Các dạng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ A – Z

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số là một trọng những dạng bài tập thường có trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay đề thi đại học hiện nay. Với rất nhiều dạng bài như: viết phương trình tiếp tuyến của hàm số tại 1 điểm, đi qua 1 điểm, biết hệ số góc,..Tất cả sẽ được chứng tôi chia sẻ chi tiết trong bài viết dưới đây giúp các bạn hệ thống lại kiến thức của mình nhé

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là thông số góc của tiếp tuyến với đồ thị ( C ) của hàm số tại điểm M ( x0 ; y0 ). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) là y = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0
Trong đó :

• Điểm M(x0; y0) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y0 = f(x0)).
• k = y'(x0) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Lưu ý:

• Đường thẳng bất kỳ đi qua M(x0; y0) có hệ số góc k, có phương trình y = k(x – x0 ) + y0
• Cho hai đường thẳng Δ1:y = k1x + m1 và Δ2: y = k1 x + m2. Lúc đó: Δ1 ⊥ Δ2 ⇔ k1.k2 = -1

Tham khảo thêm:

Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) .

• Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x0).
• Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x0; y0) có dạng: y = y'(x0)(x – x0) + y0.

Lưu ý:

• Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x0 thì tìm y0 bằng cách thế x0 vào hàm số y = f(x0).
• Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y0 thì tìm y0 bằng cách thế y0 vào hàm số y = f(x0).
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b.
• Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0.

Ví dụ 1 : Cho hàm số ( C ) : y = x3 + 3×2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) .
Hướng dẫn
Ta có y ’ = 3×2 + 6 x ;
=> k = y ‘ ( 1 ) = 3. 12 + 6.1 = 9
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M ( 1 ; 4 ) là :
d : y = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0

<=> y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9 x – 5
Ví dụ 2 : Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số ( C ) : y = ( 2 x + 1 ) / ( x – 1 ) và có hoành độ bằng – 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) tại điểm M .
Lời giải :
Ta có : x0 = – 1. Suy ra y0 = y ( – 1 ) = 1/2

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Ví dụ 3 : Cho hàm số ( C ) : y = 4×3 – 6×2 + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) .
Hướng dẫn
Ta có y ’ = 12×2 – 12 x
Gọi M ( x0, y0 ) là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M có dạng :
y = ( 12×02 – 12×0 ) ( x – x0 ) + 4×03 – 6×02 + 1
Vì tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; – 9 ) nên ta có :
– 9 = ( 12×02 – 12×0 ) ( – 1 – x0 ) + 4×03 – 6×03 + 1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( C ) : y = f ( x ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( xA ; yA )

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A ( xA ; yA ), thông số góc k có dạng : d : y = k ( x – xA ) + yA ( * )

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm

Bước 3 : Giải hẹ trên tìm được x => K và thế vào phương trình ( * ) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2.

Bước 1. Gọi M ( x0 ; f ( x0 ) ) là tiếp điểm và tính thông số góc tiếp tuyến k = y ‘ ( x0 ) = f ‘ ( x0 ) theo x0
Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y ‘ ( x0 ) ( x – x0 ) + y0 ( * * ). Do điểm A ( xA ; yA ) ∈ d nên yA = y ‘ ( x0 ) ( xA – x0 ) + y0 giải phương trình này ta tìm được x0 .
Bước 3. Thế x0 vào ( * * ) ta được tiếp tuyến cần tìm .
Ví dụ : Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) : y = – 4×3 + 3 x + 1 đi qua điểm A ( – 1 ; 2 ) .
Lời giải :
Ta có : y ’ = – 12×2 + 3
Đường thẳng d đi qua A ( – 1 ; 2 ) có thông số góc k có phương trình d : y = k ( x + 1 ) + 2 .

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được :
– 4×3 + 3 x + 1 = ( – 12×2 + 3 ) ( x + 1 ) + 2
⇔ 8×3 + 12×2 – 4 = 0
⇔ ( x – ½ ) ( x + 1 ) 2 = 0
⇔ x = – 1 hoặc x = ½
+ Với x = – 1. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng – 9 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9 x – 7 .
+ Với x = 50%. Thế vào phương trình k = – 12×2 + 3 ta được k bằng 0 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2 .
Vậy đồ thị ( C ) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A ( – 1 ; 2 ) là y = – 9 x – 7 và y = 2 .

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C): đi qua điểm A(-1; 4).

Lời giải

Điều kiện: x ≠ – 1. Ta có:

Đường thẳng ( d ) đi qua điểm A ( – 1 ; 4 ) có thông số góc k có phương trình : y = k ( x + 1 ) + 4 .
Đường thẳng d là tiếp tuyến của ( C )

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp :
Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị ( C ). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) với thông số góc k cho trước .

