Dưới đây là file tổng hợp lý thuyết áp dụng cho bài tập phương trình mũ và logarit. Các em nhớ tải về để ôn tập nhanh hơn nhé!
Bạn đang đọc: Tổng hợp bài tập phương trình mũ và logarit
Tải xuống file tổng hợp lý thuyết phương trình mũ và logarit
Tóm tắt nội dung bài viết
- 1. Ôn tập lý thuyết về phương trình mũ và logarit
- 1.1. Lý thuyết phương trình mũ
- 1.2. Lý thuyết phương trình logarit
- 2. Các dạng bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp
- 2.1. Các dạng bài tập phương trình mũ kèm ví dụ minh hoạ
- 2.2. Các dạng bài tập phương trình logarit kèm ví dụ minh hoạ
- 3. Bài tập phương trình mũ và logarit luyện tập
1. Ôn tập lý thuyết về phương trình mũ và logarit
1.1. Lý thuyết phương trình mũ
Về định nghĩa :
Hiểu đơn thuần, phương trình mũ là dạng phương trình 2 vế trong đó có chứa biểu thức mũ .
Theo định nghĩa đã được học trong những bài tập phương trình mũ và logarit, ta có định nghĩa và dạng tổng quát chung của toán 12 phương trình mũ như sau :
Phương trình mũ có dạng $a^x=b$ với a,b cho trước và $0
Phương trình mũ có nghiệm khi :
- Với USD b > 0 USD : USD a ^ x = b \ Rightarrow x = log_ab USD
- Với USD b \ leq 0 USD : phương trình mũ vô nghiệm
Các công thức phương trình mũ cơ bản cần nhớ :
Để giải phương trình mũ vận dụng trong những bài tập phương trình mũ và logarit, những em cần ghi nhớ những công thức cơ bản của số mũ ship hàng vận dụng trong những bước đổi khác. Công thức mũ cơ bản được tổng hợp trong bảng sau :
Ngoài ra, những đặc thù của số mũ trong bài tập phương trình mũ và logarit cũng là một phần kỹ năng và kiến thức cần nhớ. Tổng hợp đặc thù của số mũ được VUIHOC liệt kê theo bảng dưới đây :
1.2. Lý thuyết phương trình logarit
Về định nghĩa :
Với cơ số $ a $ dương và khác 1 thì phương trình có dạng như sau được gọi là phương trình logarit cơ bản : USD log_ax = b USD
Ta thấy vế trái của phương trình là hàm đơn điệu có miền giá trị là $ \ mathbb { R } USD. Vế phải phương trình là một hàm hằng. Vì vậy phương trình logarit cơ bản luôn có nghiệm duy nhất. Theo định nghĩa của logarit ta thuận tiện suy ra nghiệm đó là USD x = a ^ b USD
Với điều kiện 0
2. Các dạng bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp
2.1. Các dạng bài tập phương trình mũ kèm ví dụ minh hoạ
Dạng 1: Dạng toán đưa về cùng cơ số
Ở chiêu thức giải phương trình mũ này, ta cần đổi khác theo công thức sau để đưa về cùng cơ số :
Với USD a > 0 $ và a ≠ 1 ta có $ a ^ { f ( x ) } = a ^ { g ( x ) } \ Rightarrowf ( x ) = g ( x ) USD
Ta cùng xét ví dụ sau đây để hiểu rõ cách giải bài tập phương trình mũ và logarit đưa về cùng cơ số này :
Dạng 2: Dạng toán đặt ẩn phụ
Đây là chiêu thức giải bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp trong những đề thi. Chúng ta thường sử dụng 1 ẩn phụ để chuyển phương trình mũ bắt đầu thành 1 phương trình với 1 ẩn phụ. Khi sử dụng cách giải phương trình mũ này, ta cần triển khai theo những bước sau :
-
Bước 1: Đưa phương trình mũ về dạng ẩn phụ quen thuộc
-
Bước 2: Đặt ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện cho ẩn phụ
-
Bước 3: Giải phương trình mũ với ẩn phụ mới và tìm nghiệm thỏa mãn điều kiện
-
Bước 4: Thay giá trị t tìm được vào giải phương trình mũ cơ bản
-
Bước 5: Kết luận
Các phép ẩn phụ giải bài tập phương trình mũ và logarit thường gặp như sau :
Dạng 1: Các số hạn trong phương trình mũ có thể biểu diễn qua $a^{f(x)}$ nên ta đặt $t=a^{f(x)}$
Lưu ý trong loại này ta còn gặp 1 số ít bài mà sau khi đặt ẩn phụ ta thu được 1 phương trình vẫn chứa x. Khi đó, ta gọi đó là những bài toán đặt ẩn phụ không trọn vẹn .
Dạng 2: Phương trình mũ đẳng cấp bậc $n$ đối với $a^{nf(x)}$ và $b^{nf(x)}$
Với chiêu thức giải bài tập phương trình mũ và logarit này, ta sẽ chia cả 2 vế của phương trình mũ cho $ a ^ { nf ( x ) } $ hoặc USD b ^ { nf ( x ) } $ với n là số tự nhiên lớn nhất có trong phương trình mũ. Sau khi chia ta sẽ đưa được phương trình mũ về dạng 1 .
Dạng 3: Trong phương trình có chứa 2 cơ số nghịch đảo
- Loại 1 : USD A.a ^ { f ( x ) } + B.b ^ { f ( x ) } + C = 0 $ với USD a. b = 1 USD
=> Đặt ẩn phụ $ t = a ^ { f ( x ) } \ Rightarrowb ^ { f ( x ) } = \ frac { 1 } { t } $
- Loại 2 : USD A.a ^ { f ( x ) } + B.b ^ { f ( x ) } + C = 0 $ với USD a. b = c ^ 2 USD
=> Chia 2 vế của phương trình mũ cho c ^ { f ( x ) } và đưa về dạng 1 .
Ta cùng xét những ví dụ sau để hiểu rõ hơn về cách đặt ẩn phụ giải phương trình mũ nhé !
Dạng 3: Logarit hoá
Trong một số ít trường hợp, tất cả chúng ta không hề giải bài tập phương trình mũ và logarit bằng cách đưa về cùng cơ số hoặc dùng ẩn phụ được. Khi đó, những em cần lấy logarit 2 vế theo cùng một cơ số thích hợp nào đó để đưa về dạng phương trình mũ cơ bản. Phương pháp giải bài tập phương trình mũ và logarit này được gọi là logarit hoá .
Dấu hiệu phân biệt bài toán phương trình mũ vận dụng chiêu thức logarit hóa : Phương trình loại này thường có dạng $ a ^ { f ( x ) }. b ^ { g ( x ) }. c ^ { h ( x ) } = d USD ( tức là trong phương trình có chứa nhiều cơ số khác nhau và số mũ cũng khác nhau ). Khi đó, những em hoàn toàn có thể lấy logarit 2 vế theo cơ số $ a $ ( hoặc USD b USD, hoặc USD c USD ) .
Các công thức logarit hoá phương trình mũ như sau :
Sau đây, những em cùng theo dõi ví dụ minh hoạ :
Dạng 4: Sử dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình mũ
Để sử dụng tính đơn điệu vào trong cách giải bài tập phương trình mũ và logarit, ta cần nắm vững cách khảo sát hàm số mũ như sau :
-
Tập xác định của hàm số mũ $y=a^x (0
-
Chiều biến thiên :
- USD a > 1 USD : Hàm số luôn đồng biến
-
$0
- Tiệm cận : Trục hoành $ Ox $ là đường tiệm cận ngang
- Đồ thị : Đi qua điểm USD ( 0 ; 1 ), ( 1 ; a ) USD và nằm phía trên trục hoành .
Để giải theo chiêu thức giải phương trình mũ này, ta cần làm theo những bước sau đây :
Hướng 1:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $ f ( x ) = k USD .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $ f ( x ) USD trên D. Khẳng định hàm số đơn điệu
• Bước 3. Nhận xét :
+ Với USD x = x_0 $ ⇔ $ f ( x ) = f ( x_0 ) = k USD do đó USD x = x_0 USD là nghiệm .
+ Với USD x > x_0 $ ⇔ $ f ( x ) > f ( x_0 ) = k USD do đó phương trình vô nghiệm .
+ Với $x
• Bước 4. Kết luận vậy USD x = x_0 USD là nghiệm duy nhất của phương trình .
Hướng 2:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $ f ( x ) = g ( x ) USD .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số USD y = f ( x ) USD và $ y = g ( x ) USD. Khẳng định hàm số USD y = f ( x ) USD là hàm số đồng biến còn y = g ( x ) là hàm số nghịch biến hoặc là hàm hằng .
• Bước 3. Xác định USD x_0 USD sao cho $ f ( x_0 ) = g ( x_0 ) USD .
• Bước 4. Kết luận vậy USD x = x_0 USD là nghiệm duy nhất của phương trình .
Hướng 3:
• Bước 1. Chuyển phương trình về dạng $ f ( u ) = f ( v ) USD .
• Bước 2. Khảo sát sự biến thiên của hàm số USD y = f ( x ) USD. Khẳng định hàm số đơn điệu .
• Bước 3. Khi đó USD f ( u ) = f ( v ) $ ⇔ $ u = v USD .
Ta xét những ví dụ sau giải bài tập phương trình mũ và logarit sử dụng tính đơn điệu :
Dạng 5: Giải phương trình mũ có chứa tham số
Với phương trình có chứa tham số : USD f ( x ; m ) = g ( m ) USD, tất cả chúng ta thực thi những bước sau :
Bước 1 : Lập luận số nghiệm của ( 1 ) là số giao điểm của đồ thị hàm số ( C ) : USD y = f ( x ; m ) USD và đường thẳng ( d ) : USD y = g ( m ) USD
Bước 2 : Xét hàm số USD y = f ( x ; m ) USD
- Tìm miền xác lập D
- Tính đạo hàm USD y ’ $ rồi giải phương trình USD y ’ = 0 USD
- Lập bảng biến thiên của hàm số
Bước 3 : Kết luận :
- Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi minf ( x ; m ) nhỏ hơn hoặc bằng g ( m ) nhỏ hơn hoặc bằng $ maxf ( x ; m ) $ $ ( x \ in \ mathbb { R } ) USD
- Phương trình có k nghiệm phân biệt khi và chỉ khi ( d ) cắt ( C ) tại K điểm phân biệt .
- Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi ( d ) giao ( C ) bằng rỗng
Ta cùng xét ví dụ sau đây :
2.2. Các dạng bài tập phương trình logarit kèm ví dụ minh hoạ
Dạng 1: Phương pháp đưa về cùng cơ số
Một chú ý quan tâm nhỏ cho những em đó là trong quy trình biến hóa để tìm ra cách giải bài tập phương trình mũ và logarit, tất cả chúng ta thường quên việc trấn áp miền xác lập của phương trình. Vì vậy để cho bảo đảm an toàn thì ngoài phương trình logarit cũng như những bài tập phương trình mũ và logarit cơ bản, những bạn nên đặt điều kiện kèm theo xác lập cho phương trình trước khi biến hóa .
Phương pháp giải dạng toán này như sau :
- Trường hợp 1 : $ log_af ( x ) = b \ Rightarrow f ( x ) = a ^ b USD .
- Trường hợp 2 : $ log_af ( x ) = log_ag ( x ) \ Rightarrow f ( x ) = g ( x ) USD .
Ta cùng xét ví dụ sau để rõ hơn về cách giải bài tập phương trình mũ và logarit bằng cách đưa về cùng cơ số :
Dạng 2: Phương pháp đặt ẩn phụ
Ở cách giải phương trình logarit này, khi đặt ẩn phụ, tất cả chúng ta cần quan tâm xem miền giá trị của ẩn phụ để đặt điều kiện kèm theo cho ẩn phụ hoặc không. Ta có công thức tổng quát như sau :
Phương trình dạng : $ Q [ log_af ( x ) ] = 0 -> Đặt t = log_ax ( x \ in \ mathbb { R } ) USD
Các em cùng VUIHOC xét ví dụ sau đây :
Dạng 3: Giải phương trình logarit bằng phương pháp mũ hoá
Bản chất của việc giải phương trình logarit cơ bản ( ở trên ) cũng là mũ hóa 2 vế với cơ số a. Trong 1 số trường hợp, phương trình có cả loga có cả mũ thì ta hoàn toàn có thể thử vận dụng mũ hóa 2 vế để giải .
Phương trình $log_af(x)=log_bg(x) (0
Ta đặt $ log_af ( x ) = log_bg ( x ) = t USD => Hoặc $ f ( x ) = a ^ t USD hoặc USD g ( x ) = b ^ t USD
=> Đưa về dạng phương trình ẩn t .
Dạng 4: Dùng đồ thị giải phương trình logarit
Giải phương trình: $log_ax=f(x) (0
-
Bước 1: Vẽ đồ thị các hàm số: $y=log_ax$ $(0
- Bước 2 : Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị
Ta có ví dụ minh hoạ về chiêu thức giải bài tập phương trình mũ và logarit này như sau :
3. Bài tập phương trình mũ và logarit luyện tập
Để thành thạo tổng thể những dạng bài tập phương trình mũ và logarit, VUIHOC gửi Tặng những em file tổng hợp bài tập phương trình mũ và logarit tinh lọc từ những đề luyện thi ĐH được thầy cô VUIHOC nhìn nhận cao chất lượng. Đừng quên tải về nhé !
Tải xuống file bài tập phương trình mũ và logarit có giải chi tiết
Các em đã cùng VUIHOC tổng kết lại toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập phương trình mũ và logarit. Chúc các em luôn đạt điểm cao nhé!
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận