Phương trình mặt cầu: Lý thuyết, cách viết và các dạng bài tập

Khi học về hình học trong chương trình toán 12 kỹ năng và kiến thức về phương trình mặt cầu luôn được nhấn mạnh vấn đề là phần cơ bản và rất quan trọng. Do đó, các câu hỏi về dạng toán này luôn luôn Open trong các đề thi THPTQG. Cùng VUIHOC ôn lại triết lý, cách viết và các dạng bài tập phương trình mặt cầu cơ bản nhé !

Tóm tắt nội dung bài viết

1. Mặt cầu là gì ?
2. Phương trình mặt cầu trong khoảng trống có mấy dạng ?
2.1. Phương trình mặt cầu dạng tổng quát
2.2. Phương trình mặt cầu chính tắc
3. Cách viết phương trình mặt cầu dễ hiểu nhất
3.1. Phương trình mặt cầu và mặt phẳng
3.2. Phương trình mặt cầu ở vị trí tiếp xúc với đường thẳng
4. Tổng hợp các giải pháp giải bài tập về phương trình mặt cầu
4.1. Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính
4.2. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và 1 điểm
4.3. Dạng 3 : Tìm dạng tổng quát của phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
4.4. Dạng 4: Từ 4 điểm OABC viết phương trình mặt cầu
4.5. Dạng 5: Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm
4.6. Dạng 6: Cho 2 điểm viết phương trình mặt cầu
4.7. Dạng 7: Tìm điều kiện, tìm giá trị m để phương trình là mặt cầu

1. Mặt cầu là gì ?

Trước khi đi vào cụ thể triết lý phương trình mặt cầu trong khoảng trống, học viên cần nắm vững định nghĩa mặt cầu thứ nhất. Theo chương trình hình học trung học phổ thông, mặt cầu được định nghĩa là tập hợp các điểm cách đều một khoảng chừng không đổi một điểm cho trước. Khoảng cách cố định và thắt chặt đó được gọi là nửa đường kính. Tâm mặt cầu là điểm cho trước .
Ngoài ra, mặt cầu còn được định nghĩa theo mặt tròn xoay, khi đó mặt cầu chính là mặt tròn xoay khi quay đường tròn quanh một đường kính .

Xem Thêm 94+ Từ vựng tiếng Anh chuyên ngành bất động sản | http://wp.ftn61.com

2. Phương trình mặt cầu trong khoảng trống có mấy dạng ?

2.1. Phương trình mặt cầu dạng tổng quát

Cho không gian Oxyz có mặt cầu S thỏa mãn điều kiện:

Bạn đang đọc: Phương trình mặt cầu: Lý thuyết, cách viết và các dạng bài tập

$a^{2} + b^{2} + c^{2} - d > 0″ src=”https://latex.codecogs.com/gif.latex?a%5E%7B2%7D%20+%20b%5E%7B2%7D%20+%20c%5E%7B2%7D%20-%20d%20%3E%200″/>. Ta có phương trình cơ bản của (S) như sau: 0″ src=”https://latex.codecogs.com/gif.latex?x%5E%7B2%7D%20+%20y%5E%7B2%7D%20+%20z%5E%7B2%7D%20-%202ax%20-%202by%20-2cz%20+%20d%20%3E%200″/> (1) <p dir=$ Từ phương trình cơ bản, ta có công thức tính bán kính của (S) như sau:
$R= \sqrt{a^{2 }+ b^{^{2}}+c^{2} - d}$

2.2. Phương trình mặt cầu chính tắc

Ngoài ra, khi biết nửa đường kính R, tâm I ( a ; b ; c ) thì mặt cầu S trong khoảng trống Oxyz có phương trình chính tắc như sau :

$(x - a)^{2} + (x - b)^{2} + (z - c)^{^{2}} = R^{2}$

3. Cách viết phương trình mặt cầu dễ hiểu nhất

3.1. Phương trình mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu :

$(S): (x -a)^{2} + (y - b)^{2} + (z - c)^{2} = R$ có tâm I(a;b;c) và R là bán kính

$(S): x^{2} + y^{^{2}} + z^{2} - 2ax - 2by - 2cz +d = 0$ tâm I (a;b;c)

$R= \sqrt{a^{2}+ b^{2} + c^{^{2}} - d}$ là bán kính.

Ta có công thức tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng để xét vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu :

$d (I, (P)) =\frac{\left | A.a+B.b+C.c+D \right |}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}$

3.2. Phương trình mặt cầu ở vị trí tiếp xúc với đường thẳng

Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu
d ( I, ( P ) ) = R và mặt phẳng ( P ) đồng thời là tiếp diện của mặt cầu. Khi đó, tọa độ hình chiếu của mặt cầu và mặt phẳng là điểm tiếp xúc H của mặt cầu và mặt phẳng, kí hiệu là vector IH ( vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ( P ) ) .

4. Tổng hợp các giải pháp giải bài tập về phương trình mặt cầu

4.1. Dạng 1: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và bán kính

Các bước giải phương trình mặt cầu tổng quát :
Cách 1 : Viết phương trình mặt cầu dạng chính tắc

Bước 1 : Xác định tâm O ( a ; b ; c )
Bước 2 : Tìm nửa đường kính của ( S ) là R
Bước 3 : Mặt cầu ( S ) có tâm O ( a ; b ; c ) và nửa đường kính R có dạng phương trình :

$(S): (x - a)^{2} + (y - b)^{2} + (z -c)^{2} = R^{2}$

Cách 2 : Cách viết phương trình mặt cầu dưới dạng tổng quát

Bước 1: Phương trình $(S): x^{2} + y^{2}+z^{^{2}} - 2ax - 2by - 2zc +d = 0$
Bước 2: Với $a^{^{2}} + b^{2} + c^{2} > 0″ src=”https://latex.codecogs.com/gif.latex?a%5E%7B%5E%7B2%7D%7D%20+%20b%5E%7B2%7D%20+%20c%5E%7B2%7D%20%3E%200″/> khi phương trình (S) hoàn toàn xác định. </li> </ul> Chúng ta cùng xét ví dụ minh họa sau đây để hiểu hơn về giải pháp giải bài toán viết phương trình mặt cầu khi biết tâm và nửa đường kính . Ví dụ : Cho đường kính AB, A ( 2 ; 1 ; 3 ) và B ( 0 ; – 3 ; 1 ). Tìm dạng công thức phương trình mặt cầu ? <div style=$
Xem Thêm Cơm chay bao nhiêu calo? Ăn cơm chay có béo không?

