Đường trung tuyến là gì? Tính chất, công thức tính đường trung tuyến

Hiện nay có rất nhiều các bạn học sinh không nắm được khái niệm đường trung tuyến là gì? Đường trung tuyến trong tam giác, các tính chất đường trung tuyến hay công thức đường trung tuyến như thế nào? Sau đây chúng tôi sẽ chia sẻ kiến thức tổng quát về đường trung tuyến và những dạng toán thường gặp của đường trung tuyến để các bạn cùng tham khảo nhé

Đường trung tuyến là gì?

Đường trung tuyến của một đoạn thẳng là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó .

Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác đều có ba trung tuyến.

Đối với tam giác cân và tam giác đều, mỗi trung tuyến của tam giác chia đôi những góc ở đỉnh với hai cạnh kề có chiều dài bằng nhau .

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác

• Ba đường trung tuyến của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Giao điểm của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm.
• Vị trí của trọng tâm tam giác: Trọng tâm của một tam giác cách mỗi đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
• Mỗi đường trung tuyến chia diện tích của tam giác thành hai phần bằng nhau. Ba trung tuyến chia tam giác thành sáu tam giác nhỏ với diện tích bằng nhau.

Ví dụ : Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là những đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G .

Ta có G là trọng tâm của tam giác ΔABC .
Theo định nghĩa, AE = EC, CD = DB, BF = FA, do đó :
SΔAGE = SΔCGE ; SΔBGD = SΔCGD ; SΔAGF = SΔBGF trong đó kí hiệu SΔABC là diện tích quy hoạnh của tam giác ABC .
Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích quy hoạnh của một tam giác thì bằng 50% chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích quy hoạnh bằng nhau .
Chúng ta có :
SΔACG = SΔACD − SΔCGD ; SΔABG = SΔABD − SΔBGD
Do đó ta có : SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG ; SΔCDG = 12 SΔACG
Do SΔBGF = SΔAGF, SΔAGF = 12S ΔACG = SΔBGF = 12S ΔBCG
Do vậy, SΔAFG = SΔBFG = SΔBGD = SΔCGD
Sử dụng cùng chiêu thức này. ta hoàn toàn có thể chứng minh điều sau :
SΔAFG = SΔBFG = SΔBGD = SΔCGD = SΔCGE = SΔAGE

Tham khảo thêm:

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông

• Tam giác vuông là một trường hợp đặc biệt của tam giác, trong đó, tam giác sẽ có một góc có độ lớn là 90 độ, và hai cạnh tạo nên góc này vuông góc với nhau.
• Đường trung tuyến của tam giác vuông sẽ có đầy đủ những tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
• Trong 1 tam giác vuông bất kỳ, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác sẽ có độ dài bằng 1/2 cạnh huyền
• Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân

• Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ vuông góc với cạnh đáy tương ứng (nó là đường trung trực của cạnh đáy)
• Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau (Nó là đường phân giác của góc đỉnh).
• Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều

Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kể và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích quy hoạnh bằng nhau .
3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích quy hoạnh bằng nhau .

Công thức tính đường trung tuyến

Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kể bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề trừ một phần tư bình phương cạnh đối .

ma = √(2b2 + 2c2 – a2)/4

mb = √(2a2 + 2c2 – b2)/4

mc = √(2a2 + 2b2 – c2)/4

Trong đó :

• a, b, c: là các cạnh của tam giác.
• ma, mb, và mc là các đường trung tuyến của tam giác.

Các dạng toán liên quan về đường trung tuyến

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài những đường trung tuyến của tam giác ABC .
Lời giải :
Gọi độ dài trung tuyến từ những đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma ; mb ; mc .
Áp dụng công thức trung tuyến ta có :

Vì độ dài những đường trung tuyến ( là độ dài đoạn thẳng ) nên nó luôn dương, do đó :

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.

a) Chứng minh: AM ⊥ BC;
b) Tính độ dài AM.

Lời giải:

a. Ta có AM là đường trung tuyến ABC nên MB = MC
Mặt khác ABC cân tại A
=> AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao
Vậy AM ⊥ BC
b. Ta có
BC = 16 cm nên BM = MC = 8 cm
AB = AC = 17 cm
Xét tam giác AMC vuông tại M
Áp dụng Định lý Pitago có :
AC2 = AM2 + MC2 => 172 = AM2 + 82 => AM2 = 172 – 82 = 225 => AM = 15C m .

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng x’x và y’y gặp nhau ở O. Trên tia Ox lấy hai điểm A và B sao cho A nằm giữa O và B, AB=2OA. Trên y’y lấy hai điểm L và M sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng LM. Nối B với L, B với M và gọi P là trung điểm của đoạn thẳng MB, Q là trung điểm của đoạn thẳng LB. Chứng minh các đoạn thẳng LP và MQ đi qua A.

Lời giải
Ta có O là trung điểm của đoạn LM ( gt )
Suy ra BO là đường trung tuyến của ΔBLM ( 1 )
Mặt khác BO = BA + AO vì A nằm giữa O, B hay BO = 2 AO + AO = 3AO vì AB = 2AO ( gt )
Suy ra AO = 1 / 3 BO, hay BA = 2 / 3 BO ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra A là trọng tâm của ΔBLM ( đặc thù của trọng tâm )
Mà LP và MQ là những đường trung tuyến của ΔBLM vì P. là trung điểm của đoạn thẳng MB ( gt )
Suy ra những đoạn thẳng LP và MQ đều đi qua A ( đặc thù của ba đường trung tuyến )

Ví dụ 4: Gọi S = ma2 + mb2 + mc2 là tổng bình phương độ dài ba đường trung tuyến của tam giác ABC. Khẳng định nào sau đây là đúng? (cho BC = a, CA = b, AB = c)

Lời giải :
Áp dụng công thức trung tuyến trong tam giác ABC ta có :

Hy vọng với những về kỹ năng và kiến thức về đường trung tuyến là gì ? mà chúng tôi đã trình diễn phía trên hoàn toàn có thể giúp bạn nắm được đặc thù và công thức tính để vận dụng giải những bài toán tương quan nhé

Đánh giá bài viết

Source: http://wp.ftn61.com
Category: Thủ Thuật