Hệ phương trình đối xứng là gì? Định nghĩa, Cách nhận biết và Bài tập

Hệ phương trình đối xứng là một dạng toán thường gặp trong chương trình thi tuyển sinh lớp 10 cũng như thi tốt nghiệp THPT Quốc gia. Vậy hệ phương trình đối xứng là gì? Các dạng hệ phương trình đối xứng và phương pháp giải? Cách nhận biết cũng như lý thuyết và bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2?… Trong nội dung bài viết dưới đây, DINHNGHIA.VN sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ đề này nhé!

Hệ phương trình đối xứng là gì?

Hệ phương trình đối xứng là hệ phương trình mà khi ta biến hóa vai trò của \ ( x, y \ ) cho nhau thì hệ phương trình không biến hóa. Trong đó tất cả chúng ta chia làm hai loại hệ phương trình đối xứng cơ bản là loại 1 và loại 2 .

Cách phân loại hệ phương trình đối xứng

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 1 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta thay đổi vai trò \( x;y \) thì từng phương trình không thay đổi hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 1 (HPTDXL1) là hệ phương trình mà hai ẩn \( x;y \) đối xứng trong mỗi phương trình

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ; y ) = 0 \ \ g ( x ; y ) = 0 \ end { matrix } \ right. \ ) trong đó : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ; y ) = f ( y ; x ) \ \ g ( x ; y ) = g ( y ; x ) \ end { matrix } \ right. \ )

Hệ phương trình đối xứng loại 1 hai ẩn

Định nghĩa hệ phương trình đối xứng loại 2 là gì?

Là hệ phương trình mà khi ta đổi khác vai trò \ ( x ; y \ ) thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại hay nói cách khác, hệ phương trình đối xứng loại 2 ( HPTDXL2 ) là hệ phương trình gồm 2 phương trình đối xứng nhau
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ; y ) = 0 \ \ f ( y ; x ) = 0 \ end { matrix } \ right. \ )

Hệ phương trình đối xứng loại 2 hai ẩn

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 1

Để nhận ra hệ phương trình đối xứng loại 1 thì tất cả chúng ta xét từng phương trình, thử đổi \ ( x \ rightarrow y ; y \ rightarrow x \ ) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình khởi đầu hay không .

Ví dụ:

Hệ \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 2 + 2 x + 2 y + y ^ 2-1 = 0 \ \ x ^ 3 + y ^ 3 + xy = 1 \ end { matrix } \ right. \ ) là hệ phương trình đối xứng loại 1 .
Hệ \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 3 – y ^ 3 + xy = 1 \ \ x ^ 2 + 2 xy + x + y + y ^ 2 = 3 \ end { matrix } \ right. \ ) không phải là hệ phương trình đối xứng loại 1 .

Cách nhận biết hệ phương trình đối xứng loại 2

Để phân biệt hệ phương trình đối xứng loại 1 thì tất cả chúng ta xét phương trình thứ nhất, thử đổi \ ( x \ rightarrow y ; y \ rightarrow x \ ) xem phương trình mới thu được có giống như phương trình thứ hai hay không ? Làm tựa như với phương trình thứ hai .
Ví dụ :
Hệ \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 3 – x ^ 2 y = x \ \ y ^ 3 – xy ^ 2 = y \ end { matrix } \ right. \ ) là hệ phương trình đối xứng loại 2
Hệ \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 2 – xy = y \ \ y ^ 2 + xy = x \ end { matrix } \ right. \ ) không là hệ phương trình đối xứng

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 

Phương pháp đặt ẩn tổng tích

Đây là giải pháp chung để giải những hệ phương trình đối xứng loại 1 .

• Bước 1:Đặt \ ( S = x + y ; P = x. y \ ). Biến đổi từng phương trình về phương trình mới theo \ ( 2 \ ) ẩn \ ( S ; P \ )
• Bước 2:Giải hệ phương trình tìm ra \ ( S ; P \ ) thỏa mãn nhu cầu \ ( S ^ 2 \ geq 4P \ )
• Bước 3:Giải phương trình \ ( t ^ 2 – St + P \ ). Khi đó \ ( x ; y \ ) là nghiệm của phương trình trên ( theo định lý Viet

Để đổi khác được hệ phương trình về dạng \ ( S ; P \ ) thì ta cần nhớ một vài đẳng thức quan trọng :
\ ( x ^ 2 + y ^ 2 = ( x + y ) ^ 2 – 2 xy = S ^ 2-2 P \ )
\ ( | x-y | = \ sqrt { ( x + y ) ^ 2-4 xy } = \ sqrt { S ^ 2-4 P } \ )
\ ( x ^ 3 + y ^ 3 = ( x + y ) ( x ^ 2 + y ^ 2 – xy ) = S ( S ^ 2-3 P ) \ )

***Chú ý: Nếu \( (x;y)=(a;b) \) là nghiệm của hệ phương trình thì \( (x;y) =(b;a) \) cũng là nghiệm của hệ phương trình.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + xy + y = 2 \ \ x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 4 \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

Đặt \ ( S = x + y ; P = xy \ ). ĐK : \ ( S ^ 2 \ geq 4P \ )
Thay vào hệ phương trình ta được :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } S + P = 2 \ \ S ^ 2 – P = 4 \ end { matrix } \ right. \ )
Thay \ ( – P = S-2 \ ) vào phương trình dưới ta được :
\ ( S ^ 2 + S-6 = 0 \ Leftrightarrow ( S-2 ) ( S + 3 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } S = 2 ; P = 0 \ \ S = – 3 ; P = 5 \ end { array } \ right. \ )
Kiểm tra điều kiện kèm theo \ ( S ^ 2 \ geq 4P \ ), vậy \ ( \ left \ { \ begin { matrix } S = 2 \ \ P = 0 \ end { matrix } \ right. \ )
Vậy \ ( x ; y \ ) là nghiệm của phương trình \ ( t ^ 2-2 t = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } t = 0 \ \ t = 2 \ end { array } \ right. \ )
Vậy hệ phương trình đã cho có hai cặp nghiệm \ ( ( x ; y ) = ( 0 ; 2 ) ; ( 2 ; 0 ) \ )

Phương pháp đặt ẩn phụ 

Đây là giải pháp để giải những bài toán hệ phương trình đối xứng loại 1 khó. Những hệ này nếu nhìn qua thì ta sẽ thấy nó không phải là đối xứng. Nhưng khi tất cả chúng ta đặt ẩn phụ một cách thích hợp, bài toán sẽ trở thành hệ phương trình đối xứng loại 1. Từ đó tất cả chúng ta hoàn toàn có thể giải một cách thuận tiện .

Ví dụ:

Giải hệ phương trình : \ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ( x + 2 ) ( 2 x + y ) – 9 = 0 \ \ x ^ 2 + 4 x + y = 6 \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

Đặt \ ( x ^ 2 + 2 x = a ; 2 x + y = b \ ). Thay vào hệ đã cho ta được :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } ab = 9 \ \ a + b = 6 \ end { matrix } \ right. \ )
Vậy \ ( a ; b \ ) là nghiệm của phương trình :
\ ( t ^ 2-6 t + 9 = 0 \ Leftrightarrow ( t-3 ) ^ 2 = 0 \ Leftrightarrow t = 3 \ )
Vậy \ ( a = b = 3 \ )
Thay vào ta được :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 2 + 2 x = 3 \ \ 2 x + y = 3 \ end { matrix } \ right. \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } ( x + 3 ) ( x-1 ) = 0 \ \ 2 x + y = 3 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } \ left \ { \ begin { matrix } x = – 3 \ \ y = 9 \ end { matrix } \ right. \ \ \ left \ { \ begin { matrix } x = 1 \ \ y = 1 \ end { matrix } \ right. \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình đã cho có \ ( 2 \ ) cặp nghiệm :
\ ( ( x ; y ) = ( – 3 ; 9 ) ; ( 1 ; 1 ) \ )

Giải hệ phương trình đối xứng loại 1 chứa căn 

Với những hệ phương trình này, cách giải vẫn gồm có những bước như trên nhưng tất cả chúng ta cần thêm bước tìm ĐKXĐ của hệ phương trình .

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + y – \ sqrt { xy } = 3 \ \ \ sqrt { x + 1 } + \ sqrt { y + 1 } = 4 \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

ĐKXĐ :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x \ geq – 1 \ \ y \ geq – 1 \ \ xy \ geq 0 \ end { matrix } \ right. \ hspace { 1 cm } ( * ) \ )
Đặt \ ( S = x + y \ hspace { 5 mm } ; P = xy \ ) với \ ( \ left \ { \ begin { matrix } S ^ 2 \ geq 4P \ \ P \ geq 0 \ \ S \ geq – 2 \ end { matrix } \ right. \ hspace { 1 cm } ( * * ) \ )
Bình phương 2 vế PT ( 2 ) hệ phương trình đã cho tương tự với :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + y – \ sqrt { xy } = 3 \ \ x + y + 2 + \ sqrt { x + y + xy + 1 } = 16 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } S – \ sqrt { P } = 3 \ \ S + 2 + 2 \ sqrt { S + P + 1 } = 16 \ end { matrix } \ right. \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } P = S ^ 2 – 6S + 9 \ \ S – 14 = – 2 \ sqrt { S + P + 1 } \ end { matrix } \ right. \ ) với \ ( 3 \ leq S \ leq 14 \ )
Thay \ ( P = S ^ 2 – 6S + 9 \ ) từ PT ( 1 ) vào PT ( 2 ) ta có :
\ ( S-14 = – 2 \ sqrt { S ^ 2-5 S + 10 } \ )
\ ( \ Leftrightarrow S ^ 2-28 S + 196 = 4 ( S ^ 2-5 S + 10 ) \ )
\ ( \ Leftrightarrow 3S ^ 2 + 8S-156 = 0 \ Leftrightarrow ( S-6 ) ( 3S + 26 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { matrix } S = 6 \ \ S = – \ frac { 26 } 3 { } \ end { matrix } \ right. \ )
Kết hợp ĐKXĐ ta được \ ( S = 6 \ Rightarrow P = 9 \ )
Vậy \ ( x ; y \ ) là nghiệm của phương trình :
\ ( t ^ 2-6 t + 9 = 0 \ Leftrightarrow t = 3 \ )
Vậy \ ( x = y = 3 \ ) ( thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo ) .

Bài tập hệ phương trình đối xứng loại 1

Sau đây là một số ít bài tập để những bạn rèn luyện phần hệ phương trình đối xứng loại 1 .

Bài 1: Giải hệ phương trình:

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 \ \ x ^ 2 + y ^ 2 + x + y = 8 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số : \( (x;y) = (1;2) ;(2;1) ; (1;-3) ; (-3;1) \)

Bài 2: Giải hệ phương trình:

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + y + \ frac { 1 } { x } + \ frac { 1 } { y } = 5 \ \ x ^ 2 + y ^ 2 + \ frac { 1 } { x ^ 2 } + \ frac { 1 } { y ^ 2 } = 9 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số : \( (x;y) = [latex](1;\frac{3+\sqrt{5}}{2});(\frac{3+\sqrt{5}}{2};1);(1;\frac{3-\sqrt{5}}{2});(\frac{3-\sqrt{5}}{2};1)\)

Bài 3: Tìm \( m \) để hệ có đúng \( 2 \) nghiệm :

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } ( x + y ) ^ 2 = 4 \ \ x ^ 2 + y ^ 2 = 2 m + 2 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số : \( m=0 \)

Các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 2

Phương pháp trừ hai vế

Đây là giải pháp chung để giải phương trình đối xứng loại 2 .

• Bước 1:Trừ hai vế tương ứng của hai phương trình, biến hóa phương trình thu được về dạng phương trình tích : \ ( ( x-y ). f ( x ; y ) = 0 \ )
• Bước 2:Giải phương trình \ ( f ( x ; y ) = 0 \ ) để tìm mối quan hệ \ ( x ; y \ ). Sau đó thay vào một phương trình trong hệ khởi đầu để giải ra \ ( x ; y \ ) ( quan tâm thay cả trường hợp \ ( x-y = 0 \ ) )
• Bước 3:Kết luận nghiệm .