Giải :

4.2. Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm và 1 điểm

Đối với dạng bài này, ta thuận tiện tính được nửa đường kính của mặt cầu bằng cách tính độ dài vector từ tâm cho đến điểm mà mặt cầu đi qua. Sau đó, ta vận dụng cách giải như dạng 1 .
Ví dụ minh họa : Cho phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 2 ; – 3 ) và đi qua điểm A ( 1 ; 0 ; 4 ). Viết phương trình mặt cầu ( S ) đó ?
Giải :

4.3. Dạng 3 : Tìm dạng tổng quát của phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

Phương pháp giải:

Xem thêm: Tại sao đọc truyện cổ tích tiếng anh là phương pháp được lựa chọn?

Bước 1 : Gọi I ( x ; y ; z ) là tâm của mặt cầu ( S )
Bước 2 : Lập luận do mặt cầu đề bài có đặc thù là ngoại tiếp tứ diện ABCD, nên IA = IB = IC = ID

Bước 3 : Kết luận tọa độ điểm I, từ đó suy ra độ dài nửa đường kính và đưa về dạng 1 cơ bản .
Để hiểu hơn, các em học viên cùng xem xét ví dụ minh họa sau đây :
Ví dụ : Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết tọa độ 3 điểm A ( 6 ; – 2 ; 3 ), B ( 0 ; 1 ; 6 ), C ( 2 ; 0 ; – 1 ), D ( 4 ; 1 ; 0 ) .
Giải :

4.4. Dạng 4: Từ 4 điểm OABC viết phương trình mặt cầu

Dạng toán này còn có biến thể khác về đề bài đó là : Viết phương trình mặt cầu ( S ) qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) cho trước .
Các bước giải như sau :
Bước 1 : Gọi tâm mặt cầu I ( a, b, c ) thuộc mặt phẳng ( P )
Bước 2 : Lập hệ phương trình

Bước 3 : Giải hệ phương trình đã lập ở bước 2, sau đó thay vào 1 trong 2 phương trình để tìm nửa đường kính mặt cầu .
Các em học viên cùng VUIHOC xét ví dụ minh họa sau đây :
Ví dụ : Cho 3 điểm A ( 2 ; 0 ; 1 ), B ( 1 ; 0 ; 0 ), C ( 1 ; 1 ; 1 ). Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm thuộc mặt phẳng ( P ) : x + y + z-2 = 0 .
Giải :

Xem Thêm Kẹo Play More bao nhiêu calo? Công dụng của kẹo Play More

4.5. Dạng 5: Phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm

Ở dạng bài viết phương trình mặt cầu khi biết 4 điểm mà mặt cầu đó đi qua, tất cả chúng ta sử dụng giải pháp lập hệ phương trình 4 ẩn giống dạng 4 để thực thi giải phương trình .
Ví dụ minh họa : Cho 4 điểm A ( 2 ; 0 ; 0 ), B ( 1 ; 3 ; 0 ), C ( – 1 ; 0 ; 3 ), D ( 1 ; 2 ; 3 ) đều đi qua mặt cầu ( S ). Bán kính R của mặt cầu ( S ) là bao nhiêu ?
Giải :

4.6. Dạng 6: Cho 2 điểm viết phương trình mặt cầu

Dạng toán này tựa như với dạng viết phương trình mặt cầu ( S ) có đường kính AB cho trước. Phương pháp giải dạng toán này đơn cử như sau :
Bước 1 : Tìm trung điểm AB, tâm I trung điểm của AB chính là tâm của mặt cầu
Bước 2 : Tính IA = R
Bước 3 : Đưa về dạng 1 giải rồi Kết luận
Bài tập ví dụ minh họa : Viết phương trình mặt cầu đường kính AB khi biết 2 điểm A ( – 2 ; 1 ; 0 ) và B ( 2 ; 3 ; – 2 ) .
Giải :

4.7. Dạng 7: Tìm điều kiện, tìm giá trị m để phương trình là mặt cầu

Nhìn chung, đây là dạng toán phương trình mặt cầu nâng cao so với các dạng bài tập thường thì khác. Ở dạng này, học viên vận dụng các điều kiện kèm theo và đặc thù phân biệt phương trình mặt cầu như để giải

Ví dụ minh họa: Trong không gian Oxyz, tìm m để $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y + 4z + m =0$ là một phương trình mặt cầu.

Giải:

Xem thêm: Nước Úc Tiếng Anh Là Gì – Nước Úc Trong Tiếng Anh Là Gì

Bài viết trên đã tổng hợp hàng loạt triết lý cũng như các dạng toán thường gặp về phương trình mặt cầu. Hy vọng các em học viên sẽ tiếp thu và bổ trợ thêm những phần kiến thức và kỹ năng về mặt cầu còn thiếu và giải bài tập thành thạo hơn. Truy cập ngay Vuihoc. vn để ĐK thông tin tài khoản hoặc liên hệ TT tương hỗ để ôn tập nhiều hơn về các dạng toán 12 nhé !