Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng cơ bản – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) .
+ Vectơ chỉ phương của đường thẳng d cùng phương với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( α ) vì d và bottom ( α )
+ Áp dụng cách viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm biết vecto chỉ phương của đường thẳng đó .
Chú ý : Các trường hợp đặc biệt quan trọng .

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxy) thì có VTCP là uΔ→ = k→ = (0;0;1).

+ Nếu Δ vuông góc với mặt phẳng (Oxz) thì có VTCP là uΔ→ = j→ =(0;1;0) .

+Nếu Δvuông góc với mặt phẳng (Oyz) thì có VTCP là uΔ→ = i→ =(1;0;0) .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng Δ đi qua A(1;0; -1) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x – y + z + 9 = 0. Tìm mệnh đề đúng?

A. Vậy phương trình tham số của Δ là:

B. Phương trình chính tắc của Δ là:

C. Vậy phương trình tham số của Δ là:

D. Phương trình chính tắc của Δ là:

Hướng dẫn giải

Vì đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng ( α ) nên vectơ chỉ phương của Δ là :

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Phương trình chính tắc của Δ là :

Chọn A .

Quảng cáo

Ví dụ 2:Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua M (1; 3; -2) và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Tìm mệnh đề sai?

A. phương trình tham số của Δ là:

B. Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .
C. Điểm H ( 1 ; 3 ; 4 ) thuộc đường thẳng d
D. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) : 2 x + 3 y + z = 0 .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (Oxy) có phương trình z= 0 nên có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( Oxy ) nên vectơ chỉ phương của d là :

Vậy phương trình tham số của Δ là:
và đường thẳng d không có phương trình chính tắc

Cho t = 6 ta được điểm H ( 1 ; 3 ; 4 ) thuộc đường thẳng d .

Mặt phẳng (P): 2x+ 3y + z= 0 có vecto pháp tuyến là :

Ta có:

=> Đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) không vuông góc với nhau .
Chọn D.

Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng d đi qua A(1;2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (P): 2x +2y + z + 2018 = 0. Tìm mệnh đề sai?

A. Vậy phương trình tham số của d là:

B. Phương trình chính tắc của d là:

C. Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

D. Điểm M ( 3 ; 4 ; 4 ) thuộc đường thẳng d .

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến là

Vì đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( P ) nên vectơ chỉ phương của d là :

Vậy phương trình tham số của d là:

Cho t = 1 ta được điểm M ( 3 ; 4 ; 4 ) thuộc đường thẳng d
Phương trình chính tắc của d là :

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P): x- 2y = 5z + 10. Phương trình chính tắc của của đường thẳng d đi qua điểm M( -2; 1; 3) và vuông góc với (P) là:

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Phương trình mặt phẳng ( P ) : x – 2 y = 5 z + 10 hay x – 2 y – 5 z – 10 = 0

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến

+ Vì d vuông góc với (P) nên d có vectơ chỉ phương u→=

Đường thẳng d đi qua điểm M( -2;1 ;3) và có vectơ chỉ phương

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn A .

Ví dụ 5:Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz;cho mặt phẳng (P):2x- 3y+ 5z= 0. Gọi (Q) là mặt phẳng song song với (P). Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua O và vuông góc với ( Q) là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Do mặt phẳng ( Q ) song song với ( P ) nên mặt phẳng ( Q ) có dạng : 2 x – 3 y + 5 z + D = 0

Khi đó; mặt phẳng (Q) nhận vecto
làm vecto pháp tuyến.

Vì d vuông góc với (Q) nên d có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương
nên phương trình
tham số của d là:

Chọn B .

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A( 2;0; 0); B( 0; -2; 0) và C(0; 0; 3). Một đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình tham số là :

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (P) là:
hay 3x- 3y+2z – 6= 0

Mặt phẳng ( P) nhận vecto
làm vecto pháp tuyến.

+ Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A.

Ví dụ 7 . Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(2; 0; 0) và song song với đường thẳng
. Một đường thẳng Δ đi qua M( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

Đường thẳng d đi qua điểm H( 1; -3; 1) và có vecto chỉ phương

Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M ( -2; 1; 0) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C .

Ví du 8: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Hướng dẫn giải

+ Viết phương trình mặt phẳng (P)

Đường thẳng d1 đi qua A( 0; 2;0) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d2 đi qua B( -2; 2; 0) và có vecto chỉ phương

=>
và

=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau
Mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 0 ; 2 ; 0 ) và có vecto pháp tuyến là : ( 0 ; 4 ; 1 ) nên có phương trình : 0 ( x – 0 ) + 4 ( y-2 ) + 1 ( z – 0 ) = 0 hay 4 y + z – 8 = 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Chọn D .

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm
A ( 2 ; – 1 ; – 4 ) và vuông góc với mặt phẳng ( Oxz ) là .

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Mặt phẳng ( Oxz) có phương trình là: y= 0 nên có vectơ pháp tuyến .