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 3 = 3 x + 8 y \ \ y ^ 3 = 3 y + 8 x \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

Để giải hệ phương trình đối xứng loại 2 bậc 3 này thì tất cả chúng ta cần ghi nhớ hằng đẳng thức : \ ( A ^ 3 – B ^ 3 = ( A-B ) ( A ^ 2 + AB + B ^ 2 ) \ )
Trừ hai vế của hai phương trình ta được :
\ ( ( x ^ 3 – y ^ 3 ) + 5 ( x-y ) = 0 \ Leftrightarrow ( x-y ) ( x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 5 ) = 0 \ ; \ ; \ ; \ ; ( 1 ) \ )
Ta có : \ ( x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 5 = ( x + \ frac { y } { 2 } ) ^ 2 + \ frac { 3 y ^ 2 } { 4 } + 5 \ geq 5 > 0 \ )
Vậy từ \ ( ( 1 ) \ Rightarrow x = y \ )
Thay vào ta được :
\ ( x ^ 3 = 11 x \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 0 \ \ x = \ pm \ sqrt { 11 } \ end { array } \ right. \ )
Vậy phương trình đã cho có \ ( 3 \ ) cặp nghiệm thỏa mãn nhu cầu : \ ( ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) ; ( \ sqrt { 11 } ; \ sqrt { 11 } ) ; ( – \ sqrt { 11 } ; – \ sqrt { 11 } ) \ )

Phương pháp hàm số

Như ta biết thì hệ phương trình ĐX bậc hai là một dạng hệ phương trình đối xứng vòng quanh gồm \ ( 2 \ ) ẩn dạng :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ) = g ( y ) \ \ f ( y ) = g ( x ) \ end { matrix } \ right. \ )
Nếu ta chứng tỏ được hàm số \ ( f ( t ) ; g ( t ) \ ) cùng đồng biến thì giả sử \ ( x \ leq y \ ) ta có :
\ ( f ( x ) \ leq f ( y ) = g ( x ) \ leq g ( y ) \ )
Mà mặt khác do \ ( f ( x ) = g ( y ) \ ) nên đẳng thức xảy ra. Vậy \ ( f ( x ) = g ( x ) \ ). Giải phương trình thu được [ / latex ] x [ / latex ], từ đó tìm ra nghiệm của hệ phương trình

***Chú ý: Trong trường hợp hàm \( f(t);g(t) \) cùng nghịch biến thì làm tương tự

Đây cũng là giải pháp để giải những bài toán hệ phương trình đối xứng vòng quanh nhiều ẩn :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } f ( x ) = g ( y ) \ \ f ( y ) = g ( z ) \ \ f ( z ) = g ( x ) \ end { matrix } \ right. \ )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 3 + x = 3 y \ \ y ^ 3 + y = 3 x \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

Xét hàm số \ ( f ( t ) = t ^ 3 + t \ ) và hàm số \ ( g ( t ) = 3 t \ )
Dễ thấy cả \ ( f ( t ) ; g ( t ) \ ) đều đồng biến. Do đó, giả sử \ ( x \ leq y \ ), từ hệ phương trình đã cho ta có :
\ ( f ( x ) \ leq f ( y ) = g ( x ) \ leq g ( y ) \ )
Mà vì \ ( f ( x ) = g ( y ) \ ) ( theo hệ phương trình ) nên đẳng thức xảy ra, vậy \ ( f ( x ) = g ( x ) \ )
Do đó : \ ( x ^ 3 + x = 3 x \ Leftrightarrow x ( x ^ 2-2 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = 0 \ \ x = \ pm \ sqrt { 2 } \ end { array } \ right. \ )
Vậy hệ phương trình có \ ( 3 \ ) cặp nghiệm \ ( ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) ; ( \ sqrt { 2 } ; \ sqrt { 2 } ) ; ( – \ sqrt { 2 } ; – \ sqrt { 2 } ) \ )

Giải hệ phương trình đối xứng loại 2 chứa căn

Đây là một dạng hệ phương trình đối xứng loại 2 khó do có căn thức nên nều trừ trực tiếp như cách thường thì thì sẽ không Open biểu thứ \ ( ( x-y ) \ ) ngay. Do đó tất cả chúng ta cần phải sử dụng phương pháp nhân phối hợp để biến hóa tạo ra nhân tử \ ( ( x-y ) \ ). Một số đổi khác cần chú ý quan tâm :
\ ( \ sqrt { a } – \ sqrt { b } = \ frac { a-b } { \ sqrt { a } + \ sqrt { b } } \ )
\ ( \ sqrt [ 3 ] { a } – \ sqrt [ 3 ] { b } = \ frac { a-b } { \ sqrt [ 3 ] { a ^ 2 } + \ sqrt [ 3 ] { ab } + \ sqrt [ 3 ] { b ^ 2 } } \ )
Ngoài ra tất cả chúng ta có để sử dụng giải pháp đặt ẩn phụ là biểu thức chứa căn để tạo ra hệ mới không chứa căn .

***Chú ý: Kiểm tra ĐKXĐ trước khi giải.

Ví dụ:

Giải hệ phương trình \ ( \ left \ { \ begin { matrix } \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { y-2 } = 7 \ \ \ sqrt { y + 5 } + \ sqrt { x-2 } = 7 \ end { matrix } \ right. \ )

Cách giải:

ĐKXĐ : \ ( x ; y \ geq 2 \ )
Trừ hai vế của hai phương trình ta được : \ ( ( \ sqrt { x + 5 } – \ sqrt { y + 5 } ) – ( \ sqrt { x-2 } – \ sqrt { y-2 } ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow ( x-y ) ( \ frac { 1 } { \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { y + 5 } } – \ frac { 1 } { \ sqrt { x-2 } + \ sqrt { y-2 } } ) = 0 \ ; \ ; \ ; \ ; \ ; ( 1 ) \ )
Ta có :
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } \ sqrt { x + 5 } > \ sqrt { x-2 } \ \ \ sqrt { y + 5 } > \ sqrt { y-2 } \ end { matrix } \ right. \ Rightarrow \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { y + 5 } > \ sqrt { x-2 } + \ sqrt { y-2 } \ )
\ ( \ Rightarrow \ frac { 1 } { \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { y + 5 } } < \ frac { 1 } { \ sqrt { x-2 } + \ sqrt { y-2 } } \ ) Vậy \ ( \ Rightarrow \ frac { 1 } { \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { y + 5 } } - \ frac { 1 } { \ sqrt { x-2 } + \ sqrt { y-2 } } < 0 \ ) Do đó từ \ ( ( 1 ) \ Rightarrow x = y \ ) Thay vào ta được : \ ( \ sqrt { x + 5 } + \ sqrt { x-2 } = 7 \ Leftrightarrow 2 x + 3 + 2 \ sqrt { x ^ 2 + 3 x - 10 } = 49 \ ) \ ( \ Leftrightarrow 23 - x = \ sqrt { x ^ 2 + 3 x - 10 } \ Rightarrow x ^ 2-46 x + 529 = x ^ 2 + 3 x - 10 \ ) \ ( \ Rightarrow 49 x = 539 \ Rightarrow x = 11 \ ) ( thỏa mãn nhu cầu ) Vậy \ ( x = y = 11 \ )

Xem chi tiết >>> Phương trình chứa căn: Lý thuyết, Phương pháp giải và Bài tập

Bài tập về hệ phương trình đối xứng loại 2

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình dưới đây.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm x = y = 3

Sau đây là 1 số ít bài tập để những bạn rèn luyện phần hệ phương trình đối xứng loại 2 .

Bài 1: Giải hệ phương trình:

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } 2 x + 3 + \ sqrt { 4 – y } = 4 \ \ 2 y + 3 + \ sqrt { 4 – x } = 4 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số: \( (x;y) = (3;3) ; (\frac{11}{9};\frac{11}{9}) \)

Bài 2: Giải hệ phương trình:

\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x + \ sqrt [ 4 ] { y-1 } = 1 \ \ y + \ sqrt [ 4 ] { x-1 } = 1 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số \( x=y=1 \)

Bài 3:

Tìm \ ( m \ ) để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
\ ( \ left \ { \ begin { matrix } x ^ 2 – x-y+m = 0 \ \ y ^ 2 – y-x+m = 0 \ end { matrix } \ right. \ )

Đáp số : \( m=1 \) 

Phương trình có hệ số đối xứng là gì?

Định nghĩa phương trình có hệ số đối xứng

Phương trình có thông số đối xứng bậc \ ( n \ ) là phương trình có dạng \ ( f ( x ) = 0 \ ) trong đố \ ( f ( x ) \ ) là đa thức với không thiếu những số hạng sắp xếp từ bậc cao đến bậc thấp ( \ ( x ^ n ; x ^ { n-1 } ; … ; x ; x ^ 0 \ ) ) sao cho từng cặp thông số cách đều hai đầu thì bằng nhau, tức là :
\ ( f ( x ) = a_nx ^ n + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + … + a_1x + a_0 \ )
Với \ ( a_i = a_ { n-i } \ ) với \ ( i = 0 ; 1 ; 2 ; … ; n \ )
Ví dụ : \ ( ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + bx + a = 0 \ ) là phương trình thông số đối xứng bậc \ ( 4 \ )
\ ( ax ^ 3 + bx ^ 2 + bx + a = 0 \ ) là phương trình thông số đối xứng bậc \ ( 3 \ )

Tính chất của phương trình có hệ số đối xứng

• Phương trình thông số đối xứng bậc chẵn nếu có nghiệm \ ( x_0 \ ) thì \ ( x_0 \ neq 0 \ ) và cũng nhận \ ( \ frac { 1 } { x_0 } \ ) là nghiệm .
• Phương trình thông số đối xứng bậc lẻ luôn nghiên cứu và phân tích được dưới dạng : \ ( ( x + 1 ). f ( x ) \ ) vói \ ( f ( x ) \ ) là phương trình thông số đối xứng bậc chẵn .

Do đó :

• Phương trình đối xứng bậc lẻ luôn có nghiệm \ ( x = – 1 \ )
• Giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn .

Cách giải phương trình có hệ số đối xứng

Do giải phương trình đối xứng bậc lẻ quy về giải phương trình đối xứng bậc chẵn nên ở đây ta chỉ xét cách giải phương trình đối xứng bậc chẵn :
\ ( f ( x ) = a_nx ^ n + a_ { n-1 } x ^ { n-1 } + … + a_1x + a_0 \ ) với \ ( n \ ) chẵn

• Bước 1:Do \ ( x = 0 \ ) không là nghiệm của phương trình, chia cả hai vế phương trình cho \ ( x ^ { \ frac { n } { 2 } } \ )
• Bước 2:Đặt \ ( t = x + \ frac { 1 } { x } \ ) với điều kiện kèm theo \ ( | t | \ geq 2 \ ), đổi khác phương trình thu được về phương trình ẩn \ ( t \ )
• Bước 3:Sau khi tìm được \ ( t \ ), giải phương trình \ ( t = x + \ frac { 1 } { x } \ ) để tìm ra \ ( x \ )

Ví dụ:

Giải phương trình : \ ( 3 x ^ 4 + 7 x ^ 3 + 7 x + 3 = 0 \ )

Cách giải:

Do \ ( x = 0 \ ) không là nghiệm của phương trình nên chia cả hai vế phương trình cho \ ( x ^ 2 \ ) ta được :
\ ( 3 x ^ 2 + 7 x + \ frac { 7 } { x } + \ frac { 3 } { x ^ 2 } = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 3 ( x ^ 2 + \ frac { 1 } { x ^ 2 } ) + 7 ( x + \ frac { 1 } { x } ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow 3 ( x + \ frac { 1 } { x } ) ^ 2-6 + 7 ( x + \ frac { 1 } { x } ) = 0 \ )
Đặt \ ( t = x + \ frac { 1 } { x } \ ). ĐK : \ ( | t | \ geq 2 \ )
Phương trình đã cho tương tự với :
\ ( 3 t ^ 2 + 7 t – 6 = 0 \ Leftrightarrow ( t + 3 ) ( 3 t – 2 ) = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } t = – 3 \ \ t = \ frac { 3 } { 2 } \ end { array } \ right. \ )
Do \ ( | t | \ geq 2 \ ) nên \ ( t = – 3 \ )
Vậy ta có :
\ ( x + \ frac { 1 } { x } = – 3 \ Leftrightarrow x ^ 2 + 3 x + 1 = 0 \ )
\ ( \ Leftrightarrow \ left [ \ begin { array } { l } x = \ frac { – 3 + \ sqrt { 5 } } { 2 } \ \ x = \ frac { – 3 – \ sqrt { 5 } } { 2 } \ end { array } \ right. \ )

Bài viết trên đây của DINHNGHIA.VN đã giúp bạn tổng hợp lý thuyết và các phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại 1 loại 2 cũng như những nội dung liên quan. Hy vọng kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho bạn trong quá trình học tập và nghiên cứu về chủ đề hệ phương trình đối xứng. Chúc bạn luôn học tốt!.

Xem chi tiết cụ thể qua bài giảng dưới đây nhé :

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm >>> Chuyên đề Hệ phương trình đẳng cấp cơ bản và nâng cao

Tu khoa lien quan:

• hệ phương trình không đối xứng là gì ?
• hệ phương trình đối xứng loại 2 lớp 9

5
/
5
(
3
bầu chọn

)

Please follow and like us :

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp