1. Phương pháp giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩn
Giải và biện luận phương trình dạng $ax + b = 0:$
• Nếu $a\ne 0$, ta có: $ax + b = 0$ $\Leftrightarrow x=-\frac{b}{a}$, do đó phương trình có nghiệm duy nhất $x=-\frac{b}{a}.$
• Nếu $a=0$: phương trình $ax + b = 0$ trở thành $0x+b=0$, khi đó:
+ Trường hợp 1: Với $b=0$ phương trình $ax + b = 0$ nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Trường hợp 2: Với $b\ne 0$ phương trình $ax + b = 0$ vô nghiệm.
Chú ý:
+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
a=b=0 \\
\end{matrix} \right.$
+ Phương trình $ax+b=0$ vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$
+ Phương trình $ax+b=0$ có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0.$
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số:
a) $\left( {m – 1} \right)x + 2 – m = 0.$
b) $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3.$
c) ${(m + 1)^2}x$ $ = (3m + 7)x + 2 + m.$
a) Phương trình tương đương với $\left( {m – 1} \right)x = m – 2.$
+ Với $m – 1 = 0$ $ \Leftrightarrow m = 1:$ phương trình trở thành $0x = – 1$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Với $m – 1 \ne 0$ $ \Leftrightarrow m \ne 1:$ phương trình tương đương với $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$
Kết luận:
+ Nếu $m = 1$, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $m \ne 1$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = \frac{{m – 2}}{{m – 1}}.$
b) Ta có: $m\left( {mx – 1} \right) = 9x + 3$ $ \Leftrightarrow \left( {{m^2} – 9} \right)x = m + 3.$
Với ${m^2} – 9 = 0$ $ \Leftrightarrow m = \pm 3:$
+ Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=6$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi $m=-3$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
Với ${{m}^{2}}-9\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \pm 3$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+3}{{{m}^{2}}-9}=\frac{1}{m-3}$.
Kết luận:
+ Với $m=3$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=-3$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $m\ne \pm 3$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$
c) Phương trình tương đương với $\left[ {{(m+1)}^{2}}-3m-7 \right]x=2+m$ $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m-6 \right)x=2+m.$
Với ${{m}^{2}}-m-6=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=3 \\
m=-2 \\
\end{matrix} \right.$:
+ Khi $m=3:$ Phương trình trở thành $0x=5$, suy ra phương trình vô nghiệm.
+ Khi $m=-2:$ Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
Với ${{m}^{2}}-m-6\ne 0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m\ne 3 \\
m\ne -2 \\
\end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{m+2}{{{m}^{2}}-m-6}=\frac{1}{m-3}$.
Kết luận:
+ Với $m=3$ : Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=-2$ : Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $m\ne 3$ và $m\ne -2$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{1}{m-3}.$
Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình sau với $a,b$ là tham số:
a) ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right).$
b) $b\left( {ax – b + 2} \right) = 2\left( {ax + 1} \right).$
a) Ta có: ${a^2}\left( {x – a} \right) = {b^2}\left( {x – b} \right)$ $ \Leftrightarrow \left( {{a^2} – {b^2}} \right)x = {a^3} – {b^3}.$
Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}=0$ $\Leftrightarrow a=\pm b:$
+ Khi $a=b$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Khi $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình trở thành $0x=-2{{b}^{3}}$, suy ra phương trình vô nghiệm.
(Trường hợp $a=-b$, $b=0$ $\Rightarrow a=b=0$ thì rơi vào trường hợp $a=b$).
Với ${{a}^{2}}-{{b}^{2}}\ne 0$ $\Leftrightarrow a\ne \pm b$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{a}^{3}}-{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}-{{b}^{2}}}=$ $\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$
Kết luận:
+ Với $a=b$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x\in R.$
+ Với $a=-b$ và $b\ne 0$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $a\ne \pm b$: Phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}}{a+b}.$
b) Ta có $b\left( ax-b+2 \right)=2\left( ax+1 \right)$ $\Leftrightarrow a\left( b-2 \right)x={{b}^{2}}-2b+2.$
Với $a\left( b-2 \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a=0 \\
b=2 \\
\end{matrix} \right.$
+ Khi $a=0$: Phương trình trở thành $0x={{b}^{2}}-2b+2$, do ${{b}^{2}}-2b+2={{\left( b-1 \right)}^{2}}+1>0$ nên phương trình vô nghiệm.
+ Khi $b=2$: Phương trình trở thành $0x=2$, suy ra phương trình vô nghiệm.
Với $a\left( b-2 \right)\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a\ne 0 \\
b\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$: Phương trình tương đương với $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}$ .
Kết luận:
+ Với $a=0$ hoặc $b=2$ thì phương trình vô nghiệm.
+ Với $a\ne 0$ và $b\ne 2$ thì phương trình có nghiệm là $x=\frac{{{b}^{2}}-2b+2}{a\left( b-2 \right)}.$
Ví dụ 3. Tìm $m$ để phương trình sau có nghiệm duy nhất:
a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$
b) $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1).$
a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay ${{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne -1 \\
m\ne 2 \\
\end{matrix} \right.$
Vậy với $m\ne -1$ và $m\ne 2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.
b) Ta có $m\left( 4mx-3m+2 \right)=x(m+1)$ $\Leftrightarrow \left( 4{{m}^{2}}-m-1 \right)x=3{{m}^{2}}-2m.$
Phương trình có nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow a\ne 0$ hay $4{{m}^{2}}-m-1\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}.$
Vậy với $m\ne \frac{1\pm \sqrt{17}}{8}$ thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Ví dụ 4. Tìm $m$ để đồ thị hai hàm số sau không cắt nhau $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ và $y=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2.$
Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình $\left( m+1 \right){{x}^{2}}+3{{m}^{2}}x+m$ $=\left( m+1 \right){{x}^{2}}+12x+2$ vô nghiệm $\Leftrightarrow 3\left( {{m}^{2}}-4 \right)x=2-m$ vô nghiệm $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{m^2} – 4 = 0}\\
{2 – m \ne 0}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{m = \pm 2}\\
{m \ne 2}
\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = – 2.$
Vậy với $m=-2$ là giá trị cần tìm.
[ads]
3. Bài tập rèn luyện
a. Đề bài:
Bài toán 1. Giải và biện luận phương trình sau với $m$ là tham số:
a) $\left( 2m-4 \right)x+2-m=0.$
b) $(m+1)x=(3{{m}^{2}}-1)x+m-1.$
Bài toán 2. Giải và biện luận các phương trình sau:
a) $\frac{x+a-b}{a}-\frac{x+b-a}{b}=\frac{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}{ab}.$
b) $\frac{ax-1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{a\left( {{x}^{2}}+1 \right)}{{{x}^{2}}-1}.$
Bài toán 3. Tìm $m$ để phương trình sau vô nghiệm:
a) $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1.$
b) ${{m}^{2}}\left( x-m \right)=x-3m+2.$
Bài toán 4. Tìm điều kiện của $a,b$ để phương trình sau có nghiệm.
a) $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1.$
b) $\frac{2x-a}{a}-b=\frac{2x-b}{b}-a(a,b\ne 0).$
b. Hướng dẫn và đáp số:
Bài toán 1.
a) Phương trình tương đương với $\left( 2m-4 \right)x=m-2.$
+ Với $2m-4=0$ $\Leftrightarrow m=2$: Phương trình trở thành $0x=0$, suy ra phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
+ Với $2m-4\ne 0$ $\Leftrightarrow m\ne 2$: Phương trình tương đương với $x=-1.$
Kết luận:
+ Với $m=2$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m\ne 2$: Phương trình có nghiệm duy nhất $x=-1.$
b) Phương trình tương đương với $\left( 3{{m}^{2}}-m-2 \right)x=1-m.$
Với $3{{m}^{2}}-m-2=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
m=1 \\
m=-\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.$:
+ Khi $m=1:$ Phương trình trở thành $0x=0$, phương trình nghiệm đúng với mọi $x$.
+ Khi $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình trở thành $0x=\frac{5}{3}$, suy ra phương trình vô nghiệm.
Với $3{{m}^{2}}-m-2\ne 0$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
m\ne 1 \\
m\ne -\frac{2}{3} \\
\end{matrix} \right.$, phương trình $\Leftrightarrow x=\frac{1-m}{3{{m}^{2}}-m-2}=\frac{-1}{3m+2}.$
Kết luận:
+ Với $m=-\frac{2}{3}$: Phương trình vô nghiệm.