• Bước 1. Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm và tính y’= f'(x)
• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x0). Giải phương trình này ta tìm được x0, thế vào hàm số tìm được y0.
• Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng:d: y = y’0.(x – x0) + y0.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ : y = ax + b nên tiếp tuyến có thông số góc k = a. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) là y = a ( x − x0 ) + y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ : y = ax + b nên tiếp tuyến có thông số góc k = − 1 / a. Phương trình tiếp tuyến của ( C ) đi qua tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) là − 1 / a ( x − x0 ) + y0

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα .

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó

Ví dụ 1 : Cho hàm số y = x3 – 3×2 + 6 x + 1 có đồ thị ( C ). Viết phương trình tiếp tuyến có thông số góc nhỏ nhất .
Lời giải
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ’ = 3×2 – 6 x + 6
Khi đó y ’ ( x0 ) = 3×02 – 6×0 + 6 = 3 ( x02 – 2×0 + 2 ) = 3 [ ( x0 – 1 ) 2 + 1 ] ≥ 3
Vậy thông số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y ’ ( x0 ) = 3, dấu bằng xảy ra khi x0 = 1

Với x0 = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3 ( x – 1 ) + 5 = 3 x + 2
Ví dụ 2 : Cho hàm số ( C ) : y = x3 – 3 x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đó có thông số góc bằng 9 .
Lời giải :
Gọi M ( x0 ; y0 ) là tọa độ tiếp điểm .
Ta có y ’ = 3×2 – 3
Khi đó y ‘ ( x0 ) = 3×02 – 3 = 9 ⇔ x = ± 2
Với x0 = 2 => y0 = ( 2.3 ) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M1 ( 2 ; 4 ) .
Phương trình tiếp tuyến tại M1 là d1 : y = 9 ( x – 2 ) + 4 ⇔ y = 9 x – 14
+ Với x0 = – 2 => y0 = 0. Ta có tiếp điểm M2 ( – 2 ; 0 ) .
Phương trình tiếp tuyến tại M2 là d2 : y = 9 ( x + 2 ) + 0 ⇔ y = 9 x + 18
Kết luận : Vậy đồ thị hàm số ( C ) có 2 tiếp tuyến có thông số góc bằng 9 là ( d1 ) : y = 9 x – 14 và ( d2 ) : y = 9 x + 18 .
Ví dụ 2 : Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x3 + ½ x2 – 2 x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 .
Lời giải
Gọi tọa độ tiếp điểm là M ( x0, y0 ) .
Có y ’ = x2 + x – 2
Phương trình đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 ⇔ y = – 1/3 x + 1/3
Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d : x + 3 y – 1 = 0 một góc 450 nên ta có

x0 = 0 ⇒ y ( x0 ) = 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x – 0 ) + 1 = – 2 x + 1
x0 = – 1 ⇒ y ( x0 ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
y = – 2 ( x + 1 ) + 19/6 = – 2 x + 7/6
Vậy những phương trình tiếp tuyến cần tìm là :

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp :
Dựa vào điều kiện kèm theo bài toán và những dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn nhu cầu nhu yếu đề bài .
Ví dụ : Cho hàm số y = x3 – 3×2 có đồ thị hàm số ( C ). Gọi M là điểm thuộc đồ thị ( C ) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của ( C ) tại M song song với đường thẳng Δ : y = ( mét vuông – 4 ) x + 2 m – 1 .
Lời giải
TXD : D = R
Ta có : y ’ = 3×2 – 6 x .
Điểm M có hoành độ x0 = 1 nên suy ra y0 = x03 – 3×02 = 13 – 3.12 = – 2
Vậy tọa độ điểm M ( 1 ; – 2 ) .
Phương trình tiếp tuyến ( d ) tại điểm M ( 1 ; – 2 ) của ( C ) có dạng :
y – y0 = y ‘ ( x0 ). ( x – x0 ) < => y ​ ​ + 2 = ( 3.12 – 6.1 ). ( x – 1 ) < => y ​ ​ = – 3 x + 1 .
Khi đó để ( d ) / / Δ :

Từ đó phương trình đường thẳng Δ : y = – 3 x + 3 .
Kết luận : vậy với m = – 1 thì tiếp tuyến ( d ) của ( C ) tại điểm M ( 1 ; – 2 ) song song với đường thẳng Δ .

Hy vọng với những kiến thức và kỹ năng mà chúng tôi vừa nghiên cứu và phân tích phía trên hoàn toàn có thể giúp những bạn mạng lưới hệ thống lại được kiến thức và kỹ năng từ đó biết giải nhanh những dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến nhé

Đánh giá bài viết

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Hỏi Đáp