1 Và 2

Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào .Bạn đang xem : Cách tính tích phân đường loại 1

2, $\int_{L} y dx – (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x – x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ
3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 – sin t); y= a(1 – cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$
4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

#2

vo van duc2, USD \ int_ { L } y dx – ( y + x ^ { ^ { 2 } } ) dy USD ; L là cung parapol USD y = 2 x – x ^ 2 USD nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ3, USD \ int_ { L } ( 2 a – y ) dx + xdy USD ; L là đường USD x = a ( 1 – sin t ) ; y = a ( 1 – cost ) ; 0 \ leqslant t \ leqslant 2 \ pi ; a > 0 USD 4, USD I = \ int_ { L } xyz ds USD ; L là đường cung của đường cong USD x = t ; y = \ frac { 1 } { 3 } \ sqrt { 8 t ^ 3 } ; z = \ frac { 1 } { 2 } t ^ 2 USD giữa những điểm USD t = 0 ; t = 1 USD vo van ducThiếu úyĐiều hành viên Đại học
565 Bài viếtGiới tính : NamĐến từ : Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP TP HCMDù hơi bị bận rộn một chút ít nhưng tôi cũng nỗ lực lý giải giúp bạn một số ít ý chính ………………………………………………..

1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.

USD I = \ int_ { L } f ( x, y ) ds USDNếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x”(t))^{2}+(y”(t))^{2}}dt$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y”(x) \right )^{2}}dx$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left < a,b \right > \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x”(y) \right )^{2}+1}dx$Nếu USD L : \ left \ { \ begin { matrix } x = x ( t ) \ \ y = y ( t ) \ \ t \ in \ left < a, b \ right > \ end { matrix } \ right. USD thì USD I = \ int_ { a } ^ { b } f \ left ( x ( t ), y ( t ) \ right ). \ sqrt { ( x ” ( t ) ) ^ { 2 } + ( y ” ( t ) ) ^ { 2 } } dt USDVí dụ 1 :USD I_1 = \ int _ { AB } ( x-y ) ds USD với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A ( 0,0 ) và B ( 4,3 ) .Giải :Ta biết rằng USD f ( x, y ) = x-y USD và L là đoạn thẳng AB .Như tóm tắc kim chỉ nan đã nêu trên thì ta cần biết dạng màn biểu diễn ( phương trình màn biểu diễn ) của đoạn thẳng AB. Như trên thì ta có 3 cách màn biểu diễn của đoạn AB. Và ở đây tôi cũng xin làm theo cả ba cách để bạn hoàn toàn có thể chớp lấy tốt nó .

Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có :USD AB : \ left \ { \ begin { matrix } x = 4 t \ \ y = 3 t \ \ t \ in \ left < 0,1 \ right > \ end { matrix } \ right. USDKhi đóUSD I_1 = \ int_ { 0 } ^ { 1 } \ left < ( 4 t ) - ( 3 t ) \ right > \ sqrt { 4 ^ 2 + 3 ^ 2 } dt = 5 \ int_ { 0 } ^ { 1 } tdt = \ frac { 5 } { 2 } USD………………………………………Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra ? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại 1 số ít tác dụng để tất cả chúng ta tiện sử dụng .Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.Khi đó phương trình tham số đoạn AB là:$\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left < 0,1 \right > \end{matrix}\right.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là:$\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left < 0,2\pi \right > \end{matrix}\right.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $ A ( x_A, y_A ) USD và $ B ( x_B, y_B ) USD. Khi đó phương trình tham số đoạn AB là : USD \ left \ { \ begin { matrix } x = x_A + ( x_B-x_A ). t \ \ y = y_A + ( y_B-y_A ). t \ \ t \ in \ left < 0,1 \ right > \ end { matrix } \ right. USD Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn USD \ left ( C \ right ) USD có phương trình USD ( x-a ) ^ 2 + ( y-b ) ^ 2 = R USD. Khi đó phương trình tham số của USD \ left ( C \ right ) USD là : USD \ left \ { \ begin { matrix } x = a + R \ cos t \ \ y = b + R \ sin t \ \ t \ in \ left < 0,2 \ pi \ right > \ end { matrix } \ right. USD…………………………………………………

Cách 2:

Ta có phương trình đường thẳng AB là USD 3 x – 4 y = 0 USD. Từ đây suy ra USD y = \ frac { 3 } { 4 } x USD .Nhưng phương trình đoạn AB thì sao ?Đó là USD AB : \ left \ { \ begin { matrix } y = \ frac { 3 } { 4 } x \ \ x \ in \ left < 0,4 \ right > \ end { matrix } \ right. USDKhi đóUSD I_1 = \ int_ { 0 } ^ { 4 } \ left < x - \ left ( \ frac { 3 } { 4 } x \ right ) \ right > \ sqrt { 1 + \ left ( \ frac { 3 } { 4 } \ right ) ^ { 2 } } dx = \ frac { 5 } { 32 } \ int_ { 0 } ^ { 4 } xdx = \ frac { 5 } { 2 } USD

Cách3:

Giống như cách 2 ta cũng có USD \ left \ { \ begin { matrix } x = \ frac { 4 } { 3 } y \ \ y \ in \ left < 0,3 \ right > \ end { matrix } \ right. USDKhi đóUSD I_1 = \ int_ { 0 } ^ { 3 } \ left < \ left ( \ frac { 4 } { 3 } y \ right ) - y \ right > \ sqrt { \ left ( \ frac { 4 } { 3 } \ right ) ^ { 2 } + 1 } dy = \ frac { 5 } { 9 } \ int_ { 0 } ^ { 3 } ydy = \ frac { 5 } { 2 } USD

2) Tích phân đường loại 1 trong không gian

USD I = \ int_ { L } f ( x, y, z ) ds USDTa màn biểu diễn USD L : \ left \ { \ begin { matrix } x = x ( t ) \ \ y = y ( t ) \ \ z = z ( t ) \ \ t \ in \ left < a, b \ right > \ end { matrix } \ right. USDKhi đó USD I = \ int_ { a } ^ { b } f \ left ( x ( t ), y ( t ), z ( t ) \ right ) \ sqrt { \ left ( x ” ( t ) \ right ) ^ { 2 } + \ left ( y ” ( t ) \ right ) ^ { 2 } + \ left ( z ” ( t ) \ right ) ^ { 2 } } dt USDVí dụ 2 : Câu 4 của bạn .USD I_2 = \ int_ { L } xyzds USD với USD L : \ left \ { \ begin { matrix } x = t \ \ y = \ frac { 1 } { 3 } \ sqrt { 8 t ^ { 3 } } \ \ z = \ frac { t ^ { 2 } } { 2 } \ \ t \ in \ left < 0,1 \ right > \ end { matrix } \ right. USDKhi đó

USD I_2 = \ int_ { 0 } ^ { 1 } t. \ frac { 1 } { 3 } \ sqrt { 8 t ^ { 3 } }. \ frac { t ^ { 2 } } { 2 }. \ sqrt { 1 ^ 2 + \ left ( \ sqrt { 2 t } \ right ) ^ { 2 } + t ^ { 2 } }. dt USDUSD = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 3 } \ int_ { 0 } ^ { 1 } t ^ { \ frac { 9 } { 2 } } \ sqrt { 1 + 2 t + t ^ 2 }. dt = \ frac { \ sqrt { 2 } } { 3 } \ int_ { 0 } ^ { 1 } t ^ { \ frac { 9 } { 2 } } ( 1 + t ) dt = \ frac { 16 \ sqrt { 2 } } { 143 } USD

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Tin Tức