+ Với $m=1$: Phương trình nghiệm đúng với mọi $x.$
+ Với $m≠-\frac{2}{3}$ và $m≠1$: Phương trình có nghiệm $x=\frac{-1}{3m+2}.$
Bài toán 2.
a) Điều kiện xác định: $a ≠ 0$, $b ≠ 0.$
Ta có: Phương trình $ \Leftrightarrow b\left( {x + a – b} \right) – a\left( {x + b – a} \right)$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow bx + ab – {b^2} – {\rm{ax}} – ab + {a^2}$ $ = {b^2} – {a^2}$ $ \Leftrightarrow \left( {b – a} \right)x$ $ = 2\left( {b – a} \right)\left( {b + a} \right).$
+ Nếu $b – a ≠ 0$ $\Rightarrow b\ne a$ thì $x=\frac{2\left( b-a \right)\left( b+a \right)}{b-a}=$ $2\left( b+a \right).$
+ Nếu $b – a = 0$ $\Rightarrow b=a$ thì phương trình có vô số nghiệm.
Kết luận:
+ Với $b ≠ a$, phương trình có nghiệm duy nhất $x = 2(b + a).$
+ Với $b = a$, phương trình có vô số nghiệm.
b) Điều kiện xác định: $x\ne \pm 1.$
$ \Leftrightarrow \left( {ax – 1} \right)\left( {x + 1} \right) + 2\left( {x – 1} \right)$ $ = a\left( {{x^2} + 1} \right)$ $ \Leftrightarrow a{x^2} + ax – x – 1 + 2x – 2$ $ = a{x^2} + a$ $ \Leftrightarrow \left( {a + 1} \right)x = a + 3.$
+ Nếu $a+1\ne 0$ $\Rightarrow a\ne -1$ thì $x=\frac{a+3}{a+1}.$
+ Nếu $a+1=0$ $\Rightarrow a=-1$ thì phương trình vô nghiệm.
Kết luận:
+ Với $a\ne -1$ và $a\ne -2$ thì phương trình có nghiệm duy nhất $x=\frac{a+3}{a+1}.$
+ Với $a=-1$ hoặc $a=-2$ thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 3.
a) Ta có $({{m}^{2}}-m)x=2x+{{m}^{2}}-1$ $\Leftrightarrow ({{m}^{2}}-m-2)x={{m}^{2}}-1.$
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-m-2=0 \\
{{m}^{2}}-1\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=2.$
Vậy với $m=2$ thì phương trình vô nghiệm.
b) Ta có: Phương trình $\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-1 \right)x={{m}^{3}}-3m+2.$
Phương trình vô nghiệm $\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}
a=0 \\
b\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ hay $\left\{ \begin{matrix}
{{m}^{2}}-1=0 \\
{{m}^{3}}-3m+2\ne 0 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow m=-1.$
Vậy với $m=-1$ thì phương trình vô nghiệm.
Bài toán 4.
a) Ta có $a\left( bx-a+2 \right)=\left( a+b-1 \right)x+1$ $\Leftrightarrow \left( ab-a-b+1 \right)x={{a}^{2}}-2a+1$ $\Leftrightarrow \left( a-1 \right)\left( b-1 \right)x={{\left( a-1 \right)}^{2}}.$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
\left( a-1 \right)\left( b-1 \right)=0 \\
{{\left( a-1 \right)}^{2}}=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
\left\{ \begin{matrix}
a\ne 1 \\
b\ne 1 \\
\end{matrix} \right. \\
a=1 \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow a\ne 1.$
Vậy $a\ne 1$ là điều kiện cần tìm.
b) Phương trình tương đương với: $b\left( 2x-a \right)-a{{b}^{2}}=a\left( 2x-b \right)-{{a}^{2}}b$ $\Leftrightarrow 2\left( a-b \right)x=ab\left( a-b \right).$
Phương trình có nghiệm $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a-b\ne 0 \\
\left\{ \begin{matrix}
a-b=0 \\
ab\left( a-b \right)=0 \\
\end{matrix} \right. \\
\end{matrix} \right.$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{matrix}
a\ne b \\
a=b \\
\end{matrix} \right.$ đúng với mọi $a,b.$
Vậy với mọi $a,b$ khác $0$ thì phương trình có nghiệm.
Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp
Để lại một bình luận