Vì d vuông góc với (Oxz) nên d có vectơ chỉ phương u→ =

Đường thẳng d đi qua điểm A( 2; -1; -4) và có vectơ chỉ phương u→

Vậy phương trình tham số của d là

Chọn C .

Câu 2:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho tam giác ABC có A ( 0 ; 2 ; – 1 ) ; B ( 2 ; – 3 ; 1 ) và C ( 1 ; – 2 ; 0 ). Phương trình tham số d đi qua trọng tâm của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là :

Ta có:

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng

chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn A .

Câu 3:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho hai điểm A ( 2 ; 3 ; 2 ) và B ( – 2 ; 3 ; 4 ). Phương trình d đi qua trọng tâm của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( OAB ) là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
Gọi Glà trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là :

Ta có;

Suy ra một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (OAB) là

chọn

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng ( OAB) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn B .

Câu 4:

Trong khoảng trống với hệ tọa độ Oxyz ; cho tam giác ABC có A ( 1 ; 2 ; 1 ) ; B ( 0 ; – 1 ; 2 ) và C ( 2 ; 3 ; 0 ). Đường thẳng d đi qua điểm B và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ). Phương trình nào sau đây là phương trình của đường thẳng d .

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Ta có:

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là :

Do đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz ; phương trình đường thẳng d đi qua điểm A( -2 ; 1 ; 9) đồng thời vuông góc với giá của hai vectơ
là

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải

Do đường thẳng d đồng thời vuông góc với giá của hai vecto

Nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là:

Chọn D .

Câu 6:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; mặt phẳng (P) đi qua điểm
A(-1;0;1)và song song với đường thẳng
. Một đường thẳng Δ đi qua
M (2; 1; 3) vàvuông góc với mặt phẳng (P).Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ

A.

B.

C.

D.

Hiển thị lời giải
+ Tìm vecto pháp tuyến của mặt phẳng ( P )

Đường thẳng d đi qua điểm H( 0; -3; 0) và có vecto chỉ phương

Vecto

+ Do mặt phẳng (P) đi qua A và song song với d nên một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

+ Do đường thẳng Δ đi qua M (2;1 ; 3) và vuông góc với mặt phẳng(P) nên đường thẳng Δ nhận vecto
làm vecto chỉ phương

=> PHương trình tham số của đường thẳng Δ là:

Chọn C .

Câu 7:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz; cho đường thẳng
và
. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 và d2. Gọi d là đường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P). Tìm mệnh đề sai?

A. Phương trình mặt phẳng ( P ) : – 10 x + 8 y + 9 z – 4 = 0

B. Phương trình tham số của đường thẳng d:

C. PHương trình chính tăc của đường thẳng d:

D. đường thẳng d không có phương trình chính tắc
Hiển thị lời giải
+ Viết phương trình mặt phẳng ( P )

Đường thẳng d1 đi qua A( 3;2; 2) và có vecto chỉ phương

Đường thẳng d2 đi qua B( -2; – 2; 0) và có vecto chỉ phương

=>

=> Hai đường thẳng d1 và d2 song song với nhau
Mặt phẳng ( P ) đi qua A ( 3 ; 2 ; 2 ) và có vecto pháp tuyến là : ( – 10 ; 8 ; 9 ) nên có phương trình : – 10 ( x – 3 ) + 8 ( y-2 ) + 9 ( z – 2 ) = 0 hay – 10 x + 8 y + 9 z – 4 = 0

+ Do đường thẳng d đi qua O và vuông góc với mặt phẳng (P) nên đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

=> Đường thẳng d có phương trình chính tắc :

Đường thẳng d có phương trình tham số:

Chọn D .

Câu 8:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) chứa trục Ox và đi qua điểm A ( 2 ; 3 ; 1 ). Gọi d là đường thẳng qua M ( – 2 ; 0 ; 1 ) và vuông góc với mặt phẳng ( P ). Tìm mệnh đề sai

A. Phương trình tham số đường thẳng (d):

B. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là :

C. Phương trình chính tắc của đường thẳng d là :

D. Phương trình mặt phẳng ( P ) là : – y + 3 z = 0
Hiển thị lời giải

+ Trục Ox đi qua điểm O (0; 0; 0)và nhận vecto
làm vecto chỉ phương

Ta có:

=> Một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:

Mặt phẳng ( P) đi qua A( 2; 3; 1 ) và vecto pháp tuyến là:

=> Phương trình mặt phẳng ( P ) là : 0 ( x – 2 ) – 1 ( y – 3 ) + 3 ( z-1 ) = 0 hay – y + 3 z = 0
+ Do đường thẳng d đi qua M ( – 2 ; 0 ; 1 ) và vuông góc với ( P ) nên nhận vecto ( 0 ; – 1 ; 3 ) làm vecto chỉ phương

=> Phương trình tham số của đường thẳng d:

Đường thẳng d không có phương trình chính tắc .
Chọn D.

Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp